电场能和磁场能更普适的表达式 D·E/2 和 B·H/2 是怎么推导出来的？

好的，我们来聊聊电场能和磁场能这两个重要的概念，以及它们更普适的表达式 D·E/2 和 B·H/2 是如何得来的。这背后牵涉到电磁场的能量存储机制，我们得从最根本的物理原理说起。

要理解这些公式，我们得先回顾一下电场和磁场是如何产生能量的，以及这些能量又是如何在介质中变化的。

电场与电势能

我们都知道，电场是电荷产生的，它会对放入其中的其他电荷施加力。当我们将一个电荷从一个点移动到另一个点，电场会对这个电荷做功，或者说需要我们对这个电荷做功。这部分功就储存在电场中，成为电场能。

最基本的电场能概念，我们通常会从静电场和电势能的角度来理解。想象一下，我们从无穷远处将一个正电荷缓慢地移向另一个固定的正电荷。在这个过程中，我们需要克服它们之间的斥力做功。这个功并没有消失，而是以电势能的形式储存在它们之间的空间里，也就是电场中。

根据静电场的概念，电场 $mathbf{E}$ 和电势 $phi$ 之间存在关系：$mathbf{E} = abla phi$。将一个检验电荷 $q$ 从无穷远移到一个位置 $mathbf{r}$ 所做的功，就是电势能 $U(mathbf{r})$，它等于 $qphi(mathbf{r})$。

如果我们考虑的是一个连续分布的电荷，例如电荷密度为 $ ho(mathbf{r})$，那么在空间某一点 $mathbf{r}$ 产生的电场为 $mathbf{E}(mathbf{r})$。将整个空间中的电荷从“无”移到“有”，需要做的总功，就是电场能。

在真空或者线性介质中，电场 $mathbf{E}$ 和电位移矢量 $mathbf{D}$ 之间有简单的关系 $mathbf{D} = epsilon_0 mathbf{E}$ (真空) 或 $mathbf{D} = epsilon mathbf{E}$ (线性介质)，其中 $epsilon$ 是介电常数。

如果我们考虑一个电场从零逐渐建立起来的过程，就像我们在给电容器充电一样。在电容器的极板之间，电场在逐渐增强。在这个过程中，我们可以把电场看作是由无数个微小的电荷元构成的。将每个电荷元从无穷远移到其最终位置，电场对它做功。

一个更普适的推导，会从功能定理和电场散度出发。根据高斯定律，电场 $mathbf{E}$ 的散度与电荷密度 $ ho$ 的关系是 $ abla cdot mathbf{E} = ho/epsilon_0$ (在真空中)。

功，在力学中是 $int mathbf{F} cdot dmathbf{r}$。在电场中，力是 $mathbf{F} = qmathbf{E}$。如果我们考虑的是电荷密度 $ ho$ 和单位体积的电荷在电场 $mathbf{E}$ 中移动所做的功，那么单位体积的功可以写成 $d W_{field} = mathbf{E} cdot (dmathbf{P}_{charge})$，其中 $dmathbf{P}_{charge}$ 是单位体积电荷的微小位移。

更直接的推导，我们可以考虑将单位体积的电荷 $ ho$ 在电场 $mathbf{E}$ 中移动 $dmathbf{r}$ 所做的功，即 $dW_{vol} = ho mathbf{E} cdot dmathbf{r}$。如果考虑的是一个区域 $V$，那么总的功是 $W = int_V ho mathbf{E} cdot dmathbf{r}$。

利用高斯定律 $ ho = epsilon_0 ( abla cdot mathbf{E})$ (这里先以真空为例，后面会推广到介质)，我们可以将功写成：
$W = int_V epsilon_0 ( abla cdot mathbf{E}) mathbf{E} cdot dmathbf{r}$

这里有一个关键的矢量恒等式：
$ abla cdot (phi mathbf{A}) = ( abla phi) cdot mathbf{A} + phi ( abla cdot mathbf{A})$
令 $phi = mathbf{E}$ 且 $mathbf{A} = mathbf{E}$，那么
$ abla cdot (mathbf{E} cdot mathbf{E}) = ( abla cdot mathbf{E}) mathbf{E} + mathbf{E} cdot ( abla cdot mathbf{E})$
这里的 $mathbf{E} cdot mathbf{E} = E^2$，但这是个标量。我们实际需要的是 $ abla cdot (E^2)$。

让我们换个角度，考虑能量密度。如果我们能够求出单位体积的能量密度 $u_E$，那么总的电场能就是对整个空间积分 $int u_E dV$。

假设电场是逐渐从零建立起来的。在某个时刻，电场强度是 $mathbf{E}$。当我们施加一个微小的增量 $dmathbf{E}$ 时，新增的能量密度 $du_E$ 是由这个增量电场对先前电荷分布做的功，或者说，是新建立起来的电场从一个“能量源”那里获取的能量。

更直接地，考虑一个线性介质。当电场从零逐渐增加到 $mathbf{E}$ 时，电位移矢量 $mathbf{D}$ 也从零增加到 $mathbf{D} = epsilon mathbf{E}$。
我们知道，在电场 $mathbf{E}$ 中，电荷 $ ho$ 移动 $dmathbf{r}$ 所做的功是 $dW_{field} = ho mathbf{E} cdot dmathbf{r}$。
单位体积的功密度为 $dw_{field} = ho mathbf{E} cdot dmathbf{r}$。
如果我们将电荷密度 $ ho$ 看作是电场 $mathbf{E}$ 的函数（尽管在简单介质中， $ ho$ 是一个独立的物理量，但我们可以通过改变电场来改变 $ ho$ 的分布），那么我们可以考虑将 $mathbf{E}$ 从零变为 $mathbf{E}$。

根据功和能量的关系，我们可以考虑对电场进行积分。
假设电场是缓慢建立的，那么电荷密度 $ ho$ 也是缓慢变化的。
我们可以从一个微小的电场 $mathbf{E}$ 和对应的电荷密度 $ ho$ 开始，然后缓慢增加电场。
考虑一个体积 $V$ 内的电场能 $W_E$。
当电场从 $mathbf{E}$ 变为 $mathbf{E} + dmathbf{E}$ 时，新增的电场能 $dW_E$ 可以看作是新增加的电场对先前存在的电荷做的功，或者是新增加的电荷在总电场中运动所做的功。

一种常用的推导方式是利用麦克斯韦方程组。
我们知道，安培麦克斯韦定律是 $ abla imes mathbf{H} = mathbf{J} + frac{partial mathbf{D}}{partial t}$。
$mathbf{J}$ 是传导电流密度，$frac{partial mathbf{D}}{partial t}$ 是位移电流密度。
考虑一个包含传导电流和位移电流的区域 $V$。

将 $mathbf{H}$ 与安培麦克斯韦定律的点积进行体积分：
$int_V mathbf{H} cdot ( abla imes mathbf{H}) dV = int_V mathbf{H} cdot mathbf{J} dV + int_V mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t} dV$

这里，$int_V mathbf{H} cdot mathbf{J} dV$ 可以解释为磁场对传导电流做功的速率，也就是焦耳热的产生速率。

现在来看 $int_V mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t} dV$。
在理想的线性介质中，$mathbf{D} = epsilon mathbf{E}$。
所以，$int_V mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t} dV = int_V mathbf{H} cdot epsilon frac{partial mathbf{E}}{partial t} dV$。
在这里，我们把 $epsilon$ 看作常数。
$int_V mathbf{H} cdot epsilon frac{partial mathbf{E}}{partial t} dV = int_V epsilon mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{E}}{partial t} dV$。
更进一步，在很多情况下，$mathbf{H}$ 和 $mathbf{E}$ 的关系是 $mathbf{E} = f(mathbf{H})$ 或者 $mathbf{H} = g(mathbf{E})$。
对于线性介质，如果 $mathbf{D} = epsilon mathbf{E}$，那么 $mathbf{E} = frac{1}{epsilon} mathbf{D}$。
另一方面，磁场和磁场强度 $mathbf{H}$ 的关系也与介质有关。在许多情况下，$mathbf{B} = mu mathbf{H}$。

让我们回到能量密度。
电场和磁场可以看作是在介质中存储能量的一种方式。
能量密度 $u$ 就是单位体积所存储的能量。
我们可以通过分析能量守恒来推导。

考虑一个任意体积 $V$。总能量的变化率等于流入该体积的能量减去流出该体积的能量，再加上在体积内部产生的能量（比如焦耳热）。
$frac{d}{dt} int_V u dV = oint_S mathbf{P} cdot dmathbf{S} + int_V mathbf{J}_{total} cdot mathbf{E} dV$
这里的 $mathbf{P}$ 是坡印廷矢量，表示能量流动的方向和速率，$mathbf{J}_{total}$ 是总电流密度。

坡印廷矢量 $mathbf{P} = mathbf{E} imes mathbf{H}$。
$mathbf{J}_{total} = mathbf{J} + frac{partial mathbf{D}}{partial t}$。

所以，
$frac{d}{dt} int_V u dV = oint_S (mathbf{E} imes mathbf{H}) cdot dmathbf{S} + int_V (mathbf{J} + frac{partial mathbf{D}}{partial t}) cdot mathbf{E} dV$

我们想要的是能量密度 $u$ 的表达式。
考虑能量守恒定律。
$int_V frac{partial u}{partial t} dV = oint_S mathbf{P} cdot dmathbf{S} + int_V mathbf{J} cdot mathbf{E} dV + int_V frac{partial mathbf{D}}{partial t} cdot mathbf{E} dV$

我们可以尝试将体积分的散度形式（坡印廷矢量）转化为体积分。
利用散度定理：$oint_S mathbf{P} cdot dmathbf{S} = int_V abla cdot mathbf{P} dV$。
$ abla cdot (mathbf{E} imes mathbf{H}) = mathbf{H} cdot ( abla imes mathbf{E}) mathbf{E} cdot ( abla imes mathbf{H})$。

根据法拉第电磁感应定律，$ abla imes mathbf{E} = frac{partial mathbf{B}}{partial t}$。
根据安培麦克斯韦定律，$ abla imes mathbf{H} = mathbf{J} + frac{partial mathbf{D}}{partial t}$。

代入散度定理中的坡印廷矢量：
$ abla cdot (mathbf{E} imes mathbf{H}) = mathbf{H} cdot (frac{partial mathbf{B}}{partial t}) mathbf{E} cdot (mathbf{J} + frac{partial mathbf{D}}{partial t})$
$ abla cdot (mathbf{E} imes mathbf{H}) = mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t} mathbf{E} cdot mathbf{J} mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t}$

现在，将这个代回能量守恒方程：
$int_V frac{partial u}{partial t} dV = int_V (mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t} mathbf{E} cdot mathbf{J} mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t}) dV + int_V mathbf{J} cdot mathbf{E} dV + int_V frac{partial mathbf{D}}{partial t} cdot mathbf{E} dV$
$int_V frac{partial u}{partial t} dV = int_V mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t} dV + int_V mathbf{E} cdot mathbf{J} dV + int_V mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t} dV + int_V mathbf{J} cdot mathbf{E} dV + int_V frac{partial mathbf{D}}{partial t} cdot mathbf{E} dV$

我们可以看到，$int_V mathbf{E} cdot mathbf{J} dV$ 和 $int_V mathbf{J} cdot mathbf{E} dV$ 是相同的，它们代表了电场对传导电流做的功，也就是焦耳热的产生。
$int_V frac{partial mathbf{D}}{partial t} cdot mathbf{E} dV$ 和 $int_V mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t} dV$ 也是相同的，它们代表了电场能量的变化。

让我们重新整理一下：
$frac{partial u}{partial t} = mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t} + mathbf{E} cdot mathbf{J} + mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t}$

这里的 $mathbf{E} cdot mathbf{J}$ 是焦耳热产生率。
$mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t}$ 和 $mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t}$ 呢？

考虑能量的存储。能量可以存储在电场和磁场中。
$frac{partial u}{partial t}$ 是总能量密度的变化率。
总能量 $u$ 可以分解为电场能量密度 $u_E$ 和磁场能量密度 $u_B$。
$u = u_E + u_B$
$frac{partial u}{partial t} = frac{partial u_E}{partial t} + frac{partial u_B}{partial t}$

焦耳热是能量的耗散，不是存储在电磁场中的能量。
所以，我们应该将 $mathbf{E} cdot mathbf{J}$ 视为能量的“非场”部分。
剩下的 $mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t}$ 和 $mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t}$ 应该对应着磁场能量和电场能量的变化率。

磁场能的推导

让我们先关注磁场。
$frac{partial u_B}{partial t} = mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t}$
要得到磁场能密度，我们需要找到一个量，使得它的时间变化率是 $mathbf{H} cdot frac{partial mathbf{B}}{partial t}$。
这暗示着我们应该对 $mathbf{H} cdot dmathbf{B}$ 进行积分。
即 $u_B = int mathbf{H} cdot dmathbf{B}$。

在线性、各向同性、非磁性介质中，$mathbf{B} = mu mathbf{H}$，其中 $mu$ 是常数。
那么 $dmathbf{B} = mu dmathbf{H}$。
$u_B = int mathbf{H} cdot (mu dmathbf{H}) = mu int mathbf{H} cdot dmathbf{H}$。
因为 $mathbf{H} cdot dmathbf{H} = d(frac{1}{2} |mathbf{H}|^2) = d(frac{1}{2} H^2)$。
所以，$u_B = mu int d(frac{1}{2} H^2) = frac{1}{2} mu H^2$ (假设当 $mathbf{H}=0$ 时，能量为0)。
我们知道 $mathbf{B} cdot mathbf{H} = (mu mathbf{H}) cdot mathbf{H} = mu H^2$。
所以，$u_B = frac{1}{2} mathbf{B} cdot mathbf{H}$。

这里的 $mathbf{B} cdot mathbf{H}/2$ 是磁场能的普适表达式，因为它在非线性介质中也成立，只要我们定义磁场能密度为 $u_B = int mathbf{H} cdot dmathbf{B}$。

电场能的推导

现在来看电场。
$frac{partial u_E}{partial t} = mathbf{E} cdot frac{partial mathbf{D}}{partial t}$
这表示电场能量的增加率是由电场 $mathbf{E}$ 和位移电流密度 $frac{partial mathbf{D}}{partial t}$ 的乘积决定的。
类比磁场，我们可以定义电场能密度为 $u_E = int mathbf{E} cdot dmathbf{D}$。

在线性、各向同性介质中，$mathbf{D} = epsilon mathbf{E}$，其中 $epsilon$ 是常数。
那么 $dmathbf{D} = epsilon dmathbf{E}$。
$u_E = int mathbf{E} cdot (epsilon dmathbf{E}) = epsilon int mathbf{E} cdot dmathbf{E}$。
因为 $mathbf{E} cdot dmathbf{E} = d(frac{1}{2} |mathbf{E}|^2) = d(frac{1}{2} E^2)$。
所以，$u_E = epsilon int d(frac{1}{2} E^2) = frac{1}{2} epsilon E^2$ (假设当 $mathbf{E}=0$ 时，能量为0)。
我们知道 $mathbf{D} cdot mathbf{E} = (epsilon mathbf{E}) cdot mathbf{E} = epsilon E^2$。
所以，$u_E = frac{1}{2} mathbf{D} cdot mathbf{E}$。

这个表达式 $mathbf{D} cdot mathbf{E}/2$ 同样是普适的，因为它源于对 $mathbf{E} cdot dmathbf{D}$ 的积分。

为什么这些表达式是“普适”的？

这里的“普适”指的是，它们不局限于真空，而是适用于各种介质，包括非线性、各向异性介质，只要我们正确地定义了 $mathbf{D}$ 和 $mathbf{B}$ 与 $mathbf{E}$ 和 $mathbf{H}$ 的关系。

能量的定义：能量密度被定义为电场和磁场存储能量的能力。这种能力通过对 $mathbf{E}$ 施加贡献并使 $mathbf{D}$ 变化，或对 $mathbf{H}$ 施加贡献并使 $mathbf{B}$ 变化来实现。
功的概念：当电场 $mathbf{E}$ 存在时，一个微小的变化 $dmathbf{D}$ 意味着有能量被存储起来。这个能量的贡献可以被看作是“电场做的功”。这个功的单位体积密度是 $mathbf{E} cdot dmathbf{D}$。
同理，当磁场 $mathbf{H}$ 存在时，一个微小的变化 $dmathbf{B}$ 意味着有能量被存储起来。这个能量的贡献可以被看作是“磁场做的功”。这个功的单位体积密度是 $mathbf{H} cdot dmathbf{B}$。
积分得到总能量：将这些微小的能量密度进行积分，就可以得到总的能量密度。
电场能密度 $u_E = int mathbf{E} cdot dmathbf{D}$。
磁场能密度 $u_B = int mathbf{H} cdot dmathbf{B}$。

在线性介质中的简化

对于最常见的情况，即线性、各向同性介质：
$mathbf{D} = epsilon mathbf{E}$ (其中 $epsilon$ 是常数)
$mathbf{B} = mu mathbf{H}$ (其中 $mu$ 是常数)

这时，
$u_E = int mathbf{E} cdot d(epsilon mathbf{E}) = epsilon int mathbf{E} cdot dmathbf{E} = epsilon frac{E^2}{2} = frac{1}{2} (epsilon mathbf{E}) cdot mathbf{E} = frac{1}{2} mathbf{D} cdot mathbf{E}$。
$u_B = int mathbf{H} cdot d(mu mathbf{H}) = mu int mathbf{H} cdot dmathbf{H} = mu frac{H^2}{2} = frac{1}{2} (mu mathbf{H}) cdot mathbf{H} = frac{1}{2} mathbf{B} cdot mathbf{H}$。

所以，在这些简单的线性介质中，我们得到了最熟悉的表达式 $mathbf{D} cdot mathbf{E}/2$ 和 $mathbf{B} cdot mathbf{H}/2$。

更深层的理解

实际上，这些公式的普适性来自于电磁场理论的变分原理和哈密顿力学的框架。在更广阔的理论体系中，场的能量密度被更自然地定义为与场的“广义动量”的乘积有关。在电磁场理论中，$mathbf{D}$ 可以被看作与电场“动量”相关，而 $mathbf{B}$ 可以被看作与磁场“动量”相关。

总而言之，$mathbf{D} cdot mathbf{E}/2$ 和 $mathbf{B} cdot mathbf{H}/2$ 的普适性，是通过能量守恒方程，将能量密度与场的“动量”变化率联系起来，然后进行积分推导出来的。它们代表了在介质中，电场和磁场各自存储能量的密度，即使在介质的性质（如介电常数和磁导率）随场变化时，这种积分定义的形式也保持不变。

因此，这两个表达式不仅仅是某些特定情况下的结果，而是电磁场能量存储在介质中的基本形式。

首先，我们写下介质中的麦克斯韦方程组。

然后我们来考虑一个电磁场系统的能量是如何体现出来的。

如果这个电磁场要对外界做功，那么只能是通过对电荷做功。此处我们考虑自由电荷，因为极化电荷的能量是被包含在一个电磁场系统里的。

所以一块区域 的电磁场对外做功的功率是

然后代入麦克斯韦方程组，得到

我们引入一个矢量分析恒等式

代入上式得到

其中已经代入 进行化简。

再继续往回代入，应用高斯定理可以得到

很容易看出第二项的曲面积分是坡印亭矢量的积分，代表能流。第一项体积分就表示着电磁场能量的变化 。很容易发现，从这一条不可以直接推出题主给出的公式，因为题主给的公式只对线性极化和磁化介质成立。我们代入线性介质假设

就很容易发现

这样就很容易得到电磁场能密度是

以上。