请问怎么用matlab求解一个矩阵的递推公式？
这问题问得好！很多时候，我们遇到的问题并不是一个简单的静态方程，而是随着时间（或者说是“步数”）不断演进的，这背后往往就隐藏着一个矩阵的递推关系。在 MATLAB 里，解决这类问题，尤其是涉及矩阵的递推，有很多巧妙的方法。我来给你详细说道说道，力求讲得明白透彻，让你感觉就像是老朋友在分享经验一样，而不是什么生硬的 AI 教程。
首先，什么是矩阵的递推公式？
简单来说，它就像是“你今天吃了啥，决定了你明天会不会饿”，只不过这里的主角是矩阵。一个矩阵的递推公式，就是说当前时刻（比如 $k+1$ 时刻）的矩阵状态，是根据前一个时刻（$k$ 时刻）的矩阵状态，通过一系列固定的数学运算（通常是矩阵乘法、加法等）计算出来的。
通常，我们可以把它写成这样一个形式：
$X_{k+1} = A X_k + B$
或者更一般一些：
$X_{k+1} = f(X_k, ext{参数})$
其中：
$X_k$ 是在 $k$ 时刻的矩阵（或者是一个包含多个矩阵的向量）。
$A$ 和 $B$ 通常是常数矩阵（也就是不随时间变化的）。
$f$ 是一个函数，描述了从 $X_k$ 到 $X_{k+1}$ 的转换关系。
为什么我们需要求解它？
很多实际问题都可以归结为矩阵的递推，比如：
动力学系统模拟： 比如描述粒子运动、控制系统响应等，状态（位置、速度等）往往是向量或矩阵，它们随时间的变化就是递推关系。
图算法： 像 PageRank 算法，计算网页的排名，就是基于前一轮的排名来更新下一轮的排名。
经济模型： 描述宏观经济指标（如 GDP、消费、投资）随时间的变化。
图像处理： 某些图像修复或增强算法可能涉及迭代更新像素值。
如何用 MATLAB 来求解？
“求解”在这里可能包含两种含义：
1. 模拟： 从一个初始状态 $X_0$ 开始，一步一步地计算出 $X_1, X_2, dots, X_N$ 的值。
2. 分析： 找到一个“封闭形式”的解，也就是直接通过一个公式计算出任意时刻 $X_k$ 的值，而不需要一步步迭代。
我们先从最常见的模拟开始讲起，然后深入到分析。
方法一：直接迭代模拟（最直观）
这是最直接、最容易理解的方法。如果你的递推公式是 $X_{k+1} = A X_k + B$，并且你知道初始矩阵 $X_0$，你就可以用一个循环来完成计算。
例子：
假设我们有一个 2x2 的矩阵递推：
$X_{k+1} = egin{bmatrix} 1.1 & 0.2 \ 0.3 & 1.0 end{bmatrix} X_k + egin{bmatrix} 0.1 \ 0.05 end{bmatrix}$
初始矩阵 $X_0 = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$。
我们要计算到 $X_{10}$。
MATLAB 代码实现：
```matlab
% 定义递推公式中的常数矩阵
A = [1.1, 0.2;
0.3, 1.0];
B = [0.1;
0.05];
% 定义初始矩阵
X_current = [1, 2;
3, 4];
% 定义迭代次数
num_iterations = 10;
% 存储所有迭代结果（可选，如果你需要每一步的结果）
results = zeros(size(X_current,1), size(X_current,2), num_iterations + 1);
results(:,:,1) = X_current; % 存储初始状态
% 进行迭代计算
for k = 1:num_iterations
X_next = A X_current + B; % 核心的递推公式
X_current = X_next; % 更新当前矩阵
results(:,:,k+1) = X_current; % 存储结果
end
% 显示最终结果 (X_10)
disp('最终矩阵 X_10:');
disp(X_current);
% 如果需要，可以绘制某个元素的随时间变化
% 例如，绘制 X(1,1) 的变化
figure;
plot(0:num_iterations, squeeze(results(1,1,:)), 'o');
xlabel('迭代次数 (k)');
ylabel('X(1,1) 的值');
title('X(1,1) 随迭代次数的变化');
grid on;
```
这个方法的优点：
直观易懂： 直接翻译了数学公式，容易理解和调试。
通用性强： 几乎适用于任何形式的递推关系，只要你能用 MATLAB 代码写出 $X_{k+1}$ 的计算。
可以观察中间过程： 方便查看每一步的状态变化，这对于理解系统行为非常有帮助。
这个方法的缺点：
效率问题： 如果迭代次数非常大（比如成千上万甚至更多），循环会非常慢。
精度累积误差： 每次计算都可能引入微小的浮点误差，随着迭代次数的增加，误差也可能累积。
方法二：利用矩阵的解析解（当可能时）
对于线性递推关系，特别是 $X_{k+1} = A X_k + B$ 这种形式，我们常常可以找到一个“封闭形式”的解。这就像是直接给出 $X_k$ 的公式，而不需要一步步算。
情况 1: $X_{k+1} = A X_k$ （齐次线性递推）
这个是最简单的情况。
$X_1 = A X_0$
$X_2 = A X_1 = A (A X_0) = A^2 X_0$
$X_3 = A X_2 = A (A^2 X_0) = A^3 X_0$
...
所以，通项公式是：
$X_k = A^k X_0$
MATLAB 代码实现：
```matlab
% 定义递推公式中的常数矩阵
A = [1.1, 0.2;
0.3, 1.0];
% 定义初始矩阵
X0 = [1, 2;
3, 4];
% 定义要计算的时刻
k_target = 10;
% 计算 A^k
A_power_k = A^k_target; % MATLAB 直接支持矩阵的幂运算
% 计算 X_k
X_k = A_power_k X0;
disp(['直接计算 X_', num2str(k_target), ':']);
disp(X_k);
```
优点：
速度极快： 矩阵幂运算通常比循环快得多，特别是对于大的 $k$。
精度高： 避免了循环累积的浮点误差。
缺点：
只适用于齐次线性递推。
情况 2: $X_{k+1} = A X_k + B$ （非齐次线性递推）
这种情况稍微复杂一点。我们可以通过一个技巧来转化为齐次形式。
假设存在一个常数矩阵 $C$ 使得 $X_{k+1} + C = A(X_k + C)$。
展开后得到 $X_{k+1} + C = A X_k + A C$。
与原式 $X_{k+1} = A X_k + B$ 对比，我们发现需要 $C = A C + B$，即 $(IA)C = B$。
如果 $IA$ 可逆，那么 $C = (IA)^{1} B$。
令 $Y_k = X_k + C$，那么 $Y_{k+1} = A Y_k$。
所以，$Y_k = A^k Y_0 = A^k (X_0 + C)$。
代回 $X_k = Y_k C$，得到：
$X_k = A^k (X_0 + C) C$
$X_k = A^k X_0 + A^k C C$
$X_k = A^k X_0 + (A^k I) C$
$X_k = A^k X_0 + (A^k I) (IA)^{1} B$
MATLAB 代码实现：
```matlab
% 定义递推公式中的常数矩阵
A = [1.1, 0.2;
0.3, 1.0];
B = [0.1;
0.05];
% 定义初始矩阵
X0 = [1, 2;
3, 4];
% 定义要计算的时刻
k_target = 10;
% 检查 IA 是否可逆
I = eye(size(A)); % 单位矩阵
I_minus_A = I A;
if det(I_minus_A) == 0
error('矩阵 (IA) 是奇异的，无法使用此解析解方法。');
else
% 计算 C = (IA)^(1) B
C = I_minus_A B; % 使用反斜杠运算符求解线性方程组，比 inv(M)v 更数值稳定
% 计算 A^k
A_power_k = A^k_target;
% 计算 X_k = A^k X0 + (A^k I) C
X_k = A_power_k X0 + (A_power_k I) C;
disp(['直接计算 X_', num2str(k_target), ' (解析解):']);
disp(X_k);
end
```
什么时候会出现 $(IA)$ 不可逆的情况？
当 $A$ 的特征值中包含 1 的时候，$(IA)$ 就会是奇异的。这时候，对于非齐次项 $B$，可能存在也可能不存在稳态解。如果存在稳态解 $X_{ss}$，那么 $X_{ss} = A X_{ss} + B$。如果 $B$ 恰好在 $IA$ 的值域中，就有解。
优点：
效率高，精度高： 同上。
缺点：
只适用于线性递推。
$(IA)$ 可能不可逆，需要额外检查。
公式推导相对复杂。
方法三：利用 MATLAB 的矩阵函数（更高级）
MATLAB 提供了一些强大的函数，可以帮助我们处理矩阵函数，例如 `expm`（矩阵指数）和 `funm`（一般矩阵函数）。虽然它们不直接用于 $A^k$ 这种离散幂次，但在处理一些连续系统或更复杂的离散系统时非常有用。
例如，如果我们处理的是一个微分方程组：
$frac{dX}{dt} = A X$
其解是 $X(t) = e^{At} X(0)$。这里 `expm(At)` 就是求解矩阵指数。
对于离散情况 $X_{k+1} = A X_k$，我们也可以从这个连续角度来理解：如果 $A$ 是某个连续系统的离散化结果，那么 $A^k$ 可以看作是 $e^{A_{discretized} Delta t}$ 的 $k$ 次幂。
一般递推 $X_{k+1} = f(X_k)$ 的求解：
如果你的递推公式不是线性的，比如 $X_{k+1} = X_k^2$ 或者更复杂的 $X_{k+1} = sin(X_k)$（这里的 $X_k$ 是一个矩阵，那么 $sin$ 函数也需要是矩阵正弦），那么我们通常只能依赖方法一（直接迭代模拟）。MATLAB 的 `funm` 函数可以计算一般矩阵函数，但它不是直接用来求解递推的。
示例：使用 `expm` 间接处理离散问题 (不常见，但概念上相关)
假设我们有一个离散系统 $X_{k+1} = A X_k$。如果我们知道 $A$ 来自于一个连续系统 $frac{dX}{dt} = M X$，并且采样时间是 $Delta t$，那么 $A = e^{M Delta t}$。
那么 $X_k = A^k X_0 = (e^{M Delta t})^k X_0 = e^{M k Delta t} X_0$。
MATLAB 代码：
```matlab
% 假设 A 来自于一个连续系统 M，采样时间 dt
% A = expm(Mdt)
% 假设我们知道 M 和 dt，而不是 A
M = [0.1, 0.2;
0.3, 0.0]; % 举例的 M
dt = 1; % 举例的采样时间
% 计算离散化矩阵 A
A_discrete = expm(M dt);
% 初始矩阵
X0 = [1, 2;
3, 4];
% 要计算的时刻 k
k_target = 10;
% 直接计算 X_k = A_discrete^k X0
X_k_direct = A_discrete^k_target X0;
disp(['通过离散化 A 计算 X_', num2str(k_target), ':']);
disp(X_k_direct);
% 或者，直接使用连续形式的解
X_k_continuous = expm(M k_target dt) X0;
disp(['通过连续形式 expm(Mkdt) 计算 X_', num2str(k_target), ':']);
disp(X_k_continuous);
```
可以看到，两种方法得到的结果应该非常接近（如果有精度差异的话）。
总结与选择
如果你是初学者，或者需要快速验证一个想法，或者迭代次数不多： 方法一（直接迭代模拟） 是你的首选。写一个 `for` 循环，一步步计算，这是最不容易出错的方式。
如果你的递推是线性的（$X_{k+1} = A X_k$ 或 $X_{k+1} = A X_k + B$），并且你需要计算非常大的 $k$，或者对精度要求极高： 方法二（利用矩阵的解析解） 是最佳选择。它能提供一个封闭形式的公式，计算效率和精度都远超迭代。但要注意 $(IA)$ 是否可逆的条件。
如果你的递推是非线性的： 几乎只能使用 方法一（直接迭代模拟）。
一些额外的小贴士和注意事项：
1. 矩阵维度匹配： 在进行矩阵乘法时，务必确保维度是匹配的。比如，$A$ 是 $m imes n$ 的，那么 $X_k$ 必须是 $n imes p$ 的，才能计算 $A X_k$。如果 $X_{k+1} = A X_k + B$，那么 $X_k$ 和 $B$ 的列数需要一致，并且 $A$ 的行数必须等于 $X_k$ 的行数。
2. MATLAB 的 `eye` 函数： `eye(n)` 生成一个 $n imes n$ 的单位矩阵。
3. MATLAB 的反斜杠 ``： `M v` 求解线性方程组 $M x = v$。这通常比 `inv(M) v` 数值上更稳定，尤其是在 $M$ 接近奇异时。
4. `eps` 和数值稳定性： 在判断矩阵是否可逆时，直接判断 `det(M) == 0` 可能因为浮点误差不够准确。更稳妥的做法是检查 `abs(det(M))` 是否小于一个很小的阈值，比如 `eps(class(M))`。或者使用 `rank` 函数检查矩阵的秩。
5. `recursion` 限制： MATLAB 函数本身有递归深度限制，但我们上面讲的循环方法不是递归，所以不用担心。
6. `spmd` 或 `parfor`： 如果你的递推涉及大量的独立计算，或者需要模拟很多个独立的系统，可以考虑使用并行计算来加速，但这会使代码复杂化。
希望这些详细的解释能帮助你更好地理解和用 MATLAB 解决矩阵递推的问题！如果你的具体问题有更复杂的递推关系，可以再提出来，我们一起分析。
首先，什么是矩阵的递推公式？
简单来说，它就像是“你今天吃了啥，决定了你明天会不会饿”，只不过这里的主角是矩阵。一个矩阵的递推公式，就是说当前时刻（比如 $k+1$ 时刻）的矩阵状态，是根据前一个时刻（$k$ 时刻）的矩阵状态，通过一系列固定的数学运算（通常是矩阵乘法、加法等）计算出来的。
通常，我们可以把它写成这样一个形式：
$X_{k+1} = A X_k + B$
或者更一般一些：
$X_{k+1} = f(X_k, ext{参数})$
其中：
$X_k$ 是在 $k$ 时刻的矩阵（或者是一个包含多个矩阵的向量）。
$A$ 和 $B$ 通常是常数矩阵（也就是不随时间变化的）。
$f$ 是一个函数，描述了从 $X_k$ 到 $X_{k+1}$ 的转换关系。
为什么我们需要求解它？
很多实际问题都可以归结为矩阵的递推，比如：
动力学系统模拟： 比如描述粒子运动、控制系统响应等，状态（位置、速度等）往往是向量或矩阵，它们随时间的变化就是递推关系。
图算法： 像 PageRank 算法，计算网页的排名，就是基于前一轮的排名来更新下一轮的排名。
经济模型： 描述宏观经济指标（如 GDP、消费、投资）随时间的变化。
图像处理： 某些图像修复或增强算法可能涉及迭代更新像素值。
如何用 MATLAB 来求解？
“求解”在这里可能包含两种含义：
1. 模拟： 从一个初始状态 $X_0$ 开始，一步一步地计算出 $X_1, X_2, dots, X_N$ 的值。
2. 分析： 找到一个“封闭形式”的解，也就是直接通过一个公式计算出任意时刻 $X_k$ 的值，而不需要一步步迭代。
我们先从最常见的模拟开始讲起，然后深入到分析。
方法一：直接迭代模拟（最直观）
这是最直接、最容易理解的方法。如果你的递推公式是 $X_{k+1} = A X_k + B$，并且你知道初始矩阵 $X_0$，你就可以用一个循环来完成计算。
例子：
假设我们有一个 2x2 的矩阵递推：
$X_{k+1} = egin{bmatrix} 1.1 & 0.2 \ 0.3 & 1.0 end{bmatrix} X_k + egin{bmatrix} 0.1 \ 0.05 end{bmatrix}$
初始矩阵 $X_0 = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$。
我们要计算到 $X_{10}$。
MATLAB 代码实现：
```matlab
% 定义递推公式中的常数矩阵
A = [1.1, 0.2;
0.3, 1.0];
B = [0.1;
0.05];
% 定义初始矩阵
X_current = [1, 2;
3, 4];
% 定义迭代次数
num_iterations = 10;
% 存储所有迭代结果（可选，如果你需要每一步的结果）
results = zeros(size(X_current,1), size(X_current,2), num_iterations + 1);
results(:,:,1) = X_current; % 存储初始状态
% 进行迭代计算
for k = 1:num_iterations
X_next = A X_current + B; % 核心的递推公式
X_current = X_next; % 更新当前矩阵
results(:,:,k+1) = X_current; % 存储结果
end
% 显示最终结果 (X_10)
disp('最终矩阵 X_10:');
disp(X_current);
% 如果需要，可以绘制某个元素的随时间变化
% 例如，绘制 X(1,1) 的变化
figure;
plot(0:num_iterations, squeeze(results(1,1,:)), 'o');
xlabel('迭代次数 (k)');
ylabel('X(1,1) 的值');
title('X(1,1) 随迭代次数的变化');
grid on;
```
这个方法的优点：
直观易懂： 直接翻译了数学公式，容易理解和调试。
通用性强： 几乎适用于任何形式的递推关系，只要你能用 MATLAB 代码写出 $X_{k+1}$ 的计算。
可以观察中间过程： 方便查看每一步的状态变化，这对于理解系统行为非常有帮助。
这个方法的缺点：
效率问题： 如果迭代次数非常大（比如成千上万甚至更多），循环会非常慢。
精度累积误差： 每次计算都可能引入微小的浮点误差，随着迭代次数的增加，误差也可能累积。
方法二：利用矩阵的解析解（当可能时）
对于线性递推关系，特别是 $X_{k+1} = A X_k + B$ 这种形式，我们常常可以找到一个“封闭形式”的解。这就像是直接给出 $X_k$ 的公式，而不需要一步步算。
情况 1: $X_{k+1} = A X_k$ （齐次线性递推）
这个是最简单的情况。
$X_1 = A X_0$
$X_2 = A X_1 = A (A X_0) = A^2 X_0$
$X_3 = A X_2 = A (A^2 X_0) = A^3 X_0$
...
所以，通项公式是：
$X_k = A^k X_0$
MATLAB 代码实现：
```matlab
% 定义递推公式中的常数矩阵
A = [1.1, 0.2;
0.3, 1.0];
% 定义初始矩阵
X0 = [1, 2;
3, 4];
% 定义要计算的时刻
k_target = 10;
% 计算 A^k
A_power_k = A^k_target; % MATLAB 直接支持矩阵的幂运算
% 计算 X_k
X_k = A_power_k X0;
disp(['直接计算 X_', num2str(k_target), ':']);
disp(X_k);
```
优点：
速度极快： 矩阵幂运算通常比循环快得多，特别是对于大的 $k$。
精度高： 避免了循环累积的浮点误差。
缺点：
只适用于齐次线性递推。
情况 2: $X_{k+1} = A X_k + B$ （非齐次线性递推）
这种情况稍微复杂一点。我们可以通过一个技巧来转化为齐次形式。
假设存在一个常数矩阵 $C$ 使得 $X_{k+1} + C = A(X_k + C)$。
展开后得到 $X_{k+1} + C = A X_k + A C$。
与原式 $X_{k+1} = A X_k + B$ 对比，我们发现需要 $C = A C + B$，即 $(IA)C = B$。
如果 $IA$ 可逆，那么 $C = (IA)^{1} B$。
令 $Y_k = X_k + C$，那么 $Y_{k+1} = A Y_k$。
所以，$Y_k = A^k Y_0 = A^k (X_0 + C)$。
代回 $X_k = Y_k C$，得到：
$X_k = A^k (X_0 + C) C$
$X_k = A^k X_0 + A^k C C$
$X_k = A^k X_0 + (A^k I) C$
$X_k = A^k X_0 + (A^k I) (IA)^{1} B$
MATLAB 代码实现：
```matlab
% 定义递推公式中的常数矩阵
A = [1.1, 0.2;
0.3, 1.0];
B = [0.1;
0.05];
% 定义初始矩阵
X0 = [1, 2;
3, 4];
% 定义要计算的时刻
k_target = 10;
% 检查 IA 是否可逆
I = eye(size(A)); % 单位矩阵
I_minus_A = I A;
if det(I_minus_A) == 0
error('矩阵 (IA) 是奇异的，无法使用此解析解方法。');
else
% 计算 C = (IA)^(1) B
C = I_minus_A B; % 使用反斜杠运算符求解线性方程组，比 inv(M)v 更数值稳定
% 计算 A^k
A_power_k = A^k_target;
% 计算 X_k = A^k X0 + (A^k I) C
X_k = A_power_k X0 + (A_power_k I) C;
disp(['直接计算 X_', num2str(k_target), ' (解析解):']);
disp(X_k);
end
```
什么时候会出现 $(IA)$ 不可逆的情况？
当 $A$ 的特征值中包含 1 的时候，$(IA)$ 就会是奇异的。这时候，对于非齐次项 $B$，可能存在也可能不存在稳态解。如果存在稳态解 $X_{ss}$，那么 $X_{ss} = A X_{ss} + B$。如果 $B$ 恰好在 $IA$ 的值域中，就有解。
优点：
效率高，精度高： 同上。
缺点：
只适用于线性递推。
$(IA)$ 可能不可逆，需要额外检查。
公式推导相对复杂。
方法三：利用 MATLAB 的矩阵函数（更高级）
MATLAB 提供了一些强大的函数，可以帮助我们处理矩阵函数，例如 `expm`（矩阵指数）和 `funm`（一般矩阵函数）。虽然它们不直接用于 $A^k$ 这种离散幂次，但在处理一些连续系统或更复杂的离散系统时非常有用。
例如，如果我们处理的是一个微分方程组：
$frac{dX}{dt} = A X$
其解是 $X(t) = e^{At} X(0)$。这里 `expm(At)` 就是求解矩阵指数。
对于离散情况 $X_{k+1} = A X_k$，我们也可以从这个连续角度来理解：如果 $A$ 是某个连续系统的离散化结果，那么 $A^k$ 可以看作是 $e^{A_{discretized} Delta t}$ 的 $k$ 次幂。
一般递推 $X_{k+1} = f(X_k)$ 的求解：
如果你的递推公式不是线性的，比如 $X_{k+1} = X_k^2$ 或者更复杂的 $X_{k+1} = sin(X_k)$（这里的 $X_k$ 是一个矩阵，那么 $sin$ 函数也需要是矩阵正弦），那么我们通常只能依赖方法一（直接迭代模拟）。MATLAB 的 `funm` 函数可以计算一般矩阵函数，但它不是直接用来求解递推的。
示例：使用 `expm` 间接处理离散问题 (不常见，但概念上相关)
假设我们有一个离散系统 $X_{k+1} = A X_k$。如果我们知道 $A$ 来自于一个连续系统 $frac{dX}{dt} = M X$，并且采样时间是 $Delta t$，那么 $A = e^{M Delta t}$。
那么 $X_k = A^k X_0 = (e^{M Delta t})^k X_0 = e^{M k Delta t} X_0$。
MATLAB 代码：
```matlab
% 假设 A 来自于一个连续系统 M，采样时间 dt
% A = expm(Mdt)
% 假设我们知道 M 和 dt，而不是 A
M = [0.1, 0.2;
0.3, 0.0]; % 举例的 M
dt = 1; % 举例的采样时间
% 计算离散化矩阵 A
A_discrete = expm(M dt);
% 初始矩阵
X0 = [1, 2;
3, 4];
% 要计算的时刻 k
k_target = 10;
% 直接计算 X_k = A_discrete^k X0
X_k_direct = A_discrete^k_target X0;
disp(['通过离散化 A 计算 X_', num2str(k_target), ':']);
disp(X_k_direct);
% 或者，直接使用连续形式的解
X_k_continuous = expm(M k_target dt) X0;
disp(['通过连续形式 expm(Mkdt) 计算 X_', num2str(k_target), ':']);
disp(X_k_continuous);
```
可以看到，两种方法得到的结果应该非常接近（如果有精度差异的话）。
总结与选择
如果你是初学者，或者需要快速验证一个想法，或者迭代次数不多： 方法一（直接迭代模拟） 是你的首选。写一个 `for` 循环，一步步计算，这是最不容易出错的方式。
如果你的递推是线性的（$X_{k+1} = A X_k$ 或 $X_{k+1} = A X_k + B$），并且你需要计算非常大的 $k$，或者对精度要求极高： 方法二（利用矩阵的解析解） 是最佳选择。它能提供一个封闭形式的公式，计算效率和精度都远超迭代。但要注意 $(IA)$ 是否可逆的条件。
如果你的递推是非线性的： 几乎只能使用 方法一（直接迭代模拟）。
一些额外的小贴士和注意事项：
1. 矩阵维度匹配： 在进行矩阵乘法时，务必确保维度是匹配的。比如，$A$ 是 $m imes n$ 的，那么 $X_k$ 必须是 $n imes p$ 的，才能计算 $A X_k$。如果 $X_{k+1} = A X_k + B$，那么 $X_k$ 和 $B$ 的列数需要一致，并且 $A$ 的行数必须等于 $X_k$ 的行数。
2. MATLAB 的 `eye` 函数： `eye(n)` 生成一个 $n imes n$ 的单位矩阵。
3. MATLAB 的反斜杠 ``： `M v` 求解线性方程组 $M x = v$。这通常比 `inv(M) v` 数值上更稳定，尤其是在 $M$ 接近奇异时。
4. `eps` 和数值稳定性： 在判断矩阵是否可逆时，直接判断 `det(M) == 0` 可能因为浮点误差不够准确。更稳妥的做法是检查 `abs(det(M))` 是否小于一个很小的阈值，比如 `eps(class(M))`。或者使用 `rank` 函数检查矩阵的秩。
5. `recursion` 限制： MATLAB 函数本身有递归深度限制，但我们上面讲的循环方法不是递归，所以不用担心。
6. `spmd` 或 `parfor`： 如果你的递推涉及大量的独立计算，或者需要模拟很多个独立的系统，可以考虑使用并行计算来加速，但这会使代码复杂化。
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