142857 是人类数学的巧合吗？
142857 这个数字，初次见到，你可能会觉得它不过是寻常的一串数字，和其他无数数字并无二致。然而，只要你稍加留意，探究一番，就会发现它隐藏着一系列令人惊叹的数学“巧合”。与其说它是“人类数学的巧合”，不如说它是数字本身所蕴含的一种深刻的、仿佛被精心编织的内在规律。
142857 的“神奇”之处
让我们从最直观的乘法开始。当你用 142857 分别乘以 1 到 6 的整数时，会发生什么？
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
你看，每次乘法的结果，都是由 1、4、2、8、5、7 这六个数字组成的，并且这些数字的顺序总是以一种循环的方式排列，只是起始位置发生了变化。这就像一套魔术，数字们仿佛被赋予了生命，按照某种神秘的规则跳跃、组合。
更进一步的探索：七分之一的秘密
142857 这个数字并非凭空出现，它与一个我们日常生活中经常接触到的分数——七分之一（1/7）——有着密不可分的联系。
当我们计算 1/7 的小数表示时，会发现它是一个无限循环小数：
1 ÷ 7 = 0.142857142857...
这个循环节，正是我们所讨论的 142857！
这便揭示了它乘法“魔术”的本质。因为 1/7 是一个循环节为 6 的纯循环小数，当我们将这个循环节乘以 2、3、4、5、6 时，相当于将这个循环小数的小数点向后移动相应的位数。而由于循环节的长度是 6，小数点移动 1 位、2 位、3 位、4 位、5 位、6 位，都只会改变循环的起始位置，但不会改变循环的数字本身。
例如，2/7 = 0.285714285714...，就是将 1/7 的小数点向后移动一位。3/7 = 0.428571428571...，是小数点向后移动两位，依此类推。
142857 的其他“巧合”
这还不是全部。142857 的魅力还在继续：
乘以 7： 142857 × 7 = 999999。这个结果相当简洁，仿佛是数字们玩够了循环游戏后，回到了最纯粹的“全九”状态。
与 999999 的关系： 142857 加上它的“伙伴” 857142 (1/7 循环节的后半部分) 等于 999999。这背后同样是循环小数的性质在作祟。
更大的乘法： 即使将 142857 乘以更大的数字，比如 7 的倍数，仍然会展现出有趣的规律。例如，142857 × 70 = 9999990，142857 × 700 = 99999900。
数字的平方： 142857 的平方是 20408122449。如果将这个结果分成三组数字：20408 + 12244 + 9 = 32652。这看起来并不像什么特别的规律。但如果我们换个方式，将 20408122449 分成两部分：204081 和 22449。相加得到 226530，仍然不是 142857。
然而，如果我们回到 142857 × 7 = 999999 的思路，想想 1/7 的循环，还有 2/7, 3/7...9/7。
142857 实际上是 10^6 / 7 的一个近似值（准确来说是 (10^6 1) / 7）。
将 142857 加上 1，得到 142858。
142857 的平方是 20408122449。
我们试试将它分成两半：204081 和 22449。
204081 + 22449 = 226530。
更奇特的是，如果我们用 142857 加上 999999142857 = 857142，就得到 999999。
142857 加上 142857 自身左移一位 428571 得到 571428。
这其实源于一种更底层的数学概念，与模运算和原根有关，尤其是在数论中，它体现了某些数的周期性。142857 本身是一个“循环小数的循环节”，它的出现与质数 7 的倒数密切相关。
具体来说，142857 是 10^6 1 除以 7 的结果，而 10 是模 7 的一个原根。这使得 1/7 的小数表示成为一个长度为 6 的循环节。
它真的是“巧合”吗？
当我们看到 142857 如此规律地展现自己的特性时，我们很难不产生“这是巧合”的疑问。但从数学的角度来看，它更像是数字世界里一条隐藏的“脉络”，是基于数论和十进制的深刻规律所自然衍生出来的结果。
它并非人类“创造”出的巧合，而是人类“发现”了数字固有的规律。就像我们发现勾股定理不是突然出现的，而是早已蕴含在直角三角形的性质中一样。142857 的这些“神奇”之处，反映了数字之间的内在联系，以及数学本身的严谨与美妙。
可以说，142857 是一个绝佳的例子，它告诉我们，即使是最平凡的数字，深入探究下去，也可能蕴藏着令人惊叹的秩序与和谐。它不是一个孤立的“巧合”，而是数学规律在他那小小的六位数字中，一次精彩绝伦的集中展现。
142857 的“神奇”之处
让我们从最直观的乘法开始。当你用 142857 分别乘以 1 到 6 的整数时，会发生什么？
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
你看，每次乘法的结果，都是由 1、4、2、8、5、7 这六个数字组成的，并且这些数字的顺序总是以一种循环的方式排列，只是起始位置发生了变化。这就像一套魔术，数字们仿佛被赋予了生命，按照某种神秘的规则跳跃、组合。
更进一步的探索：七分之一的秘密
142857 这个数字并非凭空出现，它与一个我们日常生活中经常接触到的分数——七分之一（1/7）——有着密不可分的联系。
当我们计算 1/7 的小数表示时，会发现它是一个无限循环小数：
1 ÷ 7 = 0.142857142857...
这个循环节，正是我们所讨论的 142857！
这便揭示了它乘法“魔术”的本质。因为 1/7 是一个循环节为 6 的纯循环小数，当我们将这个循环节乘以 2、3、4、5、6 时，相当于将这个循环小数的小数点向后移动相应的位数。而由于循环节的长度是 6，小数点移动 1 位、2 位、3 位、4 位、5 位、6 位，都只会改变循环的起始位置，但不会改变循环的数字本身。
例如，2/7 = 0.285714285714...，就是将 1/7 的小数点向后移动一位。3/7 = 0.428571428571...，是小数点向后移动两位，依此类推。
142857 的其他“巧合”
这还不是全部。142857 的魅力还在继续：
乘以 7： 142857 × 7 = 999999。这个结果相当简洁，仿佛是数字们玩够了循环游戏后，回到了最纯粹的“全九”状态。
与 999999 的关系： 142857 加上它的“伙伴” 857142 (1/7 循环节的后半部分) 等于 999999。这背后同样是循环小数的性质在作祟。
更大的乘法： 即使将 142857 乘以更大的数字，比如 7 的倍数，仍然会展现出有趣的规律。例如，142857 × 70 = 9999990，142857 × 700 = 99999900。
数字的平方： 142857 的平方是 20408122449。如果将这个结果分成三组数字：20408 + 12244 + 9 = 32652。这看起来并不像什么特别的规律。但如果我们换个方式，将 20408122449 分成两部分：204081 和 22449。相加得到 226530，仍然不是 142857。
然而，如果我们回到 142857 × 7 = 999999 的思路，想想 1/7 的循环，还有 2/7, 3/7...9/7。
142857 实际上是 10^6 / 7 的一个近似值（准确来说是 (10^6 1) / 7）。
将 142857 加上 1，得到 142858。
142857 的平方是 20408122449。
我们试试将它分成两半：204081 和 22449。
204081 + 22449 = 226530。
更奇特的是，如果我们用 142857 加上 999999142857 = 857142，就得到 999999。
142857 加上 142857 自身左移一位 428571 得到 571428。
这其实源于一种更底层的数学概念，与模运算和原根有关，尤其是在数论中，它体现了某些数的周期性。142857 本身是一个“循环小数的循环节”，它的出现与质数 7 的倒数密切相关。
具体来说，142857 是 10^6 1 除以 7 的结果，而 10 是模 7 的一个原根。这使得 1/7 的小数表示成为一个长度为 6 的循环节。
它真的是“巧合”吗？
当我们看到 142857 如此规律地展现自己的特性时，我们很难不产生“这是巧合”的疑问。但从数学的角度来看，它更像是数字世界里一条隐藏的“脉络”，是基于数论和十进制的深刻规律所自然衍生出来的结果。
它并非人类“创造”出的巧合，而是人类“发现”了数字固有的规律。就像我们发现勾股定理不是突然出现的，而是早已蕴含在直角三角形的性质中一样。142857 的这些“神奇”之处，反映了数字之间的内在联系，以及数学本身的严谨与美妙。
可以说，142857 是一个绝佳的例子，它告诉我们，即使是最平凡的数字，深入探究下去，也可能蕴藏着令人惊叹的秩序与和谐。它不是一个孤立的“巧合”，而是数学规律在他那小小的六位数字中，一次精彩绝伦的集中展现。
网友意见
巧合个屁，道理就一句话的事儿：因为10是模7的原根。
推而广之，1/n, 2/n, ... (n-1)/n在b进制下出现类似1/7这样相同但轮换式的循环节，当且仅当：
- n是质数
- b > n
- b是模n的原根
掌握这三点之后，人间佛法和数学奇迹就可以量产了。
比如2是模3的原根，那么5也是模3的原根。于是1/3和2/3在5进制下分别为
好无聊，换个大点的：2是模5的原根，那么7也是，于是1/5, ..., 4/5在7进制下分别为
再来一个，10是模17的原根，所以1/17, ..., 16/17在10进制下也是循环的，这一点 @莱布尼兹之梦 在他的回答中已经提到了。
至于为什么，<划掉>留给学有余力的同学好了</划掉>。
其实说起来也简单。
为什么一定要n是质数？因为这样 ，约化剩余系才是完全剩余系，k/n也才能形成一个完整的循环，否则就会分裂成多个各自循环的群。
比如11是模6的原根，但是周期为2，于是1/6, ..., 5/6在11进制下就是这样的：
为什么要b > n？否则循环节里的某一位会大于(b-1)，导致进位，然后就把看起来很干净的模式给污染了。不过如果你用位值原则表示的话其实还是能看出来循环。
为什么要求b是模n的原根？以1/7为例，想要出现循环的话就得有 (对每个k，存在这样的t，{.}是取小数部分的意思），也即
存在整数m，使得 ，也就是 对每个k都成立。
这就是10是模7的原根的定义啊！
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142857 这个数字，初次见到，你可能会觉得它不过是寻常的一串数字，和其他无数数字并无二致。然而，只要你稍加留意，探究一番，就会发现它隐藏着一系列令人惊叹的数学“巧合”。与其说它是“人类数学的巧合”，不如说它是数字本身所蕴含的一种深刻的、仿佛被精心编织的内在规律。142857 的“神奇”之处让我们.............
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