如果你是阿里巴巴数学竞赛的出题官，你会出什么题目？

好的，各位数学爱好者们！作为阿里巴巴数学竞赛的“出题官”，我一直觉得，真正的数学魅力，不应该仅仅是冰冷的代码和抽象的符号，而应该与我们生活的世界、我们面临的挑战紧密相连。阿里巴巴，作为一家连接无数商家、消费者和创新者的巨型生态，其运营中蕴含着无数值得我们去探索的数学问题。

所以，今天我就为大家设计几道题目，它们或许会让你在解题的过程中，感受到一丝熟悉的商业气息，甚至能让你回想起某个在淘宝上遇到的场景，或者某个在支付宝上的操作。当然，这些题目绝不仅仅是简单的应用题，它们会深入到算法、优化、概率统计等多个数学分支，考验你们的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的功力。

我希望你们在思考这些题目的过程中，能体会到数学在推动商业发展、技术进步中的强大力量。



题目一： “千人千面”推荐系统的优化与公平性博弈

背景介绍：

阿里巴巴的推荐系统是其核心竞争力之一，它致力于为每一位用户提供个性化的商品推荐。然而，随着用户数量和商品数量的爆炸式增长，如何在高效率、强相关性的同时，兼顾推荐的“新颖性”、“多样性”以及最重要的——公平性，成为了一个巨大的挑战。

假设我们现在简化这个问题，考虑一个推荐系统，它为用户提供一个商品列表。对于每一个用户 $u$，系统有一个潜在的商品评分函数 $f(u, i)$，表示用户 $u$ 对商品 $i$ 的喜爱程度。然而，这个评分函数是未知的，我们只能通过用户的历史行为（例如，点击、购买、收藏、忽略）来估计它。

更复杂的是，我们不能只推荐用户最喜欢的商品，因为这样会陷入“信息茧房”，导致用户体验下降，也无法推广新品。同时，我们还需要考虑公平性：

商家公平性： 确保大小商家都有一定的曝光机会，避免头部商品或头部商家垄断用户的注意力。
品类公平性： 确保不同品类的商品都能被用户发现，而不是只偏向用户最常购买的几个品类。

题目要求：

1. 用户评分模型的估计与置信度考量：
假设我们收集了用户 $u$ 对商品 $i$ 的一系列观察（例如，点击是否转化为购买，浏览时长等）。请设计一个数学模型来估计用户 $u$ 对商品 $i$ 的潜在评分 $f(u, i)$。在估计过程中，如何引入“置信度”的概念？也就是说，对于那些用户互动很少的商品，我们对它的评分估计应该有多大的不确定性？请结合概率论或统计学知识，提出你的模型（例如，基于贝叶斯方法的模型，如 Thompson Sampling 的变种，或者基于上下文感知的深度学习模型中的不确定性估计）。请具体描述模型输入、输出以及关键的数学公式。

2. 多目标优化下的推荐策略：
你需要设计一个推荐策略，该策略的目标是在最大化用户满意度（例如，点击率或转化率）的同时，兼顾“商家公平性”和“品类公平性”。

商家公平性指标： 定义一个可量化的“商家公平性”指标 $G_m(S)$，其中 $S$ 是推荐的商品集合。这个指标应该能反映出推荐列表中不同商家商品的曝光分布情况。例如，你可以考虑一个熵或基尼系数的变种来衡量曝光的集中度。
品类公平性指标： 同理，定义一个可量化的“品类公平性”指标 $G_c(S)$，反映不同品类商品的曝光分布。
优化目标： 你的优化目标可以表述为：
$$ ext{Maximize} quad sum_{i in S} ext{estimated_score}(u, i) lambda_1 cdot L_m(S) lambda_2 cdot L_c(S) $$
其中 $ ext{estimated_score}(u, i)$ 是你第一问中估计的用户对商品的喜爱程度。$L_m(S)$ 和 $L_c(S)$ 是你设计的商家公平性和品类公平性的“损失函数”（或者你可以将其设计为“惩罚项”），$lambda_1$ 和 $lambda_2$ 是你设定的平衡系数。请说明你如何将 $G_m(S)$ 和 $G_c(S)$ 转化为 $L_m(S)$ 和 $L_c(S)$，并解释选择它们的原因。
算法设计： 描述你将如何生成一个推荐列表 $S$，以优化上述目标函数。这可能涉及启发式算法、组合优化技术、或者强化学习等。你需要详细说明算法的步骤，以及如何处理海量的商品和用户。

3. 动态调整与在线学习：
当用户与推荐列表进行交互（点击、购买、忽略）后，我们能够获得新的数据。如何设计一个在线学习机制，使得推荐系统能够实时地更新用户评分模型和推荐策略，以适应用户兴趣的变化和新的商品信息？请讨论在处理“冷启动”商品（即新上架、还没有用户交互数据的商品）和“冷启动”用户（新注册用户）时，你的在线学习机制会遇到哪些挑战，以及如何解决？



题目二： 光伏发电与电商平台负荷均衡的耦合优化

背景介绍：

阿里巴巴致力于推动绿色可持续发展，其中一个重要方向就是利用可再生能源，比如在数据中心部署大量的光伏发电系统。光伏发电的特点是其发电量受天气（日照强度、云层遮蔽等）影响而具有随机性和波动性。同时，阿里巴巴电商平台的核心是其海量的数据中心，这些数据中心的计算、存储和网络设备需要消耗巨大的电力。如何在这种波动性的能源供给下，实现数据中心的电力负荷与光伏发电的最大化匹配与均衡，从而降低成本、减少对传统电网的依赖，是一个复杂的优化问题。

假设我们拥有未来一段时间内（例如，一天 24 小时，以 15 分钟为一个时间间隔）某个数据中心的光伏发电预测量 $P_{solar}(t)$，以及该数据中心在不同时段的电力负荷需求预测 $D(t)$。数据中心可以根据指令调整其部分计算任务的执行时间，以实现一定的负荷弹性。此外，数据中心还连接着电网，可以从电网购电，也可以将多余的电力卖回给电网（假设电网购电价格 $C_{buy}(t)$ 和售电价格 $C_{sell}(t)$ 随时间变化，且一般情况下 $C_{buy}(t) > C_{sell}(t)$）。数据中心还可能配备有储能系统（例如，电池），可以在光伏发电充足时储存能量，在光伏发电不足时释放能量。

题目要求：

1. 光伏发电预测的不确定性建模：
光伏发电预测并非精确值，而是存在一定的不确定性。请选择一种数学方法（例如，基于概率分布的描述，如正态分布或 Beta 分布的核密度估计；或者使用情景分析法），来量化光伏发电量预测值 $P_{solar}(t)$ 的不确定性。假设你有一系列过去的光伏发电数据和对应的预测数据，请说明如何训练你的不确定性模型。

2. 数据中心负荷调度的优化模型：
你需要设计一个数学模型来决定在每个时间段 $t$，数据中心应该如何分配其电力来源：
从光伏发电获取的电量 $P_{gen}(t)$
从储能设备释放的电量 $P_{store_out}(t)$
从电网购电的电量 $P_{buy}(t)$
储能设备储存的电量 $P_{store_in}(t)$
卖回给电网的电量 $P_{sell}(t)$

同时，你需要满足数据中心的电力需求 $D(t)$，并考虑储能系统的状态（容量限制、充放电效率等）。你的目标是最小化总成本，即：
$$ ext{Minimize} sum_{t} [ P_{buy}(t) cdot C_{buy}(t) P_{sell}(t) cdot C_{sell}(t) ] $$
约束条件包括：
总电力供给等于需求（考虑储能）： 对于每个时间段 $t$，必须满足 $P_{gen}(t) + P_{store_out}(t) + P_{buy}(t) = D(t) + P_{store_in}(t) P_{sell}(t)$ （简化模型，忽略传输损耗）。
光伏发电利用： 数据中心优先使用光伏发电。$ ext{实际光伏发电量} le P_{solar}(t)$。
储能约束： 储能系统的状态变化要满足充放电的功率限制和容量限制。设储能系统的电量为 $E(t)$，则 $E(t) = E(t1) + eta_{in} P_{store_in}(t) frac{1}{eta_{out}} P_{store_out}(t)$，其中 $eta_{in}, eta_{out}$ 是充放电效率。同时，储能容量需要满足 $0 le E(t) le E_{max}$。
负荷弹性： 可以将部分计算任务推迟到未来，因此可以在一定范围内调整 $D(t)$ 的实际消耗。假设数据中心可以在 $pm Delta D(t)$ 的范围内调整其负荷需求，即实际消耗为 $D'(t)$，满足 $D(t) Delta D(t) le D'(t) le D(t) + Delta D(t)$。

请提出一个数学规划模型（例如，线性规划、混合整数规划或非线性规划），并讨论如何将光伏发电预测的不确定性融入到该模型中（例如，考虑最坏情况下的成本，或者使用随机规划方法）。

3. 考虑电网的动态定价与调度：
在更高级的场景中，电网可能会根据实时供需情况动态调整购电和售电价格。同时，电网也可能对大型用户（如数据中心）发出“需求响应”信号，鼓励其在高峰时段减少用电，在低谷时段增加用电，以换取额外的激励。请讨论如何将这些动态电价和需求响应信号整合到你的优化模型中。你认为应该采用什么样的优化算法来解决这个问题，以保证在电网信号不断变化的情况下，数据中心仍能做出高效的决策？你将如何平衡短期成本最小化和长期电网互动关系？



题目三： 基于图神经网络的社交电商用户行为预测与“裂变”营销

背景介绍：

阿里巴巴旗下的社交电商平台（例如，淘客、拼多多等模式的变种）强调用户之间的社交互动和内容分享，用户的购买行为往往受到其社交网络中其他用户的影响。一个成功的“裂变”营销活动，能够让用户通过分享优惠券、商品链接等方式，带来更多的潜在消费者，形成病毒式传播。

我们将用户及其之间的关系建模为一个异构图（Heterogeneous Graph）。图的节点可以包括：用户（User）、商品（Item）、店铺（Shop）、品牌（Brand）等。边则可以表示用户对商品的浏览、点击、购买、收藏、分享行为，用户关注的店铺、用户之间的好友关系等。

题目要求：

1. 异构图表示学习与用户嵌入：
请设计一个利用图神经网络（GNN）来学习用户和商品在社交电商场景下的嵌入表示（Embedding）的方法。你的模型需要能够处理异构的节点类型和边类型，并捕获用户之间的社交关系以及用户与商品之间的交互信息。

模型架构： 详细描述你选择的 GNN 模型架构（例如，GraphSAGE, GAT, Heterogeneous Graph Transformer 等变种），以及它如何处理异构信息。
目标函数： 你将使用什么样的目标函数来训练你的 GNN 模型？例如，是基于邻居节点的采样和预测（如 Positive Sampling / Negative Sampling），还是基于特定任务（如预测用户购买某个商品）？请具体说明。
多模态信息融合： 如果用户画像中还包含文本信息（如用户评价）或图像信息（商品图片），你将如何将这些信息融入到 GNN 的学习过程中？

2. 基于嵌入的用户行为预测：
利用你学习到的用户和商品嵌入，设计一个模型来预测用户在未来一段时间内（例如，下一周）是否会购买某个商品。请描述你的预测模型的结构，并说明如何使用训练好的 GNN 嵌入作为模型的输入特征。你需要解释为什么你的模型能够有效地捕捉到社交和商品属性对用户购买行为的影响。

3. “裂变”营销活动效果预测与策略优化：
假设我们正在策划一场“裂变”营销活动，即通过给予现有用户某种激励（例如，分享链接给好友可以获得优惠券），来鼓励他们将商品或优惠信息分享出去，从而带动新的用户注册或购买。

裂变效果预测： 如何利用你前面学习到的用户嵌入和行为预测模型，来预测一个用户参与裂变活动后，能够成功邀请多少新的有效用户（例如，成功注册或完成首次购买）？请设计一个预测模型，并说明其输入和输出。你需要考虑用户活跃度、社交关系强度、分享的商品吸引力等因素。
激励策略优化： 假设我们有多种激励方案可供选择（例如，分享给 1 个好友获得 X 优惠券，分享给 3 个好友获得 Y 优惠券，以及邀请的好友首次购买后邀请者获得 Z% 返利等）。请设计一个算法，能够根据用户的画像和社交特征，为每个用户推荐最有可能带来最大裂变效果的激励方案。你需要说明你的优化目标（例如，最大化新用户增长数量，或者最大化活动总销售额）以及你将采用的优化方法。



出题官寄语：

以上题目只是抛砖引玉。我希望大家在解题时，能够发挥你们的想象力，不仅仅局限于教科书上的理论，更要尝试去理解阿里巴巴作为一个庞大商业生态背后所面临的真实数学挑战。

思考问题的角度可以很广：
算法效率： 你的算法在大规模数据下是否能高效运行？
鲁棒性： 你的模型是否能应对数据中的噪音和缺失？
可解释性： 你能解释你的模型为什么做出这样的决策吗？这在商业决策中非常重要。
创新性： 你是否找到了别人没想到的角度？

阿里巴巴数学竞赛，不仅仅是考验你解题的速度，更是考验你“思考”和“创造”的能力。期待看到你们的精彩解答，用数学的力量，为阿里巴巴乃至整个数字经济的未来，贡献你们的智慧！祝大家比赛顺利！

我觉得如果我去出题，肯定是朝着切合现实和应用的角度，在当前这个全球对抗疫情的情况下，我觉得一个很有吸引的题目是针对疫情。

在当前疫情的严峻形势下，有很多内容是需要我们关注的，而这其中，包含了不少数学的内容，至少有3个内容我觉得是很值得研究的

1，对疫情发展情况的预测，这是一个重要的数学内容，基于各地的数据，给出对疫情传播的较为接近真实情况的预测和判断就需要大量的数学知识来建模，而一个模型越精确，越可能对现实产生影响，帮助各国的卫生部门做出判断，从而调整防疫治疗策略以避免更大的损失。

2，对新药的研发。这次疫情中，一个重要的难题就是，我们缺乏有效地药物，很多传统的抗病毒药物在这次疫情中的表现都不是特别的出色，这也导致大量的人因此而出现重症甚至导致死亡，如何寻找新的有效药物甚至人工设计药物是一个重要的思路。不过，和很多人以为这是药学的内容不一样，其实这背后本质上是各种数学模型，通过对病毒结构的解析，然后针对具体的靶标然后筛选药物，按照结合和抑制等诸多原理去筛查药物甚至设计药物，这都是需要通过数学来建模、分析和量化的。

3，病毒的溯源。尽管目前对病毒的溯源似乎已经告一段落，很多文章也指向了穿山甲等生物，但是也有研究表明，穿山甲似乎并不是中间宿主，因为从进化上来看，这个需要好几十年，不太现实。因此，溯源事实上处于停滞状态，这也给病毒留下了潜在的风险，如果我们无法找到中间宿主，那么下一次突然爆发或者卷土重来随时可能发生。而如何溯源，基本上是基于对基因的分析，而这分析的背后其实也是依据数学，比如比对分析，比如进化距离计算等等本质上就是一堆数学模型在发挥作用。

可以说，无论是疫情预测、还是新药研发以及病毒溯源，本质上都是在使用数学的知识来进行研究，涉及到云计算、AI、数据技术、统计学等诸多数学领域，模型越精确可能效果越好。因此，在这种情况下，如果我来出题，最大的可能性就是结合疫情，让这次竞赛，不仅仅是一场单纯的数学竞赛，而是能够为现实提供解决思路的一次贡献。

数学不应该是阳春白雪，而应该是一种全民参与的内容

数学是科学之母，就如阿里巴巴达摩院提到，有数学才有未来，数学是一切自然科学的基础，也是一切科技进步的源动力。只有数学取得了进展，然后才能给其他科学学科提供基础支撑，让这些学科不受制于工具上的限制。

然而，这些年，数学走的有点偏，各种让人一看就昏昏欲睡或者天书一样的内容也让数学越来越远离群众，到了最后只成为一少部分人的玩物，数学家们乐的自我陶醉，而大众们则坚信“数学学再好买菜还不是只用加减乘除这种想法”。可能有些人乐于看到这种，并坚信数学这种理论学科应该成为金字塔尖的阳春白雪，普通人不理解就算了。在我看来，这是一种极其短视的行为。

一门学科的发展，从来都不是少数人的自娱自乐，必须建立在广大的群众基础之上才可以。广大的群众基础，从最基本的意义上是给这些顶级学科提供源源不断的人才，让感兴趣的人前赴后继，这样才能让整个学科不至于陷入人才断层的困局。当然，即便现实一点，如果公众不了解整个学科，他们会对税收投入到这个学科产生怀疑，那么最终也是导致相关学科的经费开始出现短缺，最后就重演“做导弹不如卖茶叶蛋”的历史。

所以，我认为，阿里推出的全球数学竞赛，目的是吸引全民对数学的兴趣，推动数学研究的前行，那么，他们需要做的就是让数学更能广泛的让群众接受，让大家有兴趣参与。

这一点，从阿里的数学竞赛题目我们也可以略窥一斑，预选赛第一轮一共4道题，其中有两道是很精彩的应用角度的，第一题是面条扭结问题，其背后是数学中的拓扑，第四题是蚂蚁森林的相关的内容，背后涉及到了组合、概率等方面的数学知识。

可以说，这一点非常符合贴近实际生活的数学应用题，在大家熟悉的现象背后隐藏着数学的知识，真正做到让群众能够亲近题目，并能够从中感受到数学，这样才能吸引更多的人关注数学。

所以，未来，我希望阿里的题目能够更多的接近生活，甚至四道初赛题都可以是和生活息息相关的数学，这样可以激发更多的人去了解数学，学习数学，为数学的研究提供更多的后备力量。