x^x 的导数怎么算？

计算 $x^x$ 的导数，我们可以借助一个非常有用的技巧——对数微分法。

核心思路：

直接对 $x^x$ 求导，会遇到一个“变量在底数，变量在指数”的复杂情况。对数微分法的精髓在于，将这个棘手的指数形式转化为一个容易处理的乘积或商的形式，从而我们可以运用已知的求导法则。

具体步骤：

1. 引入对数：
我们设 $y = x^x$。
为了化简，我们对等式两边同时取自然对数（ln）。选择自然对数是因为它的导数形式最简洁：
$ln(y) = ln(x^x)$

2. 利用对数性质简化：
根据对数的基本性质，$ln(a^b) = b ln(a)$，我们可以将等式右边进行化简：
$ln(y) = x ln(x)$

3. 对等式两边进行隐函数求导：
现在，我们对 $ln(y) = x ln(x)$ 的两边关于 $x$ 进行求导。记住，我们需要使用链式法则来处理 $ln(y)$ 的导数，因为 $y$ 本身是 $x$ 的函数。

左边：对 $ln(y)$ 关于 $x$ 求导。
根据链式法则，$frac{d}{dx}[ln(y)] = frac{d}{dy}[ln(y)] cdot frac{dy}{dx}$。
我们知道 $frac{d}{dy}[ln(y)] = frac{1}{y}$。
所以，左边的导数是 $frac{1}{y} frac{dy}{dx}$。

右边：对 $x ln(x)$ 关于 $x$ 求导。
这里我们需要使用乘积法则，即 $frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$。
令 $u(x) = x$，则 $u'(x) = 1$。
令 $v(x) = ln(x)$，则 $v'(x) = frac{1}{x}$。
所以，右边的导数是 $(1) cdot ln(x) + x cdot (frac{1}{x})$。
简化后，右边的导数是 $ln(x) + 1$。

4. 合并导数结果：
将左右两边的导数结果相等：
$frac{1}{y} frac{dy}{dx} = ln(x) + 1$

5. 解出 $frac{dy}{dx}$：
我们的目标是求 $frac{dy}{dx}$，所以将等式两边同时乘以 $y$：
$frac{dy}{dx} = y (ln(x) + 1)$

6. 代回原函数：
最后一步，将我们最初设的 $y = x^x$ 代回到等式中：
$frac{dy}{dx} = x^x (ln(x) + 1)$

所以，$x^x$ 的导数就是 $x^x (ln(x) + 1)$。

为什么这种方法有效？

对数微分法之所以能解决“变量在底数，变量在指数”的问题，是因为对数函数有一个非常重要的性质：它能将指数上的变量“移”到系数的位置，变成一个更容易处理的乘积形式。一旦转化成乘积，我们就可以应用熟悉的乘积法则和链式法则来求导。

总结一下思考过程：

遇到 $x^x$ 这种形式，直接求导很困难。
想起利用对数来“压平”指数，即取自然对数。
利用对数性质 $ln(a^b) = b ln(a)$ 将 $x^x$ 变成 $x ln(x)$。
对 $ln(y) = x ln(x)$ 两边同时对 $x$ 求导，注意使用链式法则处理 $ln(y)$。
对 $x ln(x)$ 应用乘积法则。
解出 $frac{dy}{dx}$。
将 $y$ 还原成 $x^x$。

网友意见

@予一人大佬给出了比较好记忆的结论，但是我看评论区有朋友想知道原理(我猜是太简单了所以大佬懒得写了，那就让我这个弱鸡代劳吧)。

对于给定的可导的幂指函数，

那么

我们来观察上面的式子，

如果我们将看作指数函数求导会得到

将看作幂函数求导会得到

所以说这个结论对于可导且是具有普遍性的。

第二次更新我想和大家一起研究一下从多变量函数的角度理解这个问题。

一些定义

为了搞清楚这个问题背后的东西，我们来思考一个问题：微分到底是什么东西？

为了给出微分的一般定义，我们(仿照一元函数的情况)给出

定义1 设是赋范空间，称集合到的映射在的内点可微，如果存在线性连续映射 使得

其中

定义2 称满足定义1的关于的线性函数为映射在点的微分(切映射、导数)。记作。

设是赋范空间的直积中点的邻域，是到赋范空间的映射，此时

中固定除变量以外所有的变量，设

得到定义在空间的点的某个邻域上的函数

定义3 称映射为已知映射在点处的局部映射。

定义4 如果映射在点处可微，那么称它在这一点的导数(或微分)为在点关于变量的偏导数(或偏微分)。通常记作。

更确切地说，

为了作区分，通常将称为全微分。

微分和线性映射的性质

从实值函数的角度出发

如果将中的向量写成坐标形式，那么全微分的定义就等价于个实值函数的等式：

并且是线性函数且

现在考虑定义在集合上的实值函数并且设它在的内点可微。如果是的内点，对于足够小的，显然也是的内点。

利用坐标表示点，向量和线性函数，那么

可以写作

其中是依赖于的实数。

为了求这些实数，利用特殊的位移

代替任意的，显然与的基底中的共线。

当时，显然有，因此

事实上，根据定义4，

于是便证明了

命题1 如果定义在集合上的函数在的内点可微，那么函数在点关于每个变量有偏导数，并且它的微分由这些偏导数唯一确定：

依照爱因斯坦约定可以写作

2. 线性映射的结论

命题2 如果对于向量，当时，令

根据闵可夫斯基不等式，得到的范数，并用记装备了这个范数的空间。

命题3 作为命题2的推广，如果是赋范空间的直积，那么令

即可在中引进向量的范数，这里是向量在空间中的范数。

命题4(线性映射的一般形式) 设线性空间是线性空间的直积，是到线性空间的线性映射，将每个向量表示为

并且对于设

显然，是线性映射，并且

命题5 根据线性空间的直积的定义和映射的定义，可以得到，任意线性映射

都有

的形式，其中是线性映射。

命题6 设是赋范空间的点的邻域，

是从到空间直积中的映射。

给定这样一个映射就相当于给定了个映射，它们与在的每一个点都满足

考虑到

引用命题3和命题4的结论得到所研究的映射在点可微，当且仅当它的所有分量可微，并且在可微的情况下成立等式

。

命题7 设，下面证明

的可微性并求其微分。

证利用的多重线性性，我们得到

因为在中的范数满足不等式

而算子的范数有限，并且

因此

其中，命题得证。

但是算子

是关于的线性连续算子。

因此

结合前述命题最终得到

命题8 如果依定义2给出的映射在点可微，那么它在这点有关于每个变量的偏微分，而且全微分和偏微分由关系式

联系，其中

命题9(复合映射的微分法则) 在给出赋范空间以及内的开集和内的开集的情况下，如果映射在点可微，而映射在点可微，那么这两个映射的复合在点可微，并且

即复合的微分等于微分的复合(证明思路与一元的情况类似，略)。

回归到本题中，可看作一个复合多变量函数

那么

具体地，取，有

即

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