arctan x怎么求和（x=1/（n∧2+n+1））n的取值是1，2...∞？

求和 $sum_{n=1}^{infty} arctanleft(frac{1}{n^2+n+1} ight)$ 是一个经典的裂项求和问题，它的解法非常巧妙，涉及到三角函数的性质。下面我将详细地为你讲解如何求解这个级数。

问题的核心：如何将 $arctanleft(frac{1}{n^2+n+1} ight)$ 转化为两个 $arctan$ 函数的差？

我们知道一个重要的三角函数恒等式：
$$ arctan(a) arctan(b) = arctanleft(frac{ab}{1+ab} ight) $$
我们的目标就是将 $frac{1}{n^2+n+1}$ 变形，使其能够套用这个公式。

观察分母 $n^2+n+1$，我们可以尝试将其凑成 $1+ab$ 的形式。
$n^2+n+1 = 1 + (n^2+n)$
我们想找到两个数 $a$ 和 $b$，使得 $ab = n^2+n$ 并且 $ab = 1$（或者 $ba=1$）。

让我们试试将 $n^2+n$ 分解成两个因子的乘积。一个很自然的分解是 $n(n+1)$。
如果令 $a = n+1$ 且 $b = n$，那么：
$ab = (n+1) n = 1$
$ab = (n+1)n = n^2+n$

太好了！我们找到了 $a$ 和 $b$！
所以，我们可以将 $frac{1}{n^2+n+1}$ 写成：
$$ frac{1}{n^2+n+1} = frac{(n+1)n}{1+n(n+1)} $$

现在，根据 $arctan(a) arctan(b) = arctanleft(frac{ab}{1+ab} ight)$ 的公式，我们可以得到：
$$ arctanleft(frac{1}{n^2+n+1} ight) = arctanleft(frac{(n+1)n}{1+n(n+1)} ight) $$
$$ = arctan(n+1) arctan(n) $$

进行裂项求和

我们已经成功地将级数的每一项表示成了两个 $arctan$ 函数的差。现在，我们可以写出级数的表示：
$$ S = sum_{n=1}^{infty} arctanleft(frac{1}{n^2+n+1} ight) = sum_{n=1}^{infty} [arctan(n+1) arctan(n)] $$

我们来写出级数的前几项，看看会发生什么：
当 $n=1$ 时: $arctan(2) arctan(1)$
当 $n=2$ 时: $arctan(3) arctan(2)$
当 $n=3$ 时: $arctan(4) arctan(3)$
当 $n=4$ 时: $arctan(5) arctan(4)$
...
当 $n=N$ 时: $arctan(N+1) arctan(N)$

现在，我们来看这个部分和 ($S_N$)：
$$ S_N = sum_{n=1}^{N} [arctan(n+1) arctan(n)] $$
$$ S_N = (arctan(2) arctan(1)) + (arctan(3) arctan(2)) + (arctan(4) arctan(3)) + dots + (arctan(N+1) arctan(N)) $$

这是一个典型的裂项求和。仔细观察，你会发现每一项的后半部分会与下一项的前半部分相互抵消：
$arctan(2)$ 在第一项中出现，在第二项中被 $arctan(2)$ 抵消。
$arctan(3)$ 在第二项中出现，在第三项中被 $arctan(3)$ 抵消。
...
$arctan(N)$ 在第 $(N1)$ 项中出现，在第 $N$ 项中被 $arctan(N)$ 抵消。

最终，大部分项都会抵消，只剩下第一项的后半部分和最后一项的前半部分：
$$ S_N = arctan(1) + arctan(N+1) $$

计算最终的级数和

现在，我们需要计算当 $N$ 趋向于无穷大时 $S_N$ 的值，也就是级数的和：
$$ S = lim_{N o infty} S_N = lim_{N o infty} [arctan(N+1) arctan(1)] $$

我们知道 $arctan(1) = frac{pi}{4}$。
接下来，我们需要考虑 $lim_{N o infty} arctan(N+1)$。
当自变量趋向于正无穷大时，$arctan(x)$ 函数趋向于 $frac{pi}{2}$。
所以，
$$ lim_{N o infty} arctan(N+1) = frac{pi}{2} $$

将这些值代入，我们就得到了级数的和：
$$ S = frac{pi}{2} frac{pi}{4} $$
$$ S = frac{pi}{4} $$

总结一下整个过程：

1. 识别裂项求和的可能性： 目标是将级数的每一项 $arctanleft(frac{1}{n^2+n+1} ight)$ 转化为形式为 $arctan(a_n) arctan(b_n)$ 的表达式。
2. 利用三角恒等式： 关键是利用 $arctan(a) arctan(b) = arctanleft(frac{ab}{1+ab} ight)$。
3. 代数变形： 将分母 $n^2+n+1$ 凑成 $1+ab$ 的形式。我们发现 $n^2+n+1 = 1 + n(n+1)$，令 $a=n+1$ 且 $b=n$ 恰好满足 $ab=1$ 和 $ab=n^2+n$。
4. 得出单项的裂项形式： $arctanleft(frac{1}{n^2+n+1} ight) = arctan(n+1) arctan(n)$。
5. 计算部分和： 将裂项后的形式代入求和，写出部分和 $S_N$，并观察到大部分项会抵消。
6. 求极限： 计算部分和 $S_N$ 当 $N o infty$ 时的极限，得到级数的最终和。

所以，$sum_{n=1}^{infty} arctanleft(frac{1}{n^2+n+1} ight) = frac{pi}{4}$。

这个问题的精妙之处在于它将一个看起来并不容易直接处理的级数，通过巧妙的代数和三角函数技巧，转化为了一个可以轻易求和的裂项级数。