i²＝-1几何意义是什么？

i² = 1 的几何意义是一个非常深刻且迷人的概念，它将抽象的复数世界与我们熟悉的几何空间联系起来。要理解这一点，我们需要从复数的引入、几何表示，以及乘法的几何意义这几个层面来深入探讨。

1. 复数的引入：为了解决方程的需要

在数学发展史上，我们首先遇到了实数。实数可以很直观地对应到数轴上的点。例如，1 是数轴上原点右边一个单位的点，2 是原点左边两个单位的点。

然而，在解一些方程时，我们遇到了困难。最典型的例子是方程 $x^2 + 1 = 0$。这个方程可以写成 $x^2 = 1$。在实数范围内，我们知道任何数的平方都是非负的（正数的平方是正数，负数的平方也是正数，零的平方是零）。因此，在实数范围内，不存在一个数的平方等于 1。

为了解决这个问题，数学家们引入了一个新的数，记为 $i$，并定义它满足 $i^2 = 1$。这个 $i$ 被称为虚数单位。

2. 复数的几何表示：复平面

有了虚数单位 $i$ 之后，我们就可以构建复数。一个复数通常写成 $z = a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$a$ 被称为复数的实部，$b$ 被称为复数的虚部。

为了给复数提供几何意义，我们引入了复平面（也称为阿干图平面）。复平面有两个互相垂直的坐标轴：

实轴 (Real Axis): 水平方向的轴，对应复数的实部 $a$。
虚轴 (Imaginary Axis): 垂直方向的轴，对应复数的虚部 $b$。

复数 $z = a + bi$ 在复平面上可以唯一地对应到一个点 $(a, b)$。例如：

实数 3 可以表示为 $3 + 0i$，对应复平面上的点 (3, 0)。这与实数在实轴上的位置一致。
纯虚数 $2i$ 可以表示为 $0 + 2i$，对应复平面上的点 (0, 2)。它在虚轴上。
复数 $1 + i$ 对应复平面上的点 (1, 1)。
复数 $1 i$ 对应复平面上的点 (1, 1)。

除了用点表示，复数还可以用从原点指向该点的向量来表示。这种向量表示更方便我们理解复数的运算。

3. 复数乘法的几何意义：旋转

现在我们来看 $i^2 = 1$ 的几何意义。这与复数乘法的几何意义密切相关。

让我们先看看虚数单位 $i$ 本身在复平面上的位置。$i = 0 + 1i$，它对应复平面上的点 (0, 1)，也就是虚轴上的单位正方向。

当我们用 $i$ 乘以一个复数时，会发生什么？

1 乘以 i:
$1 imes i = i$
实数 1 对应点 (1, 0) 在实轴上。乘以 $i$ 后变成了点 (0, 1)，也就是虚轴上的单位正方向。这看起来像是将点 (1, 0) 逆时针旋转了 90 度 (π/2 弧度)。

i 乘以 i:
$i imes i = i^2 = 1$
复数 $i$ 对应点 (0, 1)。我们现在用 $i$ 乘以它。在复平面上，将点 (0, 1) 乘以 $i$ 相当于将这个点逆时针旋转 90 度。
从 (0, 1) 逆时针旋转 90 度，会到达哪个点呢？
它会从虚轴正方向，旋转到实轴负方向，正好落在点 (1, 0) 的位置。而点 (1, 0) 正是实数 1 在复平面上的位置。

所以，$i^2 = 1$ 的几何意义就是：复数乘以 $i$ 代表将复数在复平面上对应的向量（或点）逆时针旋转 90 度 (π/2 弧度)。

因此，$i^2 = 1$ 就意味着：连续将一个复数（在这个例子中，我们从 $1$ 开始）乘以 $i$ 两次，相当于将它逆时针旋转了 90 度再旋转 90 度，总共旋转了 180 度 (π 弧度)。而逆时针旋转 180 度得到的结果，就是原来的数的相反数。

我们可以验证这一点：
以实数 1 为例：
$1 imes i = i$ (对应点 (1,0) 旋转到 (0,1))
$i imes i = 1$ (对应点 (0,1) 旋转到 (1,0))
结果是 1，正是 1 的相反数。

再以虚数 $i$ 为例：
$i imes i = 1$ (对应点 (0,1) 旋转到 (1,0))
$1 imes i = i$ (对应点 (1,0) 旋转到 (0,1))
结果是 $i$，正是 $i$ 的相反数。

再以复数 $1+i$ 为例：
$1+i$ 对应点 (1,1)。
$(1+i) imes i = i + i^2 = i 1 = 1 + i$
点 (1,1) 逆时针旋转 90 度，会得到点 (1,1)。而 $1+i$ 在复平面上对应点 (1,1)。

总结 i² = 1 的几何意义：

核心： 复数乘以 $i$ 是一个旋转操作。
具体操作： 复数乘以 $i$，在复平面上对应的向量会逆时针旋转 90 度 (π/2 弧度)。
$i^2 = 1$ 的含义： 连续两次乘以 $i$（即乘以 $i^2$），相当于将复数在复平面上对应的向量逆时针旋转 180 度 (π 弧度)。旋转 180 度后的向量与原来的向量方向相反，长度不变，即得到的是原来的数的相反数。

这种旋转的几何意义是复数理论的基石之一，它使得我们能够用复数来描述和处理物理学中的振动、波、电磁学等与旋转和周期性现象密切相关的概念。例如，在交流电路分析中，复数就非常方便地表示电压和电流的幅值和相位，而乘以 $j$（在工程学中常用来表示虚数单位）就代表了相位差或电压电流的相对关系。

命题: 在复平面上，给一复数z乘以i的几何意义是将z逆时针旋转90度。

证: 设z=a+bi

iz=i(a+bi)=-b+ai

| iz |=| i |*|z|=|z|

即两者模长相等。

只要说明向量(a,b)和向量(-b,a)相互垂直即可。由两者的内积，

(a,b)•(-b,a)=a(-b)+ba=0

即证。

由此可知，i的平方等于把虚数i逆时针施转90度，即为-1