求瑕积分∫0^1根号下（x/1-x）dx？
这道题求的是一个瑕积分，原因在于积分下限是0，被积函数 $sqrt{frac{x}{1x}}$ 在 $x=0$ 处是0，所以没有问题。但是积分上限是1，而当 $x$ 趋近于1时，$1x$ 趋近于0，分母趋近于0，导致被积函数趋近于无穷大。所以，我们遇到的困难在于积分区间的右端点，也就是 $x=1$ 处，被积函数是无界的。这种积分被称为瑕积分。
要解决这个问题，我们需要用到极限的思想。我们将积分上限1替换成一个变量，比如 $b$，然后计算从0到 $b$ 的定积分，最后让 $b$ 从右侧趋近于1。
具体步骤如下：
第一步：将瑕积分转化为极限形式
我们要求的瑕积分是 $int_{0}^{1} sqrt{frac{x}{1x}} , dx$。
因为问题出在 $x=1$ 处，所以我们将其表示为：
$$ int_{0}^{1} sqrt{frac{x}{1x}} , dx = lim_{b o 1^} int_{0}^{b} sqrt{frac{x}{1x}} , dx $$
这里的 $b o 1^$ 表示 $b$ 从小于1的数值趋近于1。
第二步：计算定积分 $int_{0}^{b} sqrt{frac{x}{1x}} , dx$
这个积分看起来有点棘手，我们可以尝试一些标准的积分技巧。一个常见的处理 $sqrt{frac{x}{ax}}$ 类型积分的方法是进行三角换元。
令 $x = sin^2 heta$。
那么，$dx = 2 sin heta cos heta , d heta$。
现在我们需要确定积分限的变化：
当 $x=0$ 时，$sin^2 heta = 0$，所以 $sin heta = 0$。我们可以取 $ heta = 0$。
当 $x=b$ 时，$sin^2 heta = b$，所以 $sin heta = sqrt{b}$。我们可以取 $ heta = arcsin(sqrt{b})$。
接下来，我们替换被积函数中的 $x$ 和 $1x$：
$sqrt{x} = sqrt{sin^2 heta} = sin heta$ (因为在我们的积分范围内，$ heta$ 的值会使得 $sin heta ge 0$)
$sqrt{1x} = sqrt{1sin^2 heta} = sqrt{cos^2 heta} = cos heta$ (同样，在我们的积分范围内，$ heta$ 的值会使得 $cos heta ge 0$)
所以，被积函数 $sqrt{frac{x}{1x}}$ 变成 $frac{sin heta}{cos heta}$。
现在将这些代入定积分：
$$ int_{0}^{b} sqrt{frac{x}{1x}} , dx = int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} frac{sin heta}{cos heta} cdot (2 sin heta cos heta) , d heta $$
化简一下，注意到 $cos heta$ 可以约掉（在我们的积分范围内 $cos heta eq 0$）：
$$ int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} 2 sin^2 heta , d heta $$
要计算 $int sin^2 heta , d heta$，我们可以使用三角恒等式：$sin^2 heta = frac{1 cos(2 heta)}{2}$。
$$ int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} 2 cdot frac{1 cos(2 heta)}{2} , d heta = int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} (1 cos(2 heta)) , d heta $$
现在进行积分：
$$ left[ heta frac{1}{2} sin(2 heta) ight]_{0}^{arcsin(sqrt{b})} $$
代入上限和下限：
$$ left( arcsin(sqrt{b}) frac{1}{2} sin(2 arcsin(sqrt{b})) ight) left( 0 frac{1}{2} sin(0) ight) $$
$$ arcsin(sqrt{b}) frac{1}{2} sin(2 arcsin(sqrt{b})) $$
我们知道 $sin(2alpha) = 2 sin alpha cos alpha$。令 $alpha = arcsin(sqrt{b})$。
那么 $sin alpha = sqrt{b}$。
根据 $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$，我们有 $cos^2 alpha = 1 sin^2 alpha = 1 b$。
所以，$cos alpha = sqrt{1b}$ (因为 $ heta$ 在 $0$ 到 $pi/2$ 之间，$cos heta$ 是正的)。
代入到 $sin(2 arcsin(sqrt{b}))$ 中：
$sin(2 arcsin(sqrt{b})) = 2 sin(arcsin(sqrt{b})) cos(arcsin(sqrt{b})) = 2 cdot sqrt{b} cdot sqrt{1b} = 2sqrt{b(1b)}$。
所以，定积分的结果是：
$$ arcsin(sqrt{b}) frac{1}{2} (2sqrt{b(1b)}) = arcsin(sqrt{b}) sqrt{b(1b)} $$
第三步：计算极限
现在，我们将这个结果代入极限表达式：
$$ lim_{b o 1^} left( arcsin(sqrt{b}) sqrt{b(1b)} ight) $$
逐项计算极限：
$lim_{b o 1^} arcsin(sqrt{b})$:
当 $b o 1^$ 时，$sqrt{b} o sqrt{1} = 1$。
所以，$lim_{b o 1^} arcsin(sqrt{b}) = arcsin(1) = frac{pi}{2}$。
$lim_{b o 1^} sqrt{b(1b)}$:
当 $b o 1^$ 时，$b o 1$ 并且 $1b o 0$。
所以，$b(1b) o 1 cdot 0 = 0$。
因此，$lim_{b o 1^} sqrt{b(1b)} = sqrt{0} = 0$。
将这两个极限值相加：
$$ frac{pi}{2} 0 = frac{pi}{2} $$
结论
通过上述步骤，我们得出瑕积分 $int_{0}^{1} sqrt{frac{x}{1x}} , dx$ 的值为 $frac{pi}{2}$。
一些思考和检查：
三角换元的选择： 为什么选择 $x = sin^2 heta$ 是一个好的选择？它能将 $sqrt{1x}$ 转化为 $cos heta$，这是关键的一步。另外一种常见的换元是 $x = cos^2 heta$，效果类似。如果我们尝试 $x = an^2 heta$，会稍微复杂一些。
积分限的正确性： 确保在三角换元后，原积分区间 $[0, b]$ 对应到新变量 $ heta$ 的正确区间。当 $x=0$ 时，$sin^2 heta = 0 implies heta = 0$ 是合理的。当 $x=b$ 时，$sin^2 heta = b implies heta = arcsin(sqrt{b})$。由于 $0 le b < 1$，所以 $0 le sqrt{b} < 1$，对应的 $arcsin$ 值在 $[0, pi/2)$ 范围内，这个范围内的 $sin heta$ 和 $cos heta$ 都是非负的，与我们之前的处理一致。
$sin(2alpha)$ 的展开： 对 $sin(2 arcsin(sqrt{b}))$ 的化简是计算过程中的一个细节。理解 $sin(arcsin y) = y$ 和 $cos(arcsin y) = sqrt{1y^2}$ 是很重要的。
极限的正确性： 检查当 $b$ 趋近于1时，被积函数中的项的行为是否符合预期。$arcsin(sqrt{b})$ 趋近于 $pi/2$ 是由于 $arcsin$ 函数在1处的连续性，而 $sqrt{b(1b)}$ 趋近于0是由于因子 $1b$ 趋于0。
整个过程依赖于将瑕积分的定义转化为极限，然后利用三角换元来解决积分本身，最后再求极限值。这是一个典型的处理瑕积分的方法。
要解决这个问题，我们需要用到极限的思想。我们将积分上限1替换成一个变量，比如 $b$，然后计算从0到 $b$ 的定积分，最后让 $b$ 从右侧趋近于1。
具体步骤如下：
第一步：将瑕积分转化为极限形式
我们要求的瑕积分是 $int_{0}^{1} sqrt{frac{x}{1x}} , dx$。
因为问题出在 $x=1$ 处，所以我们将其表示为：
$$ int_{0}^{1} sqrt{frac{x}{1x}} , dx = lim_{b o 1^} int_{0}^{b} sqrt{frac{x}{1x}} , dx $$
这里的 $b o 1^$ 表示 $b$ 从小于1的数值趋近于1。
第二步：计算定积分 $int_{0}^{b} sqrt{frac{x}{1x}} , dx$
这个积分看起来有点棘手，我们可以尝试一些标准的积分技巧。一个常见的处理 $sqrt{frac{x}{ax}}$ 类型积分的方法是进行三角换元。
令 $x = sin^2 heta$。
那么，$dx = 2 sin heta cos heta , d heta$。
现在我们需要确定积分限的变化：
当 $x=0$ 时，$sin^2 heta = 0$，所以 $sin heta = 0$。我们可以取 $ heta = 0$。
当 $x=b$ 时，$sin^2 heta = b$，所以 $sin heta = sqrt{b}$。我们可以取 $ heta = arcsin(sqrt{b})$。
接下来，我们替换被积函数中的 $x$ 和 $1x$：
$sqrt{x} = sqrt{sin^2 heta} = sin heta$ (因为在我们的积分范围内，$ heta$ 的值会使得 $sin heta ge 0$)
$sqrt{1x} = sqrt{1sin^2 heta} = sqrt{cos^2 heta} = cos heta$ (同样，在我们的积分范围内，$ heta$ 的值会使得 $cos heta ge 0$)
所以，被积函数 $sqrt{frac{x}{1x}}$ 变成 $frac{sin heta}{cos heta}$。
现在将这些代入定积分：
$$ int_{0}^{b} sqrt{frac{x}{1x}} , dx = int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} frac{sin heta}{cos heta} cdot (2 sin heta cos heta) , d heta $$
化简一下，注意到 $cos heta$ 可以约掉（在我们的积分范围内 $cos heta eq 0$）：
$$ int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} 2 sin^2 heta , d heta $$
要计算 $int sin^2 heta , d heta$，我们可以使用三角恒等式：$sin^2 heta = frac{1 cos(2 heta)}{2}$。
$$ int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} 2 cdot frac{1 cos(2 heta)}{2} , d heta = int_{0}^{arcsin(sqrt{b})} (1 cos(2 heta)) , d heta $$
现在进行积分：
$$ left[ heta frac{1}{2} sin(2 heta) ight]_{0}^{arcsin(sqrt{b})} $$
代入上限和下限：
$$ left( arcsin(sqrt{b}) frac{1}{2} sin(2 arcsin(sqrt{b})) ight) left( 0 frac{1}{2} sin(0) ight) $$
$$ arcsin(sqrt{b}) frac{1}{2} sin(2 arcsin(sqrt{b})) $$
我们知道 $sin(2alpha) = 2 sin alpha cos alpha$。令 $alpha = arcsin(sqrt{b})$。
那么 $sin alpha = sqrt{b}$。
根据 $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$，我们有 $cos^2 alpha = 1 sin^2 alpha = 1 b$。
所以，$cos alpha = sqrt{1b}$ (因为 $ heta$ 在 $0$ 到 $pi/2$ 之间，$cos heta$ 是正的)。
代入到 $sin(2 arcsin(sqrt{b}))$ 中：
$sin(2 arcsin(sqrt{b})) = 2 sin(arcsin(sqrt{b})) cos(arcsin(sqrt{b})) = 2 cdot sqrt{b} cdot sqrt{1b} = 2sqrt{b(1b)}$。
所以，定积分的结果是：
$$ arcsin(sqrt{b}) frac{1}{2} (2sqrt{b(1b)}) = arcsin(sqrt{b}) sqrt{b(1b)} $$
第三步：计算极限
现在，我们将这个结果代入极限表达式：
$$ lim_{b o 1^} left( arcsin(sqrt{b}) sqrt{b(1b)} ight) $$
逐项计算极限：
$lim_{b o 1^} arcsin(sqrt{b})$:
当 $b o 1^$ 时，$sqrt{b} o sqrt{1} = 1$。
所以，$lim_{b o 1^} arcsin(sqrt{b}) = arcsin(1) = frac{pi}{2}$。
$lim_{b o 1^} sqrt{b(1b)}$:
当 $b o 1^$ 时，$b o 1$ 并且 $1b o 0$。
所以，$b(1b) o 1 cdot 0 = 0$。
因此，$lim_{b o 1^} sqrt{b(1b)} = sqrt{0} = 0$。
将这两个极限值相加：
$$ frac{pi}{2} 0 = frac{pi}{2} $$
结论
通过上述步骤，我们得出瑕积分 $int_{0}^{1} sqrt{frac{x}{1x}} , dx$ 的值为 $frac{pi}{2}$。
一些思考和检查：
三角换元的选择： 为什么选择 $x = sin^2 heta$ 是一个好的选择？它能将 $sqrt{1x}$ 转化为 $cos heta$，这是关键的一步。另外一种常见的换元是 $x = cos^2 heta$，效果类似。如果我们尝试 $x = an^2 heta$，会稍微复杂一些。
积分限的正确性： 确保在三角换元后，原积分区间 $[0, b]$ 对应到新变量 $ heta$ 的正确区间。当 $x=0$ 时，$sin^2 heta = 0 implies heta = 0$ 是合理的。当 $x=b$ 时，$sin^2 heta = b implies heta = arcsin(sqrt{b})$。由于 $0 le b < 1$，所以 $0 le sqrt{b} < 1$，对应的 $arcsin$ 值在 $[0, pi/2)$ 范围内，这个范围内的 $sin heta$ 和 $cos heta$ 都是非负的，与我们之前的处理一致。
$sin(2alpha)$ 的展开： 对 $sin(2 arcsin(sqrt{b}))$ 的化简是计算过程中的一个细节。理解 $sin(arcsin y) = y$ 和 $cos(arcsin y) = sqrt{1y^2}$ 是很重要的。
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整个过程依赖于将瑕积分的定义转化为极限，然后利用三角换元来解决积分本身，最后再求极限值。这是一个典型的处理瑕积分的方法。
网友意见
楼上的解答很好了，我来整点别的活。
令 ，则 。代入得原式 。
注意到
故代入计算得原式等于 。
作换元，置 则 于是
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