李亚普诺夫第一法（小干扰法）判断系统稳定性为什么当状态矩阵出现零根或实部为 0 的虚根的时候会失效？
李亚普诺夫第一法，也被称为小干扰法（Linearization Method），是我们分析非线性系统在平衡点附近稳定性时常用的一个强大工具。它的核心思想是，如果一个非线性系统在某个平衡点附近可以用一个线性系统来近似，并且这个线性系统的所有特征值（也就是特征方程的根）的实部都为负，那么原非线性系统在那个平衡点附近也是渐近稳定的。反之，如果存在特征值实部大于零，则不稳定。
然而，这个方法并非万能，当线性化后的状态矩阵（通常记作 $A$）出现一些特殊情况时，它就“失效”了，也就是说，我们无法仅仅依靠线性化结果来准确判断非线性系统的稳定性。这些特殊情况主要集中在特征值是零根，或者实部为零的虚根（也就是纯虚根）上。
我们不妨来仔细分析一下为什么会出现这种情况。
核心：线性化近似的局限性
李亚普诺夫第一法之所以能工作，是因为它依赖于一个关键的假设：在平衡点附近，非线性系统的行为可以用一个线性系统来近似。这个近似是通过泰勒级数展开得到的，我们保留了平衡点处雅可比矩阵（即状态矩阵 $A$）的一阶项，而忽略了高阶项。
$A = left. frac{partial f(x)}{partial x} ight|_{x=x_e}$
其中 $f(x)$ 是描述非线性系统动态的函数，而 $x_e$ 是平衡点。
当线性化后的状态矩阵 $A$ 的特征值都具有负实部时，意味着线性化系统会迅速收敛到平衡点。因为高阶项的影响在平衡点附近足够小，所以我们认为非线性系统也具有同样的收敛趋势。
失效的两种情况分析
现在，我们来看看当 $A$ 的特征值出现零根或实部为零的虚根时，为什么这个逻辑会“卡壳”。
1. 零根（特征值为 0）
如果线性化矩阵 $A$ 的一个特征值为零，这意味着线性化后的系统在某个方向上没有指数衰减或指数增长的趋势。更具体地说，如果 $A$ 有一个特征值为零，那么存在一个非零向量 $v$ 使得 $Av = 0$。
在动态方程中的体现： 如果我们将非线性系统在平衡点 $x_e$ 附近表示为 $dot{x} = f(x)$，那么线性化后就是 $dot{x} approx A(x x_e)$。如果 $A$ 有一个零特征值对应的特征向量 $v$，这意味着对于一个偏离平衡点方向为 $v$ 的小扰动 $ delta x = epsilon v $（其中 $epsilon$ 是一个很小的常数），线性化方程会变成 $ frac{d(epsilon v)}{dt} approx A(epsilon v) = epsilon (Av) = 0 $。 这表明在那个方向上，系统的变化率在第一个近似下是零，它不会立即消失（收敛）也不会立即发散。
高阶项的作用： 线性化只保留了高阶项的“影子”，但没有完全捕捉它们的影响。当特征值为零时，线性化的近似能力变得非常有限，因为系统在这个方向上的动态行为完全取决于被我们忽略的高阶项。
可能的情况：
稳定： 如果高阶项使得系统在这个方向上具有一个“吸引力”或者趋于稳定的行为（例如，非线性项在零点附近是负的），那么系统可能仍然是稳定的。
不稳定： 反之，如果高阶项在这个方向上产生一个“推力”，使得系统会发散，那么系统就是不稳定的。
中性稳定： 还有一种可能性是，系统在这个方向上既不收敛也不发散，保持一个恒定的偏离，这被称为中性稳定。
举例说明： 考虑一个简单的非线性系统，其平衡点处雅可比矩阵为 $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$。这意味着第一个状态变量是稳定的（指数衰减），而第二个状态变量在线性化下是“静止”的。如果我们有一个非线性项，比如 $f_2(x_1, x_2) = x_2^3$。那么线性化后，$A$ 依然是上面的形式。但非线性项 $x_2^3$ 在 $x_2$ 趋于零时，其行为是负的（即对 $x_2$ 有阻尼作用），所以系统会稳定。但如果我们有个非线性项是 $f_2(x_1, x_2) = x_2^3$，那么线性化后的矩阵 $A$ 没有变化，但是非线性项 $x_2^3$ 在 $x_2$ 趋于零时，其行为是正的（即对 $x_2$ 有加速作用），会导致系统不稳定。李亚普诺夫第一法在这里就无法区分这两种情况。
2. 实部为零的虚根（纯虚根）
如果线性化矩阵 $A$ 的一个特征值为纯虚数，例如 $jomega$ 或 $jomega$，那么线性化后的系统在这种情况下会表现出振荡行为。这意味着在 $A$ 的特征向量方向上，系统不会收敛也不会发散，而是在平衡点附近围绕着平衡点进行周期性的运动。
在动态方程中的体现： 如果 $A$ 有一对共轭纯虚根 $ pm jomega $，则线性化系统在对应的特征向量方向上会表现出 $ cos(omega t) $ 和 $ sin(omega t) $ 的行为。这意味着系统会围绕平衡点振荡。
高阶项的作用（关键）： 同样，问题出在高阶项上。线性化忽略了高阶非线性项对振荡行为的影响。
稳定化（硬支撑或软支撑）： 一些非线性系统在高阶项的作用下，可能会使得原本的振荡逐渐衰减，最终收敛到平衡点。这通常发生在非线性项对振荡能量有损耗作用时。例如，一些阻尼非线性项可以使振荡幅度减小。
不稳定性（硬激励或软激励）： 反之，有些非线性项在高阶的作用下，可能会逐渐增大振荡的幅度，导致系统最终发散。这就像是在一个纯振荡的系统上施加了一个“激励”效应。例如，一些非线性项可能导致振荡的能量不断增加。
极限环： 还有一种可能，就是系统不会收敛到平衡点，也不会发散到无穷，而是在平衡点附近围绕着一个不通过平衡点的闭合轨迹（极限环）运动。这个极限环的形成就是高阶项作用的结果。
举例说明： 考虑一个经典的例子，如范德波尔振子（Van der Pol oscillator）。它的方程可以被写成一个二阶系统，其平衡点处线性化的雅可比矩阵可能具有纯虚根。但是，其非线性项（通常是 $ mu(1x^2)dot{x} $ 形式）在高阶的作用下，会产生一个稳定的极限环，使得系统在平衡点附近振荡而不收敛，也不发散。李亚普诺夫第一法在这种情况下就会失效，因为它无法预测到这个极限环的存在。
总结一下
李亚普诺夫第一法（小干扰法）之所以在这些情况下失效，是因为它仅仅依赖于对系统在平衡点处线性化的线性近似。当线性化矩阵 $A$ 的特征值为零根或纯虚根时，意味着线性化后的系统在这些方向上的行为要么是“静止”的，要么是“纯振荡”的。这恰恰是高阶非线性项开始“发挥主导作用”的关键区域。
线性化忽略的高阶项，在这些特征值特殊的情况下，不再是微不足道的“扰动”，而是决定系统最终稳定性的关键因素。这些高阶项可以“抵消”或“增强”线性部分的“静止”或“振荡”趋势，导致系统可能比线性化预测的更稳定、更不稳定，或者展现出全新的动态行为（如极限环）。
因此，当遇到这些情况时，我们就不能仅仅依靠李亚普诺夫第一法的结论，而需要采用更高级、更全面的稳定性分析方法，比如李亚普诺夫第二法（直接法）或者数值仿真来更准确地判断系统的稳定性。
然而，这个方法并非万能，当线性化后的状态矩阵（通常记作 $A$）出现一些特殊情况时，它就“失效”了，也就是说，我们无法仅仅依靠线性化结果来准确判断非线性系统的稳定性。这些特殊情况主要集中在特征值是零根，或者实部为零的虚根（也就是纯虚根）上。
我们不妨来仔细分析一下为什么会出现这种情况。
核心：线性化近似的局限性
李亚普诺夫第一法之所以能工作，是因为它依赖于一个关键的假设：在平衡点附近，非线性系统的行为可以用一个线性系统来近似。这个近似是通过泰勒级数展开得到的，我们保留了平衡点处雅可比矩阵（即状态矩阵 $A$）的一阶项，而忽略了高阶项。
$A = left. frac{partial f(x)}{partial x} ight|_{x=x_e}$
其中 $f(x)$ 是描述非线性系统动态的函数，而 $x_e$ 是平衡点。
当线性化后的状态矩阵 $A$ 的特征值都具有负实部时，意味着线性化系统会迅速收敛到平衡点。因为高阶项的影响在平衡点附近足够小，所以我们认为非线性系统也具有同样的收敛趋势。
失效的两种情况分析
现在，我们来看看当 $A$ 的特征值出现零根或实部为零的虚根时，为什么这个逻辑会“卡壳”。
1. 零根（特征值为 0）
如果线性化矩阵 $A$ 的一个特征值为零，这意味着线性化后的系统在某个方向上没有指数衰减或指数增长的趋势。更具体地说，如果 $A$ 有一个特征值为零，那么存在一个非零向量 $v$ 使得 $Av = 0$。
在动态方程中的体现： 如果我们将非线性系统在平衡点 $x_e$ 附近表示为 $dot{x} = f(x)$，那么线性化后就是 $dot{x} approx A(x x_e)$。如果 $A$ 有一个零特征值对应的特征向量 $v$，这意味着对于一个偏离平衡点方向为 $v$ 的小扰动 $ delta x = epsilon v $（其中 $epsilon$ 是一个很小的常数），线性化方程会变成 $ frac{d(epsilon v)}{dt} approx A(epsilon v) = epsilon (Av) = 0 $。 这表明在那个方向上，系统的变化率在第一个近似下是零，它不会立即消失（收敛）也不会立即发散。
高阶项的作用： 线性化只保留了高阶项的“影子”，但没有完全捕捉它们的影响。当特征值为零时，线性化的近似能力变得非常有限，因为系统在这个方向上的动态行为完全取决于被我们忽略的高阶项。
可能的情况：
稳定： 如果高阶项使得系统在这个方向上具有一个“吸引力”或者趋于稳定的行为（例如，非线性项在零点附近是负的），那么系统可能仍然是稳定的。
不稳定： 反之，如果高阶项在这个方向上产生一个“推力”，使得系统会发散，那么系统就是不稳定的。
中性稳定： 还有一种可能性是，系统在这个方向上既不收敛也不发散，保持一个恒定的偏离，这被称为中性稳定。
举例说明： 考虑一个简单的非线性系统，其平衡点处雅可比矩阵为 $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$。这意味着第一个状态变量是稳定的（指数衰减），而第二个状态变量在线性化下是“静止”的。如果我们有一个非线性项，比如 $f_2(x_1, x_2) = x_2^3$。那么线性化后，$A$ 依然是上面的形式。但非线性项 $x_2^3$ 在 $x_2$ 趋于零时，其行为是负的（即对 $x_2$ 有阻尼作用），所以系统会稳定。但如果我们有个非线性项是 $f_2(x_1, x_2) = x_2^3$，那么线性化后的矩阵 $A$ 没有变化，但是非线性项 $x_2^3$ 在 $x_2$ 趋于零时，其行为是正的（即对 $x_2$ 有加速作用），会导致系统不稳定。李亚普诺夫第一法在这里就无法区分这两种情况。
2. 实部为零的虚根（纯虚根）
如果线性化矩阵 $A$ 的一个特征值为纯虚数，例如 $jomega$ 或 $jomega$，那么线性化后的系统在这种情况下会表现出振荡行为。这意味着在 $A$ 的特征向量方向上，系统不会收敛也不会发散，而是在平衡点附近围绕着平衡点进行周期性的运动。
在动态方程中的体现： 如果 $A$ 有一对共轭纯虚根 $ pm jomega $，则线性化系统在对应的特征向量方向上会表现出 $ cos(omega t) $ 和 $ sin(omega t) $ 的行为。这意味着系统会围绕平衡点振荡。
高阶项的作用（关键）： 同样，问题出在高阶项上。线性化忽略了高阶非线性项对振荡行为的影响。
稳定化（硬支撑或软支撑）： 一些非线性系统在高阶项的作用下，可能会使得原本的振荡逐渐衰减，最终收敛到平衡点。这通常发生在非线性项对振荡能量有损耗作用时。例如，一些阻尼非线性项可以使振荡幅度减小。
不稳定性（硬激励或软激励）： 反之，有些非线性项在高阶的作用下，可能会逐渐增大振荡的幅度，导致系统最终发散。这就像是在一个纯振荡的系统上施加了一个“激励”效应。例如，一些非线性项可能导致振荡的能量不断增加。
极限环： 还有一种可能，就是系统不会收敛到平衡点，也不会发散到无穷，而是在平衡点附近围绕着一个不通过平衡点的闭合轨迹（极限环）运动。这个极限环的形成就是高阶项作用的结果。
举例说明： 考虑一个经典的例子，如范德波尔振子（Van der Pol oscillator）。它的方程可以被写成一个二阶系统，其平衡点处线性化的雅可比矩阵可能具有纯虚根。但是，其非线性项（通常是 $ mu(1x^2)dot{x} $ 形式）在高阶的作用下，会产生一个稳定的极限环，使得系统在平衡点附近振荡而不收敛，也不发散。李亚普诺夫第一法在这种情况下就会失效，因为它无法预测到这个极限环的存在。
总结一下
李亚普诺夫第一法（小干扰法）之所以在这些情况下失效，是因为它仅仅依赖于对系统在平衡点处线性化的线性近似。当线性化矩阵 $A$ 的特征值为零根或纯虚根时，意味着线性化后的系统在这些方向上的行为要么是“静止”的，要么是“纯振荡”的。这恰恰是高阶非线性项开始“发挥主导作用”的关键区域。
线性化忽略的高阶项，在这些特征值特殊的情况下，不再是微不足道的“扰动”，而是决定系统最终稳定性的关键因素。这些高阶项可以“抵消”或“增强”线性部分的“静止”或“振荡”趋势，导致系统可能比线性化预测的更稳定、更不稳定，或者展现出全新的动态行为（如极限环）。
因此，当遇到这些情况时，我们就不能仅仅依靠李亚普诺夫第一法的结论，而需要采用更高级、更全面的稳定性分析方法，比如李亚普诺夫第二法（直接法）或者数值仿真来更准确地判断系统的稳定性。
网友意见
这里不从数学推导的角度，而只是通过几何直观描述一下
当出现实部为0的虚根时，对应的线性方程组的critical point的类型是center，如下图所示
但是对于非线性方程组而言，微扰一下，有可能就陷进去了，这就稳定了
也有可能绕出去了，这就不稳定了
你看看其他类型那些特征，比如出现两个不同的负实根，此时critical point的类型是nodal sink，对应的线性方程组的图像如下所示
你再微扰一下，它还是稳定的。
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