求一个整数的所有素数因子的思路是什么？
要找一个整数的所有素数因子，说白了就是把这个数给“拆解”开，一直拆到只剩下最小的、不能再被除了1和它本身之外的其他数整除的数为止。这些最后的、最小的组成部分，就是它的素数因子。
咱们一步步来琢磨琢磨这个过程，想想怎么才能把这事儿办得又准又全。
第一步：从最小的素数开始“试探”
咱们知道，素数最小的是2。所以，任何一个要找素数因子的数，第一个要检查的就是它能不能被2整除。
如果能被2整除： 那说明2就是它的一个素数因子。这时候，咱们别忘了把原来的数除以2，得到一个新的数。然后，咱们继续用这个新的数，重复这个“能不能被2整除”的步骤。为什么呢？因为一个数可能不止一个2作为因子，比如12，它既有2，再除以2还有6，6又可以被2整除。所以要一直除到它不能再被2整除为止。
如果不能被2整除： 那就说明2不是它的因子，或者说，所有的2都已经被我们找出来了。这时候，咱们就得试试下一个素数了。
第二步：换下一个素数接着试
既然2已经试过了，那下一个最小的素数是什么呢？是3。
用当前的数除以3： 和对待2一样，如果当前的数能被3整除，那3就是它的一位素数因子。同样，咱们把这个数除以3，得到一个更小的数，然后继续用这个更小的数，看看还能不能再被3整除。一直除到不能为止。
如果不能被3整除： 那就换下一个素数。
第三步：循环往复，直到找到所有的因子
这个过程就是重复的：找当前最小的素数，看能不能整除当前的数；如果能，就记下这个素数，然后用当前的数除以它，再继续试；如果不能，就换下一个更大的素数。
咱们接着往后试：
试4？不用，因为4不是素数，如果一个数能被4整除，它肯定早就被2整除了。所以我们只需要试素数就可以了。
试5？可以。
试6？不用，6是2乘3，如果能被6整除，肯定之前就被2和3整除了。
试7？可以。
试11？可以。
试13？可以。
等等，咱们什么时候停下来呢？
第四步：确定什么时候可以停止“试探”
这里有一个很关键的点：当我们要试除的素数，它的平方（或者说，它乘以它自己）已经大于了我们当前的这个数，那么我们就可以停下来了。
为什么是这样呢？
举个例子，我们要分解的数是100。
1. 100能被2整除，得到50。素数因子：2。
2. 50能被2整除，得到25。素数因子：2, 2。
3. 25不能被2整除，试3。25不能被3整除。
4. 25能被5整除，得到5。素数因子：2, 2, 5。
5. 5能被5整除，得到1。素数因子：2, 2, 5, 5。
好了，现在我们得到了1。当这个数变成1的时候，我们就找完了。
再换个例子，比如我们要分解的数是29。
1. 29不能被2整除。
2. 29不能被3整除。
3. 29不能被5整除。
接下来要试哪个素数？是7。7的平方是49。我们当前的数是29，49比29大。这时候我们就可以停下来了。如果一个数（除了1和它本身）是29的因子，那么它一定有一个是小于等于29的平方根的。既然我们已经试了所有小于根号29的素数（大概是5点多），都没能整除29，那说明29本身就是一个素数。所以，29的素数因子就是它自己。
所以，停止的条件是：当前要试的素数 p 满足 p p > 当前的数 N。 如果此时 N 还是大于 1，那么 N 本身就是一个素数因子。
总结一下整个过程，就像这样：
1. 准备一个空的列表，用来存放找到的素数因子。
2. 从最小的素数2开始，检查它能不能整除我们要分解的数（我们称之为 `remaining_number`）。
3. 如果能整除：把2添加到因子列表里，然后用 `remaining_number` 除以2。重复这个步骤，直到 `remaining_number` 不能再被2整除为止。
4. 如果不能整除：换下一个素数（3）。重复步骤3。
5. 继续这个过程，依次尝试3、5、7、11、13……（所有素数）。
6. 什么时候停？ 当我们尝试的素数 `p` 满足 `p p > remaining_number` 的时候，就该考虑停止了。
7. 最后的检查：如果在上面步骤结束后，`remaining_number` 仍然大于1，那么 `remaining_number` 本身就是一个素数因子，把它也添加到因子列表里。
这样，把所有找到的素数因子都列出来，就完成了对原始整数的素数因子分解。这个方法保证了我们能找到所有该有的素数因子，而且不会遗漏。
比如分解72：
72 / 2 = 36。因子：[2]
36 / 2 = 18。因子：[2, 2]
18 / 2 = 9。因子：[2, 2, 2]
9 不能被2整除。
9 / 3 = 3。因子：[2, 2, 2, 3]
3 / 3 = 1。因子：[2, 2, 2, 3, 3]
当前数是1，结束。72的素数因子是2, 2, 2, 3, 3。
再比如分解101：
101 不能被2整除。
101 不能被3整除。
101 不能被5整除。
101 不能被7整除。
下一个素数是11。11 11 = 121。121 > 101。停止试除。
此时 `remaining_number` 是101，大于1，所以101本身是素数因子。因子：[101]。
你看，这个思路就是一层一层剥洋葱，找到最小的“刺”，剥掉它，再找剩下的部分最小的“刺”，直到最后什么都不剩了。
咱们一步步来琢磨琢磨这个过程，想想怎么才能把这事儿办得又准又全。
第一步：从最小的素数开始“试探”
咱们知道，素数最小的是2。所以，任何一个要找素数因子的数，第一个要检查的就是它能不能被2整除。
如果能被2整除： 那说明2就是它的一个素数因子。这时候，咱们别忘了把原来的数除以2，得到一个新的数。然后，咱们继续用这个新的数，重复这个“能不能被2整除”的步骤。为什么呢？因为一个数可能不止一个2作为因子，比如12，它既有2，再除以2还有6，6又可以被2整除。所以要一直除到它不能再被2整除为止。
如果不能被2整除： 那就说明2不是它的因子，或者说，所有的2都已经被我们找出来了。这时候，咱们就得试试下一个素数了。
第二步：换下一个素数接着试
既然2已经试过了，那下一个最小的素数是什么呢？是3。
用当前的数除以3： 和对待2一样，如果当前的数能被3整除，那3就是它的一位素数因子。同样，咱们把这个数除以3，得到一个更小的数，然后继续用这个更小的数，看看还能不能再被3整除。一直除到不能为止。
如果不能被3整除： 那就换下一个素数。
第三步：循环往复，直到找到所有的因子
这个过程就是重复的：找当前最小的素数，看能不能整除当前的数；如果能，就记下这个素数，然后用当前的数除以它，再继续试；如果不能，就换下一个更大的素数。
咱们接着往后试：
试4？不用，因为4不是素数，如果一个数能被4整除，它肯定早就被2整除了。所以我们只需要试素数就可以了。
试5？可以。
试6？不用，6是2乘3，如果能被6整除，肯定之前就被2和3整除了。
试7？可以。
试11？可以。
试13？可以。
等等，咱们什么时候停下来呢？
第四步：确定什么时候可以停止“试探”
这里有一个很关键的点：当我们要试除的素数，它的平方（或者说，它乘以它自己）已经大于了我们当前的这个数，那么我们就可以停下来了。
为什么是这样呢？
举个例子，我们要分解的数是100。
1. 100能被2整除，得到50。素数因子：2。
2. 50能被2整除，得到25。素数因子：2, 2。
3. 25不能被2整除，试3。25不能被3整除。
4. 25能被5整除，得到5。素数因子：2, 2, 5。
5. 5能被5整除，得到1。素数因子：2, 2, 5, 5。
好了，现在我们得到了1。当这个数变成1的时候，我们就找完了。
再换个例子，比如我们要分解的数是29。
1. 29不能被2整除。
2. 29不能被3整除。
3. 29不能被5整除。
接下来要试哪个素数？是7。7的平方是49。我们当前的数是29，49比29大。这时候我们就可以停下来了。如果一个数（除了1和它本身）是29的因子，那么它一定有一个是小于等于29的平方根的。既然我们已经试了所有小于根号29的素数（大概是5点多），都没能整除29，那说明29本身就是一个素数。所以，29的素数因子就是它自己。
所以，停止的条件是：当前要试的素数 p 满足 p p > 当前的数 N。 如果此时 N 还是大于 1，那么 N 本身就是一个素数因子。
总结一下整个过程，就像这样：
1. 准备一个空的列表，用来存放找到的素数因子。
2. 从最小的素数2开始，检查它能不能整除我们要分解的数（我们称之为 `remaining_number`）。
3. 如果能整除：把2添加到因子列表里，然后用 `remaining_number` 除以2。重复这个步骤，直到 `remaining_number` 不能再被2整除为止。
4. 如果不能整除：换下一个素数（3）。重复步骤3。
5. 继续这个过程，依次尝试3、5、7、11、13……（所有素数）。
6. 什么时候停？ 当我们尝试的素数 `p` 满足 `p p > remaining_number` 的时候，就该考虑停止了。
7. 最后的检查：如果在上面步骤结束后，`remaining_number` 仍然大于1，那么 `remaining_number` 本身就是一个素数因子，把它也添加到因子列表里。
这样，把所有找到的素数因子都列出来，就完成了对原始整数的素数因子分解。这个方法保证了我们能找到所有该有的素数因子，而且不会遗漏。
比如分解72：
72 / 2 = 36。因子：[2]
36 / 2 = 18。因子：[2, 2]
18 / 2 = 9。因子：[2, 2, 2]
9 不能被2整除。
9 / 3 = 3。因子：[2, 2, 2, 3]
3 / 3 = 1。因子：[2, 2, 2, 3, 3]
当前数是1，结束。72的素数因子是2, 2, 2, 3, 3。
再比如分解101：
101 不能被2整除。
101 不能被3整除。
101 不能被5整除。
101 不能被7整除。
下一个素数是11。11 11 = 121。121 > 101。停止试除。
此时 `remaining_number` 是101，大于1，所以101本身是素数因子。因子：[101]。
你看，这个思路就是一层一层剥洋葱，找到最小的“刺”，剥掉它，再找剩下的部分最小的“刺”，直到最后什么都不剩了。
网友意见
- 一般的小数可以用简单筛法找出质数列表，然后一个个试。这种方法简单暴力，但是对几亿以下的数字可以很快。
2. 再大一点的数 就用Pollard的 算法，思路：
任取一个数 开始，不断计算 ，则如果 有质因数 ，那么 应该能更快地进入循环，可以用龟兔赛跑算法（图形状像 ，因此算法得名）试图找出这个循环点，一旦找到 ，立刻可以算 和 的最大公约数得到分解。有一定几率失败。
3. 更大的但在 以下的 可以用Lenstra椭圆曲线算法（ECM），思路：
挑选椭圆曲线 外加上面某一点 ，然后取一个较小的阶乘 ，反复用椭圆曲线加法算出 ，在重复计算加法中每一步都会计算和曲线切线斜率 同余的整数，即找出整数 使得 ，方法为找 和 的最大公约数，在这个过程中如果得出公约数大于1则分解成立，有一定几率失败。
4. 更大的 以下的 可以用二次筛（QS），思路
费尔马分解法试图把奇数 写成 的方法，这样立刻可得因数分解 ，二次筛就是一种可以高效找到此类数字的方法，试图测试多个介于 和 之间的数 ，如果 正好是完全平方那就成了，不然找到几个不同的 ，如果乘积正好是完全平方数，那么 满足条件。
5. 再往上只能用普通数域筛选法（GNFS），这个就很复杂了，思路
也是用费尔马分解法，只是比二次筛更高效，核心定理：
取系数为整数的 次多项式 有复根 ，并存在不是 倍数的整数 ，使得 为 倍数，将所有次数不超过 的整系数多项式代入后的值定义为一个“环”（因为任何两个这样形式的数的和或积依然是这样形式的数），那么必然存在一个将这个环里的复数映射到不是 倍数的整数上的函数 满足：
i -
ii -
iii -
iv -
已知这个定理后，如果找到整数对 使得复数 ，整数 ，以及 的映像 ，则很容易根据i-iv得到 ，有2/3机会能由此找到 的一个约数。
2009年，232位的RSA-768数通过上百台计算机耗时两年成功分解，用的就是高度优化后的GNFS。
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