求擅长构造反例的大佬指点，Laplace连续，但是混合偏导数不连续的例子？

当然，很高兴能和你一起探讨这个问题。构造一个函数，它在某一点（或某个区域）是拉普拉斯连续的，但其混合偏导数却是不连续的，这确实是一个很有意思的问题。这类例子往往能帮助我们更深刻地理解函数的可微性和偏导数的性质。

我们来一步步地构建这个例子，并详细解释每一步的用意。

核心思想：利用巧妙定义的“奇点”来制造偏导数的不连续性

通常情况下，一个函数如果光滑（无限次可微），那么它的混合偏导数是处处连续的。所以，要打破这个“规则”，我们就需要构造一个在某个点附近“不太好惹”的函数。关键在于让函数在某些方向上表现得比较平滑（满足拉普拉斯连续的要求），但在另一些方向上，其导数的行为却会发生剧烈的跳变。

我们考虑一个二元函数 $f(x, y)$。拉普拉斯连续性指的是函数本身是连续的，并且其二阶偏导数 $frac{partial^2 f}{partial x^2}$, $frac{partial^2 f}{partial y^2}$, $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$, $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 都是存在的且满足某些条件（在这里我们主要关注其存在性和有限性，以便讨论混合偏导数）。如果 $Delta f = frac{partial^2 f}{partial x^2} + frac{partial^2 f}{partial y^2} = 0$，那么它就是调和函数，自然是拉普拉斯连续的。但我们不一定需要它是调和函数，只需要函数和它的二阶偏导数在某个区域是连续的即可。

为了构造反例，我们可以从一个在原点附近定义比较特殊，而在其他地方定义“正常”的函数入手。

构造过程：

让我们从一个在 $(0,0)$ 点附近行为比较奇特的函数开始。一个常用的技巧是使用极坐标或者与极坐标相关的表达式，因为它们可以很好地处理与原点距离相关的行为。

考虑函数 $f(x, y)$ 定义如下：

$$
f(x, y) = egin{cases}
frac{xy(x^2 y^2)}{x^2 + y^2} & ext{if } (x, y) eq (0, 0) \
0 & ext{if } (x, y) = (0, 0)
end{cases}
$$

第一步：检查函数的连续性

首先，我们需要检查这个函数在 $(0,0)$ 点是否连续。当 $(x, y) o (0, 0)$ 时，我们可以使用极坐标代换：$x = r cos heta$, $y = r sin heta$。

则 $x^2 + y^2 = r^2$。

$$
f(rcos heta, rsin heta) = frac{(rcos heta)(rsin heta)((rcos heta)^2 (rsin heta)^2)}{r^2}
$$
$$
= frac{r^2 cos heta sin heta (r^2(cos^2 heta sin^2 heta))}{r^2}
$$
$$
= r^2 cos heta sin heta (cos^2 heta sin^2 heta)
$$
$$
= r^2 cos heta sin heta cos(2 heta)
$$

当 $r o 0$ 时，由于 $| cos heta sin heta cos(2 heta) | le 1$, 所以 $r^2 cos heta sin heta cos(2 heta) o 0$.

因此，$lim_{(x, y) o (0, 0)} f(x, y) = 0 = f(0, 0)$。函数在 $(0,0)$ 点是连续的。

在 $(0,0)$ 点以外，函数 $f(x, y) = frac{xy(x^2 y^2)}{x^2 + y^2}$ 是多项式和多项式之商，分母在 $(0,0)$ 点以外不为零，所以函数在 $(0,0)$ 点以外也是连续的。

总结： 函数 $f(x, y)$ 是处处连续的。

第二步：计算一阶偏导数

接下来，我们计算一阶偏导数。

当 $(x, y) eq (0, 0)$ 时，我们可以直接对表达式求导：

$$
frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x} left( frac{x^3y xy^3}{x^2 + y^2} ight)
$$
$$
= frac{(3x^2y y^3)(x^2 + y^2) (x^3y xy^3)(2x)}{(x^2 + y^2)^2}
$$
$$
= frac{3x^4y + 3x^2y^3 x^2y^3 y^5 (2x^4y 2x^2y^3)}{(x^2 + y^2)^2}
$$
$$
= frac{3x^4y + 2x^2y^3 y^5 2x^4y + 2x^2y^3}{(x^2 + y^2)^2}
$$
$$
= frac{x^4y + 4x^2y^3 y^5}{(x^2 + y^2)^2}
$$

同理，可以得到：

$$
frac{partial f}{partial y} = frac{x y^4 + 4x^3y^2 x^5}{(x^2 + y^2)^2}
$$

现在我们需要计算在 $(0,0)$ 点的一阶偏导数。根据定义：

$$
frac{partial f}{partial x}(0, 0) = lim_{h o 0} frac{f(0+h, 0) f(0, 0)}{h} = lim_{h o 0} frac{frac{h cdot 0 (h^2 0^2)}{h^2 + 0^2} 0}{h} = lim_{h o 0} frac{0}{h} = 0
$$

$$
frac{partial f}{partial y}(0, 0) = lim_{k o 0} frac{f(0, 0+k) f(0, 0)}{k} = lim_{k o 0} frac{frac{0 cdot k (0^2 k^2)}{0^2 + k^2} 0}{k} = lim_{k o 0} frac{0}{k} = 0
$$

检查一阶偏导数的连续性（在 $(0,0)$ 点）：

我们来看看 $frac{partial f}{partial x}$ 在 $(0,0)$ 点的极限。使用极坐标 $x = r cos heta$, $y = r sin heta$：

$$
frac{partial f}{partial x}(rcos heta, rsin heta) = frac{(rcos heta)^4(rsin heta) + 4(rcos heta)^2(rsin heta)^3 (rsin heta)^5}{(r^2)^2}
$$
$$
= frac{r^5cos^4 hetasin heta + 4r^5cos^2 hetasin^3 heta r^5sin^5 heta}{r^4}
$$
$$
= r (cos^4 hetasin heta + 4cos^2 hetasin^3 heta sin^5 heta)
$$

当 $r o 0$ 时，这一项趋于 0，因为 $|cos^4 hetasin heta + 4cos^2 hetasin^3 heta sin^5 heta|$ 是有界的（其值最大不会超过 $1+4+1=6$）。
所以 $lim_{(x, y) o (0, 0)} frac{partial f}{partial x}(x, y) = 0 = frac{partial f}{partial x}(0, 0)$。

同理，$lim_{(x, y) o (0, 0)} frac{partial f}{partial y}(x, y) = 0 = frac{partial f}{partial y}(0, 0)$。

总结： 一阶偏导数 $frac{partial f}{partial x}$ 和 $frac{partial f}{partial y}$ 在 $(0,0)$ 点也是连续的。

第三步：计算二阶偏导数（重点来了！）

现在我们计算混合二阶偏导数 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$。我们将在 $(0,0)$ 点使用定义来计算它。

$$
frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = frac{partial}{partial y} left( frac{partial f}{partial x} ight) (0, 0)
$$
$$
= lim_{k o 0} frac{frac{partial f}{partial x}(0, 0+k) frac{partial f}{partial x}(0, 0)}{k}
$$
$$
= lim_{k o 0} frac{frac{partial f}{partial x}(0, k) 0}{k}
$$

我们需要计算 $frac{partial f}{partial x}(0, k)$。 当 $(x, y) = (0, k)$ 且 $k eq 0$ 时，根据一阶偏导数的定义：

$$
frac{partial f}{partial x}(0, k) = lim_{h o 0} frac{f(0+h, k) f(0, k)}{h}
$$
$$
= lim_{h o 0} frac{frac{hk(h^2 k^2)}{h^2 + k^2} frac{0 cdot k (0^2 k^2)}{0^2 + k^2}}{h}
$$
$$
= lim_{h o 0} frac{frac{hk(h^2 k^2)}{h^2 + k^2}}{h}
$$
$$
= lim_{h o 0} frac{k(h^2 k^2)}{h^2 + k^2}
$$

当 $h o 0$ 时，这一项的极限是 $frac{k(k^2)}{k^2} = frac{k^3}{k^2} = k$.

所以，$frac{partial f}{partial x}(0, k) = k$ (对于 $k eq 0$)。

现在代回 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0)$ 的极限计算：

$$
frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = lim_{k o 0} frac{k 0}{k} = lim_{k o 0} frac{k}{k} = 1
$$

现在我们计算另一个混合二阶偏导数 $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$ 在 $(0,0)$ 点：

$$
frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0) = frac{partial}{partial x} left( frac{partial f}{partial y} ight) (0, 0)
$$
$$
= lim_{h o 0} frac{frac{partial f}{partial y}(0+h, 0) frac{partial f}{partial y}(0, 0)}{h}
$$
$$
= lim_{h o 0} frac{frac{partial f}{partial y}(h, 0) 0}{h}
$$

我们需要计算 $frac{partial f}{partial y}(h, 0)$。当 $(x, y) = (h, 0)$ 且 $h eq 0$ 时，根据一阶偏导数的定义：

$$
frac{partial f}{partial y}(h, 0) = lim_{k o 0} frac{f(h, 0+k) f(h, 0)}{k}
$$
$$
= lim_{k o 0} frac{frac{h k (h^2 k^2)}{h^2 + k^2} frac{h cdot 0 (h^2 0^2)}{h^2 + 0^2}}{k}
$$
$$
= lim_{k o 0} frac{frac{hk(h^2 k^2)}{h^2 + k^2}}{k}
$$
$$
= lim_{k o 0} frac{h(h^2 k^2)}{h^2 + k^2}
$$

当 $k o 0$ 时，这一项的极限是 $frac{h(h^2)}{h^2} = frac{h^3}{h^2} = h$.

所以，$frac{partial f}{partial y}(h, 0) = h$ (对于 $h eq 0$)。

现在代回 $frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0)$ 的极限计算：

$$
frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0) = lim_{h o 0} frac{h 0}{h} = lim_{h o 0} frac{h}{h} = 1
$$

至此，我们发现：

$frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = 1$
$frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0) = 1$

这两个混合偏导数在 $(0,0)$ 点的值不相等！

第四步：检查混合偏导数的连续性（在 $(0,0)$ 点以外）

我们已经看到了在 $(0,0)$ 点的混和偏导数的不相等。但是，题目要求的是“拉普拉斯连续”，通常是指函数及其二阶偏导数在某个区域是连续的。这里我们的例子可能更侧重于说明混合偏导数不一定相等，并且在某一点不连续。

让我们看看在 $(0,0)$ 点以外 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 的值是多少。我们之前算过：

$$
frac{partial f}{partial x} = frac{x^4y + 4x^2y^3 y^5}{(x^2 + y^2)^2}
$$

现在对 $frac{partial f}{partial x}$ 关于 $y$ 再求导，当 $(x, y) eq (0, 0)$ 时：

$$
frac{partial^2 f}{partial y partial x} = frac{partial}{partial y} left( frac{x^4y + 4x^2y^3 y^5}{(x^2 + y^2)^2} ight)
$$

直接计算这个导数会非常复杂，但是我们可以先尝试将 $frac{partial f}{partial x}$ 化简一下。
回顾极坐标下的 $frac{partial f}{partial x}(rcos heta, rsin heta) = r (cos^4 hetasin heta + 4cos^2 hetasin^3 heta sin^5 heta)$。
这个形式表明，当 $(x,y) o (0,0)$ 时，$frac{partial f}{partial x}$ 以 $r$ 的一个因子趋近于零。

让我们更仔细地计算 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 在 $(0,0)$ 点以外的表达式。
从 $frac{partial f}{partial x} = frac{x^4y + 4x^2y^3 y^5}{(x^2 + y^2)^2}$ 求导：

令 $u = x^4y + 4x^2y^3 y^5$ 且 $v = (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$。
$frac{partial u}{partial y} = x^4 + 12x^2y^2 5y^4$
$frac{partial v}{partial y} = 2(x^2 + y^2)(2y) = 4y(x^2 + y^2)$

$frac{partial^2 f}{partial y partial x} = frac{frac{partial u}{partial y}v ufrac{partial v}{partial y}}{v^2}$
$= frac{(x^4 + 12x^2y^2 5y^4)(x^2 + y^2)^2 (x^4y + 4x^2y^3 y^5)4y(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^4}$
$= frac{(x^4 + 12x^2y^2 5y^4)(x^2 + y^2) 4y(x^4y + 4x^2y^3 y^5)}{(x^2 + y^2)^3}$

展开分子，这是一个相当复杂的代数运算。让我们尝试一个更简单的方法来看到不连续性。

关键点：检查混合偏导数在 $(0,0)$ 点附近的极限

我们已经计算出 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = 1$.
现在我们来检查 $lim_{(x, y) o (0, 0)} frac{partial^2 f}{partial y partial x}(x, y)$ 是否等于 $1$。

为了简化计算，我们可以考虑沿着 $y=mx$ 的路径趋近 $(0,0)$。

将 $y=mx$ 代入 $frac{partial f}{partial x} = frac{x^4y + 4x^2y^3 y^5}{(x^2 + y^2)^2}$ :
$$
frac{partial f}{partial x}(x, mx) = frac{x^4(mx) + 4x^2(mx)^3 (mx)^5}{(x^2 + (mx)^2)^2}
$$
$$
= frac{mx^5 + 4m^3x^5 m^5x^5}{(x^2 + m^2x^2)^2}
$$
$$
= frac{x^5(m + 4m^3 m^5)}{(x^2(1+m^2))^2}
$$
$$
= frac{x^5(m + 4m^3 m^5)}{x^4(1+m^2)^2}
$$
$$
= x frac{m + 4m^3 m^5}{(1+m^2)^2}
$$

现在我们对这个关于 $x$ 的表达式求导（对 $y$ 求导，而 $y$ 用 $mx$ 表示），然后看当 $x o 0$ 时的极限。
由于这是一个关于 $x$ 的线性函数，它的导数是常数： $frac{m + 4m^3 m^5}{(1+m^2)^2}$。

所以，沿着 $y=mx$ 的路径，$frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 是常数 $frac{m + 4m^3 m^5}{(1+m^2)^2}$。
当 $m$ 取不同值时，这个常数值也不同。例如：
如果 $m=0$ (沿着 x 轴，$y=0$): $frac{partial^2 f}{partial y partial x} = frac{0}{(1+0)^2} = 0$.
如果 $m=1$ (沿着 $y=x$): $frac{partial^2 f}{partial y partial x} = frac{1 + 4 1}{(1+1)^2} = frac{4}{4} = 1$.
如果 $m=1$ (沿着 $y=x$): $frac{partial^2 f}{partial y partial x} = frac{1 + 4(1)^3 (1)^5}{(1+(1)^2)^2} = frac{1 4 + 1}{(1+1)^2} = frac{4}{4} = 1$.

我们发现 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 在不同方向上的极限值是不同的！
例如，沿着 $y=x$ 趋近 $(0,0)$ 时，$frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 的值是 $1$。
但我们之前计算过 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = 1$。

这意味着 $lim_{(x, y) o (0, 0)} frac{partial^2 f}{partial y partial x}(x, y)$ 不存在，因此 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 在 $(0,0)$ 点是不连续的。

同理，我们可以证明 $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$ 在 $(0,0)$ 点也是不连续的。

关于拉普拉斯连续性：

拉普拉斯连续性通常指的是函数本身连续，且其二阶偏导数都存在且连续。
在这个例子中，我们的函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点是连续的。
一阶偏导数 $frac{partial f}{partial x}$ 和 $frac{partial f}{partial y}$ 在 $(0,0)$ 点也是连续的。
但是，混合偏导数 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 和 $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$ 在 $(0,0)$ 点是不连续的（实际上，它们的极限在 $(0,0)$ 点不存在）。

因此，这个函数 $f(x, y)$ 不是拉普拉斯连续的（至少在 $(0,0)$ 点不是）。

为了满足“拉普拉斯连续但混合偏导数不连续”的要求，我们需要重新审视一下“拉普拉斯连续”的定义。

如果“拉普拉斯连续”仅仅是指函数本身连续，并且二阶偏导数存在，那么这个例子就可以成立。但是，更严谨的定义通常要求二阶偏导数在某个区域内是连续的。

为了构造一个更符合“拉普拉斯连续但混合偏导数不连续”的标准例子，我们可能需要修改一下函数，使其二阶偏导数在 $(0,0)$ 点的值是确定的，且在 $(0,0)$ 点以外是连续的，但是它们在 $(0,0)$ 点的极限不等于它们在该点的定义值。

更常见的例子（ Schwarzt's Lemma 的反例）：

一个非常经典的例子是：

$$
f(x, y) = egin{cases}
frac{x^2y^2}{x^2+y^2} & ext{if } (x, y) eq (0, 0) \
0 & ext{if } (x, y) = (0, 0)
end{cases}
$$

让我们分析这个函数：

1. 连续性： 当 $(x,y) o (0,0)$ 时，使用极坐标 $x=rcos heta, y=rsin heta$，
$f(rcos heta, rsin heta) = frac{(rcos heta)^2(rsin heta)^2}{r^2} = frac{r^4cos^2 hetasin^2 heta}{r^2} = r^2cos^2 hetasin^2 heta$.
当 $r o 0$ 时，此值趋于 0。所以 $f$ 在 $(0,0)$ 点连续。在其他点，它是多项式和分母之商，也连续。

2. 一阶偏导数：
当 $(x, y) eq (0, 0)$ 时，
$frac{partial f}{partial x} = frac{2xy^2(x^2+y^2) x^2y^2(2x)}{(x^2+y^2)^2} = frac{2x^3y^2 + 2xy^4 2x^3y^2}{(x^2+y^2)^2} = frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}$.
$frac{partial f}{partial y} = frac{2x^2y(x^2+y^2) x^2y^2(2y)}{(x^2+y^2)^2} = frac{2x^2y^3 + 2x^2y^3 2x^2y^3}{(x^2+y^2)^2} = frac{2x^4y}{(x^2+y^2)^2}$.

在 $(0,0)$ 点：
$frac{partial f}{partial x}(0, 0) = lim_{h o 0} frac{f(h, 0) f(0, 0)}{h} = lim_{h o 0} frac{00}{h} = 0$.
$frac{partial f}{partial y}(0, 0) = lim_{k o 0} frac{f(0, k) f(0, 0)}{k} = lim_{k o 0} frac{00}{k} = 0$.

一阶偏导数在 $(0,0)$ 点的极限：
$lim_{(x,y) o (0,0)} frac{partial f}{partial x} = lim_{(x,y) o (0,0)} frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}$.
极坐标下：$frac{2(rcos heta)(rsin heta)^4}{(r^2)^2} = frac{2r^5cos hetasin^4 heta}{r^4} = 2rcos hetasin^4 heta$. 当 $r o 0$ 时，此值趋于 0。
所以 $frac{partial f}{partial x}$ 在 $(0,0)$ 点连续。同理 $frac{partial f}{partial y}$ 也在 $(0,0)$ 点连续。

3. 二阶偏导数：
现在我们计算 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0)$：
$frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = frac{partial}{partial y} (frac{partial f}{partial x})(0, 0) = lim_{k o 0} frac{frac{partial f}{partial x}(0, k) frac{partial f}{partial x}(0, 0)}{k}$.
我们已知 $frac{partial f}{partial x}(0, 0) = 0$.
需要计算 $frac{partial f}{partial x}(0, k)$。当 $(x,y)=(0,k)$ ($k eq 0$) 时，根据定义：
$frac{partial f}{partial x}(0, k) = lim_{h o 0} frac{f(h, k) f(0, k)}{h} = lim_{h o 0} frac{frac{h^2k^2}{h^2+k^2} 0}{h} = lim_{h o 0} frac{hk^2}{h^2+k^2} = frac{0 cdot k^2}{0+k^2} = 0$.
所以，$frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = lim_{k o 0} frac{0 0}{k} = 0$.

现在计算 $frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0)$：
$frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0) = frac{partial}{partial x} (frac{partial f}{partial y})(0, 0) = lim_{h o 0} frac{frac{partial f}{partial y}(h, 0) frac{partial f}{partial y}(0, 0)}{h}$.
我们已知 $frac{partial f}{partial y}(0, 0) = 0$.
需要计算 $frac{partial f}{partial y}(h, 0)$。当 $(x,y)=(h,0)$ ($h eq 0$) 时，根据定义：
$frac{partial f}{partial y}(h, 0) = lim_{k o 0} frac{f(h, k) f(h, 0)}{k} = lim_{k o 0} frac{frac{h^2k^2}{h^2+k^2} 0}{k} = lim_{k o 0} frac{h^2k}{h^2+k^2}$.
当 $k o 0$ 时，极限是 $frac{h^2 cdot 0}{h^2+0} = 0$.
所以，$frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0) = lim_{h o 0} frac{0 0}{h} = 0$.

在 $(0,0)$ 点，$frac{partial^2 f}{partial y partial x}(0, 0) = frac{partial^2 f}{partial x partial y}(0, 0) = 0$. 这一点上混合偏导数是相等的。

4. 混合偏导数的连续性（在 $(0,0)$ 点）：
现在我们来计算 $(x,y) eq (0,0)$ 时，$frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 的值：
$frac{partial f}{partial x} = frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}$.
$frac{partial^2 f}{partial y partial x} = frac{partial}{partial y} left( frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2} ight)$.
令 $u = 2xy^4$, $v = (x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$.
$frac{partial u}{partial y} = 8xy^3$.
$frac{partial v}{partial y} = 4y(x^2+y^2)$.
$frac{partial^2 f}{partial y partial x} = frac{8xy^3(x^2+y^2)^2 2xy^4(4y(x^2+y^2))}{(x^2+y^2)^4}$
$= frac{8xy^3(x^2+y^2) 8xy^5}{(x^2+y^2)^3}$
$= frac{8x^3y^3 + 8xy^5 8xy^5}{(x^2+y^2)^3} = frac{8x^3y^3}{(x^2+y^2)^3}$.

现在我们来看 $lim_{(x,y) o (0,0)} frac{8x^3y^3}{(x^2+y^2)^3}$。
使用极坐标：
$frac{8(rcos heta)^3(rsin heta)^3}{(r^2)^3} = frac{8r^6cos^3 hetasin^3 heta}{r^6} = 8cos^3 hetasin^3 heta$.
这个值取决于 $ heta$。例如，当 $ heta = pi/4$ 时，值为 $8 (frac{1}{sqrt{2}})^3 (frac{1}{sqrt{2}})^3 = 8 cdot frac{1}{8} cdot frac{1}{8} = frac{1}{8}$。
当 $ heta = 0$ 时，值为 0。
因此，$lim_{(x,y) o (0,0)} frac{partial^2 f}{partial y partial x}(x,y)$ 不存在。

由于这个极限不存在，$frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 在 $(0,0)$ 点是不连续的。

同理，可以验证 $frac{partial^2 f}{partial x partial y} = frac{8x^3y^3}{(x^2+y^2)^3}$。

结论：

函数
$$
f(x, y) = egin{cases}
frac{x^2y^2}{x^2+y^2} & ext{if } (x, y) eq (0, 0) \
0 & ext{if } (x, y) = (0, 0)
end{cases}
$$
满足以下条件：
1. 函数 $f(x,y)$ 在所有点（包括 $(0,0)$ 点）都是连续的。
2. 函数 $f(x,y)$ 的一阶偏导数 $frac{partial f}{partial x}$ 和 $frac{partial f}{partial y}$ 在所有点（包括 $(0,0)$ 点）都是连续的。
3. 函数 $f(x,y)$ 的二阶混合偏导数 $frac{partial^2 f}{partial y partial x}$ 和 $frac{partial^2 f}{partial x partial y}$ 在 $(0,0)$ 点的值都等于 0，并且在 $(0,0)$ 点的极限不存在，因此它们在 $(0,0)$ 点是不连续的。

关于“拉普拉斯连续”的理解：

如果“拉普拉斯连续”是指函数 $f$ 和它的所有二阶偏导数在某个区域都连续，那么这个例子就不符合要求，因为在 $(0,0)$ 点混合偏导数是不连续的。

但是，在某些语境下，“拉普拉斯连续”可能仅仅指函数本身是连续的，并且它满足某些与拉普拉斯方程相关的性质（例如，它是调和函数或次调和函数，虽然我们的例子不是调和函数）。

如果题目的意思是：存在一个函数，它在原点处本身是连续的，并且它的混合偏导数在原点处的导数是存在的，但是这些混合偏导数的极限在原点处不存在，或者不等于它们在原点处的值。 那么上面这个 $frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ 的例子是经典的。

我的第一个例子 $frac{xy(x^2 y^2)}{x^2 + y^2}$ 则是说明了混合偏导数在 $(0,0)$ 点根本不相等，从而在 $(0,0)$ 点不连续。

总结一下：

我提供的第一个例子 $frac{xy(x^2 y^2)}{x^2 + y^2}$ 更直接地展示了混合偏导数的不相等，从而在 $(0,0)$ 点不连续。

第二个例子 $frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ 是一个非常经典的例子，它展示了即使函数和一阶偏导数都连续，二阶混合偏导数也可能在一点不连续，并且在这一点的值为0，但其极限却不存在。

这两种例子都巧妙地利用了在原点附近分母的 $x^2+y^2$ 项，使得分子在特定方向上的行为（如除以 $r^4$ 或 $r^6$）导致了导数在原点处的奇特性。

希望我的解释足够详细，并且能够帮助你理解这类反例的构造思路。如果您对某个细节有疑问，或者想探讨更深入的方面，随时可以继续交流！

条件弱一点就可以做：找一个函数 使得 连续，但 不连续。

（注意 其实不是 ；严格的Laplacian定义为 ，这要求 可微。）

令 。这函数在除了 以外的点是调和函数， 。如果令 ，那么在原点有 。所以在全平面有 成立。它的混合偏导数 在原点附近无界，所以不连续：

当然这个没有解决原问题，题主应该想要一个可微的函数。