如何证明下面的级数收敛？
当然，我们来聊聊如何判断一个级数是否收敛，并且我尽量用一种自然、不过于“标准答案”的方式来讲解。
首先，你要明白，级数收敛的意思是，把无穷多个数加起来，最后得到一个确定的、有限的数值，而不是一个越来越大的数或者永远变来变去。
在证明级数收敛性的时候，我们通常会使用一些“工具”或者说“判别法”。这些判别法就像是侦探破案的线索一样，帮助我们一步步推断出级数的性质。
我们来举个例子，假设我们要证明的是这样一个级数：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + dots $$
这个级数叫做“p级数”，当p > 1 的时候，它总是收敛的。而我们这个例子里的p就是2，所以我们知道它应该收敛，但我们要怎么“证明”它呢？
思路一：与我们熟悉的收敛级数做比较（比较判别法/极限比较判别法）
这是最直观的一种方法。如果我们的级数中的每一项，都比另一个我们已经知道收敛的级数中的对应项要小（或者相等），那么我们的级数自然也会收敛。
比如，如果我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}$ 是收敛的（这个级数其实是一个“裂项相消”的例子，我们可以轻易算出它的和是1），那么我们可以试着比较一下：
$$ frac{1}{n^2} quad ext{和} quad frac{1}{n(n+1)} $$
我们知道 $n^2 < n(n+1)$ 对于 $n ge 1$ 是成立的。所以，当分母变大时，分数就会变小。因此：
$$ frac{1}{n^2} > frac{1}{n(n+1)} $$
哎呀，这个方向不对！我们想让我们的级数项比一个收敛级数项小。看来直接这样比较不行。
换个角度，我们能不能找到一个比 $frac{1}{n^2}$ 大的级数，而这个大级数是发散的呢？这样我们就能断定我们的级数也可能发散。
但我们知道 $sum frac{1}{n^2}$ 是收敛的，所以这个思路也需要找到一个合适的“参照物”。
回到我们最初的例子 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$。
如果我们想用比较判别法，我们需要找到一个收敛的级数，它大于等于我们的级数。
或者，找到一个发散的级数，它小于等于我们的级数。
这听起来有点绕，对吧？其实有时候我们是反着用这些判别法来证明发散。
思路二：积分判别法 (Integral Test)
这个方法非常有意思，它把级数和一个积分联系起来了。如果有一个函数 $f(x)$，它在大于某个数 $N$ 的时候是连续的、正的，并且是单调递减的，那么：
$$ sum_{n=N}^{infty} a_n quad ext{收敛} iff int_{N}^{infty} f(x) , dx quad ext{收敛} $$
其中 $a_n = f(n)$。
对于我们的级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$，我们可以考虑函数 $f(x) = frac{1}{x^2}$。
连续性： 在 $x ge 1$ 的区间上，$f(x) = frac{1}{x^2}$ 是连续的。
正值性： 对于 $x ge 1$，$frac{1}{x^2}$ 总是正的。
单调递减性： 当 $x$ 增大时，$x^2$ 增大，所以 $frac{1}{x^2}$ 减小。它在 $x ge 1$ 上是单调递减的。
所以，我们可以应用积分判别法。我们需要计算积分：
$$ int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx $$
我们来计算这个不定积分：
$$ int x^{2} , dx = frac{x^{2+1}}{2+1} + C = frac{x^{1}}{1} + C = frac{1}{x} + C $$
现在我们来计算定积分：
$$ int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx = lim_{b o infty} int_{1}^{b} frac{1}{x^2} , dx $$
$$ = lim_{b o infty} left[ frac{1}{x} ight]_{1}^{b} $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{1}{b} left(frac{1}{1} ight) ight) $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{1}{b} + 1 ight) $$
当 $b$ 趋向于无穷大时，$frac{1}{b}$ 趋向于 0。所以：
$$ = 0 + 1 = 1 $$
因为这个积分的值是 1，一个确定的有限值，所以积分是收敛的。
根据积分判别法，既然积分 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx$ 收敛，那么级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 也收敛。
思路三：比值的判别法 (Ratio Test) 或根值的判别法 (Root Test)
这两种方法在处理含有指数或者阶乘的级数时特别有用。它们主要看级数项的“增长速度”。
比值判别法： 计算 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = L$。
如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效，需要用其他方法。
根值判别法： 计算 $lim_{n o infty} sqrt[n]{|a_n|} = L$。
如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效。
让我们尝试用比值判别法来处理一个稍微不同的级数，比如：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!} $$
这里的 $a_n = frac{2^n}{n!}$。
那么，$a_{n+1} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$。
现在我们计算比值：
$$ frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}} $$
$$ = frac{2^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} $$
$$ = frac{2^{n+1}}{2^n} cdot frac{n!}{(n+1)!} $$
我们知道 $2^{n+1} = 2^n cdot 2$，并且 $(n+1)! = (n+1) cdot n!$。所以：
$$ = 2 cdot frac{n!}{(n+1) cdot n!} $$
$$ = 2 cdot frac{1}{n+1} = frac{2}{n+1} $$
现在我们取这个比值的极限：
$$ L = lim_{n o infty} left| frac{2}{n+1} ight| $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{2}{n+1} $$
当 $n$ 趋向于无穷大时，分母 $n+1$ 也趋向于无穷大，所以 $frac{2}{n+1}$ 趋向于 0。
$$ L = 0 $$
因为 $L = 0 < 1$，根据比值判别法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!}$ 是收敛的。
思路四：通项的极限（必要条件）
有一个非常基础但重要的判别法：如果级数 $sum a_n$ 收敛，那么它的通项 $a_n$ 的极限必须是 0，即 $lim_{n o infty} a_n = 0$。
反过来，如果 $lim_{n o infty} a_n eq 0$（或者极限不存在），那么级数 $sum a_n$ 一定是发散的。
这个判别法被称为“发散判别法”或“必要条件判别法”。
举个例子，对于级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n}$：
它的通项是 $a_n = frac{n+1}{n}$。我们计算它的极限：
$$ lim_{n o infty} frac{n+1}{n} = lim_{n o infty} left( 1 + frac{1}{n} ight) $$
$$ = 1 + 0 = 1 $$
因为这个极限不是 0，所以根据发散判别法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n}$ 是发散的。
注意： 这个判别法只能用来证明发散。如果 $lim_{n o infty} a_n = 0$，并不能说明级数就一定收敛。比如我们前面提到的 $sum frac{1}{n}$ (调和级数)，它的通项 $frac{1}{n}$ 的极限是 0，但它却是发散的。
总结一下证明级数收敛的常用方法（工具箱）：
1. 比较判别法 / 极限比较判别法： 找到一个已知的收敛（或发散）级数，通过比较项的大小来推断。这个方法很灵活，但需要你对一些常见级数的收敛性很熟悉。
2. 积分判别法： 将级数与一个积分联系起来，适用于函数连续、正且单调递减的情况。
3. 比值判别法 / 根值判别法： 特别适合处理含指数或阶乘的级数，通过级数项的增长速度来判断。
4. 交错级数判别法 (Alternating Series Test)： 如果级数是交错的（正负号交替出现），并且满足一些条件（项的绝对值递减且趋于零），则级数收敛。
5. 部分和的极限： 这是最根本的定义。如果级数的部分和序列 $S_N = sum_{n=1}^N a_n$ 存在有限的极限，那么级数收敛。但直接计算部分和的极限通常比较困难，所以我们才需要上面那些判别法。
如何选择方法？
这很大程度上取决于级数的具体形式。
如果级数包含 $n^p$ 形式，比如 $sum frac{1}{n^p}$，可以考虑积分判别法或者与已知的p级数做比较。
如果级数包含指数 $a^n$ 或阶乘 $n!$，比值判别法或根值判别法往往是首选。
如果级数是交错的，先考虑交错级数判别法。
如果级数的形式比较复杂，或者上述方法都失效，可能需要一些更高级的技术，或者需要回溯到级数收敛的定义。
最终，证明级数收敛的过程，就像是把问题拆解，然后用合适的工具去一一解决。关键在于理解每种判别法的原理，并知道在什么时候该用哪个工具。有时候，一个级数可能可以用多种方法证明收敛，选择最简单明了的那种就好。
首先，你要明白，级数收敛的意思是，把无穷多个数加起来，最后得到一个确定的、有限的数值，而不是一个越来越大的数或者永远变来变去。
在证明级数收敛性的时候，我们通常会使用一些“工具”或者说“判别法”。这些判别法就像是侦探破案的线索一样，帮助我们一步步推断出级数的性质。
我们来举个例子，假设我们要证明的是这样一个级数：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + dots $$
这个级数叫做“p级数”，当p > 1 的时候，它总是收敛的。而我们这个例子里的p就是2，所以我们知道它应该收敛，但我们要怎么“证明”它呢？
思路一：与我们熟悉的收敛级数做比较（比较判别法/极限比较判别法）
这是最直观的一种方法。如果我们的级数中的每一项，都比另一个我们已经知道收敛的级数中的对应项要小（或者相等），那么我们的级数自然也会收敛。
比如，如果我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}$ 是收敛的（这个级数其实是一个“裂项相消”的例子，我们可以轻易算出它的和是1），那么我们可以试着比较一下：
$$ frac{1}{n^2} quad ext{和} quad frac{1}{n(n+1)} $$
我们知道 $n^2 < n(n+1)$ 对于 $n ge 1$ 是成立的。所以，当分母变大时，分数就会变小。因此：
$$ frac{1}{n^2} > frac{1}{n(n+1)} $$
哎呀，这个方向不对！我们想让我们的级数项比一个收敛级数项小。看来直接这样比较不行。
换个角度，我们能不能找到一个比 $frac{1}{n^2}$ 大的级数，而这个大级数是发散的呢？这样我们就能断定我们的级数也可能发散。
但我们知道 $sum frac{1}{n^2}$ 是收敛的，所以这个思路也需要找到一个合适的“参照物”。
回到我们最初的例子 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$。
如果我们想用比较判别法，我们需要找到一个收敛的级数，它大于等于我们的级数。
或者，找到一个发散的级数，它小于等于我们的级数。
这听起来有点绕，对吧？其实有时候我们是反着用这些判别法来证明发散。
思路二：积分判别法 (Integral Test)
这个方法非常有意思，它把级数和一个积分联系起来了。如果有一个函数 $f(x)$，它在大于某个数 $N$ 的时候是连续的、正的，并且是单调递减的，那么：
$$ sum_{n=N}^{infty} a_n quad ext{收敛} iff int_{N}^{infty} f(x) , dx quad ext{收敛} $$
其中 $a_n = f(n)$。
对于我们的级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$，我们可以考虑函数 $f(x) = frac{1}{x^2}$。
连续性： 在 $x ge 1$ 的区间上，$f(x) = frac{1}{x^2}$ 是连续的。
正值性： 对于 $x ge 1$，$frac{1}{x^2}$ 总是正的。
单调递减性： 当 $x$ 增大时，$x^2$ 增大，所以 $frac{1}{x^2}$ 减小。它在 $x ge 1$ 上是单调递减的。
所以，我们可以应用积分判别法。我们需要计算积分：
$$ int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx $$
我们来计算这个不定积分：
$$ int x^{2} , dx = frac{x^{2+1}}{2+1} + C = frac{x^{1}}{1} + C = frac{1}{x} + C $$
现在我们来计算定积分：
$$ int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx = lim_{b o infty} int_{1}^{b} frac{1}{x^2} , dx $$
$$ = lim_{b o infty} left[ frac{1}{x} ight]_{1}^{b} $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{1}{b} left(frac{1}{1} ight) ight) $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{1}{b} + 1 ight) $$
当 $b$ 趋向于无穷大时，$frac{1}{b}$ 趋向于 0。所以：
$$ = 0 + 1 = 1 $$
因为这个积分的值是 1，一个确定的有限值，所以积分是收敛的。
根据积分判别法，既然积分 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} , dx$ 收敛，那么级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 也收敛。
思路三：比值的判别法 (Ratio Test) 或根值的判别法 (Root Test)
这两种方法在处理含有指数或者阶乘的级数时特别有用。它们主要看级数项的“增长速度”。
比值判别法： 计算 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = L$。
如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效，需要用其他方法。
根值判别法： 计算 $lim_{n o infty} sqrt[n]{|a_n|} = L$。
如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效。
让我们尝试用比值判别法来处理一个稍微不同的级数，比如：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!} $$
这里的 $a_n = frac{2^n}{n!}$。
那么，$a_{n+1} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$。
现在我们计算比值：
$$ frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}} $$
$$ = frac{2^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} $$
$$ = frac{2^{n+1}}{2^n} cdot frac{n!}{(n+1)!} $$
我们知道 $2^{n+1} = 2^n cdot 2$，并且 $(n+1)! = (n+1) cdot n!$。所以：
$$ = 2 cdot frac{n!}{(n+1) cdot n!} $$
$$ = 2 cdot frac{1}{n+1} = frac{2}{n+1} $$
现在我们取这个比值的极限：
$$ L = lim_{n o infty} left| frac{2}{n+1} ight| $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{2}{n+1} $$
当 $n$ 趋向于无穷大时，分母 $n+1$ 也趋向于无穷大，所以 $frac{2}{n+1}$ 趋向于 0。
$$ L = 0 $$
因为 $L = 0 < 1$，根据比值判别法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!}$ 是收敛的。
思路四：通项的极限（必要条件）
有一个非常基础但重要的判别法：如果级数 $sum a_n$ 收敛，那么它的通项 $a_n$ 的极限必须是 0，即 $lim_{n o infty} a_n = 0$。
反过来，如果 $lim_{n o infty} a_n eq 0$（或者极限不存在），那么级数 $sum a_n$ 一定是发散的。
这个判别法被称为“发散判别法”或“必要条件判别法”。
举个例子，对于级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n}$：
它的通项是 $a_n = frac{n+1}{n}$。我们计算它的极限：
$$ lim_{n o infty} frac{n+1}{n} = lim_{n o infty} left( 1 + frac{1}{n} ight) $$
$$ = 1 + 0 = 1 $$
因为这个极限不是 0，所以根据发散判别法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n}$ 是发散的。
注意： 这个判别法只能用来证明发散。如果 $lim_{n o infty} a_n = 0$，并不能说明级数就一定收敛。比如我们前面提到的 $sum frac{1}{n}$ (调和级数)，它的通项 $frac{1}{n}$ 的极限是 0，但它却是发散的。
总结一下证明级数收敛的常用方法（工具箱）：
1. 比较判别法 / 极限比较判别法： 找到一个已知的收敛（或发散）级数，通过比较项的大小来推断。这个方法很灵活，但需要你对一些常见级数的收敛性很熟悉。
2. 积分判别法： 将级数与一个积分联系起来，适用于函数连续、正且单调递减的情况。
3. 比值判别法 / 根值判别法： 特别适合处理含指数或阶乘的级数，通过级数项的增长速度来判断。
4. 交错级数判别法 (Alternating Series Test)： 如果级数是交错的（正负号交替出现），并且满足一些条件（项的绝对值递减且趋于零），则级数收敛。
5. 部分和的极限： 这是最根本的定义。如果级数的部分和序列 $S_N = sum_{n=1}^N a_n$ 存在有限的极限，那么级数收敛。但直接计算部分和的极限通常比较困难，所以我们才需要上面那些判别法。
如何选择方法？
这很大程度上取决于级数的具体形式。
如果级数包含 $n^p$ 形式，比如 $sum frac{1}{n^p}$，可以考虑积分判别法或者与已知的p级数做比较。
如果级数包含指数 $a^n$ 或阶乘 $n!$，比值判别法或根值判别法往往是首选。
如果级数是交错的，先考虑交错级数判别法。
如果级数的形式比较复杂，或者上述方法都失效，可能需要一些更高级的技术，或者需要回溯到级数收敛的定义。
最终，证明级数收敛的过程，就像是把问题拆解，然后用合适的工具去一一解决。关键在于理解每种判别法的原理，并知道在什么时候该用哪个工具。有时候，一个级数可能可以用多种方法证明收敛，选择最简单明了的那种就好。
网友意见
题目 设 在 可积且平方可积， 为傅里叶系数。证明 收敛。
证明：由f平方可积，则由Parseval恒等式可知
右边的级数收敛. 这也表明 都收敛. 所以
注：可以看裴礼文那本书(第二版)的例5.4.24
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