求使 y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b) 成立的正整数对 (x,y) 的数量这一类的题如何解？

这类问题通常是关于不定方程的整数解问题，特别是涉及到平方根的类型。求解这类方程的关键在于如何消去平方根，将其转化为多项式方程，然后利用数论的性质来寻找整数解。

让我们来详细分析一下求解 `y = sqrt(x+a) + sqrt(x+b)` 的正整数对 `(x,y)` 的数量这一类题的通用方法和思路。

核心思想：将非多项式方程转化为多项式方程，并利用整数解的性质

由于我们要求的是正整数解，这给了我们非常强的约束条件。如果只是求解实数解，那么只要存在，通常会有无数个。但整数解的数量是有限的，甚至可能是零。

步骤一：消去平方根

这是最关键的一步。我们需要通过代数运算，将包含平方根的项移除。

1. 平方方程的两边：
`y^2 = (sqrt(x+a) + sqrt(x+b))^2`
`y^2 = (x+a) + (x+b) + 2 sqrt((x+a)(x+b))`
`y^2 = 2x + a + b + 2 sqrt(x^2 + (a+b)x + ab)`

2. 隔离剩余的平方根项：
`y^2 (2x + a + b) = 2 sqrt(x^2 + (a+b)x + ab)`

3. 再次平方方程的两边：
`(y^2 2x a b)^2 = 4 (x^2 + (a+b)x + ab)`

展开左边：
`(y^2)^2 + (2x)^2 + (ab)^2 + 2(y^2)(2x) + 2(y^2)(ab) + 2(2x)(ab) = 4x^2 + 4(a+b)x + 4ab`

`y^4 + 4x^2 + (a+b)^2 4xy^2 2(a+b)y^2 + 4x(a+b) = 4x^2 + 4(a+b)x + 4ab`

4. 化简方程：
注意到 `4x^2` 和 `4(a+b)x` 在等式两边都有，可以约去。
`y^4 + (a+b)^2 4xy^2 2(a+b)y^2 = 4ab`

重新整理，使 `x` 的项集中在一起：
`4xy^2 = y^4 + (a+b)^2 2(a+b)y^2 4ab`

然后解出 `x`：
`x = (y^4 + (a+b)^2 2(a+b)y^2 4ab) / (4y^2)`

或者更清晰地写成：
`x = (y^4 2(a+b)y^2 + (a+b)^2 4ab) / (4y^2)`

或者进一步展开分母：
`x = y^2/4 (a+b)/(2y) + (a+b)^2/(4y^2) ab/y^2` (这个形式可能不适合直接代入整数性质，还是前一个形式更直观)

我们回到这个形式：
`x = (y^4 2(a+b)y^2 + (a+b)^2 4ab) / (4y^2)`

步骤二：利用整数性质约束解

现在我们得到了一个关于 `x` 和 `y` 的多项式方程。由于 `x` 和 `y` 必须是正整数，这为我们提供了强大的约束。

1. 从 `y` 入手：
在方程 `y^2 (2x + a + b) = 2 sqrt(x^2 + (a+b)x + ab)` 中，为了让 `sqrt(x^2 + (a+b)x + ab)` 是一个有理数（进而可能是一个整数），根号内的表达式 `x^2 + (a+b)x + ab` 必须是一个完全平方数。
设 `x^2 + (a+b)x + ab = k^2`，其中 `k` 是非负整数。

2. 继续化简 `x` 的表达式：
从 `x = (y^4 2(a+b)y^2 + (a+b)^2 4ab) / (4y^2)`，我们可以看到，为了使 `x` 是整数，`4y^2` 必须整除 `y^4 2(a+b)y^2 + (a+b)^2 4ab`。

这意味着：
`y^4 2(a+b)y^2 + (a+b)^2 4ab` 必须是 `4` 的倍数。
`y^4 2(a+b)y^2 + (a+b)^2 4ab` 必须是 `y^2` 的倍数。

从第二个条件：
`y^4` 是 `y^2` 的倍数。
`2(a+b)y^2` 是 `y^2` 的倍数。
所以，`(a+b)^2 4ab` 必须是 `y^2` 的倍数。

`(a+b)^2 4ab = a^2 + 2ab + b^2 4ab = a^2 2ab + b^2 = (ab)^2`。

因此，`(ab)^2` 必须是 `y^2` 的倍数。
这意味着 `|ab|` 必须是 `y` 的倍数。
设 `|ab| = m y`，其中 `m` 是一个非负整数。
或者说，`y` 必须是 `|ab|` 的约数。

3. 代入约束条件：
现在我们知道 `y` 的可能取值范围受到了 `|ab|` 的限制。我们可以尝试将 `y` 的可能值（即 `|ab|` 的约数）代入 `x` 的表达式，然后检查是否能得到正整数 `x`。

`x = (y^4 2(a+b)y^2 + (a+b)^2 4ab) / (4y^2)`
`x = (y^4 2(a+b)y^2 + (ab)^2) / (4y^2)`

为了使 `x` 为整数，我们已经知道 `(ab)^2` 是 `y^2` 的倍数。设 `(ab)^2 = c y^2`，其中 `c` 是某个整数（实际上 `c = m^2`）。

`x = (y^4 2(a+b)y^2 + c y^2) / (4y^2)`
`x = y^2/4 (a+b)/2 + c/4`

为了让 `x` 为整数，我们需要：
`y^2` 是 `4` 的倍数。
`a+b` 是偶数（这样 `(a+b)/2` 才是整数）。
`c` 是 `4` 的倍数（`c = (ab)^2 / y^2`）。

这看起来有点复杂，让我们回到更早的方程：
`y^2 2x a b = 2 sqrt(x^2 + (a+b)x + ab)`

为了使等式成立，左边 `y^2 2x a b` 必须是非负的，并且是偶数（因为右边是 `2` 乘以一个数）。
非负性： `y^2 >= 2x + a + b`
偶数性： `y^2 2x a b` 是偶数。
因为 `2x` 是偶数，所以 `y^2 a b` 必须是偶数。
如果 `y` 是偶数，那么 `y^2` 是偶数，此时 `ab` 必须是偶数，即 `a+b` 必须是偶数。
如果 `y` 是奇数，那么 `y^2` 是奇数，此时 `ab` 必须是奇数，即 `a+b` 必须是奇数。
结论：`y` 和 `a+b` 的奇偶性必须相反。

另外，`x^2 + (a+b)x + ab` 必须是一个完全平方数。
设 `x^2 + (a+b)x + ab = k^2`，其中 `k` 是非负整数。

我们可以尝试通过配方法来处理 `x^2 + (a+b)x + ab`。
`x^2 + (a+b)x + ab = (x + (a+b)/2)^2 ((a+b)/2)^2 + ab`
`= (x + (a+b)/2)^2 (a^2 + 2ab + b^2)/4 + 4ab/4`
`= (x + (a+b)/2)^2 (a^2 2ab + b^2)/4`
`= (x + (a+b)/2)^2 (ab)^2/4`

所以，我们需要 `(x + (a+b)/2)^2 (ab)^2/4 = k^2`。
为了避免分数，我们可以乘以 `4`：
`4(x + (a+b)/2)^2 (ab)^2 = 4k^2`
`(2x + a + b)^2 (ab)^2 = (2k)^2`

这是一个平方差公式：
`((2x + a + b) (ab)) ((2x + a + b) + (ab)) = (2k)^2`
`(2x + 2b) (2x + 2a) = (2k)^2`
`4 (x+b) (x+a) = (2k)^2`

这回到了我们最开始平方的方程 `y^2 = 2x + a + b + 2 sqrt((x+a)(x+b))` 的变种。
如果我们令 `sqrt((x+a)(x+b)) = k`，那么 `(x+a)(x+b) = k^2`。
代回 `y^2 2x a b = 2k`。
所以，`y^2 2x a b` 必须是偶数，且 `(x+a)(x+b)` 是完全平方数。

步骤三：寻找可能的 `x` 和 `y` 的关系

我们回到 `x = y^2/4 (a+b)/2 + (ab)^2/(4y^2)`。
为了使 `x` 为整数：
1. `y^2` 必须是 `4` 的倍数。也就是说 `y` 必须是偶数，且 `y/2` 是整数。
2. `a+b` 必须是偶数。这意味着 `a` 和 `b` 的奇偶性相同（同为奇数或同为偶数）。
3. `(ab)^2` 必须是 `y^2` 的倍数，即 `|ab|` 是 `y` 的倍数。

如果这些条件都满足，那么 `x` 可以被表示为整数。

另一种角度思考：令 `sqrt(x+a) = m`，`sqrt(x+b) = n`

其中 `m` 和 `n` 都是非负整数，且 `m+n = y`。
则 `x+a = m^2` => `x = m^2 a`
则 `x+b = n^2` => `x = n^2 b`

令 `x` 相等：
`m^2 a = n^2 b`
`m^2 n^2 = a b`
`(mn)(m+n) = a b`

我们知道 `m+n = y`。
所以，`(mn) y = a b`。

这意味着 `y` 必须是 `ab` 的约数（如果 `ab` 是正的）。更一般的说，`y` 必须是 `|ab|` 的一个约数。

从 `(mn) y = a b`，我们可以得到 `mn = (ab) / y`。
这是一个关键的整数关系！

现在我们有两个关于 `m` 和 `n` 的方程：
1. `m + n = y`
2. `m n = (ab) / y`

这是一个典型的线性方程组。我们可以解出 `m` 和 `n`：
将两个方程相加：
`(m+n) + (mn) = y + (ab)/y`
`2m = y + (ab)/y`
`m = (y + (ab)/y) / 2`

将第一个方程减去第二个方程：
`(m+n) (mn) = y (ab)/y`
`2n = y (ab)/y`
`n = (y (ab)/y) / 2`

为了使 `m` 和 `n` 是整数，我们需要：
`y` 是 `|ab|` 的约数（这样 `(ab)/y` 是整数）。
`y + (ab)/y` 是偶数。
`y (ab)/y` 是偶数。

这两个条件是等价的：
如果 `y` 和 `(ab)/y` 同为奇数，则它们的和与差都是偶数。
如果 `y` 和 `(ab)/y` 同为偶数，则它们的和与差都是偶数。
如果 `y` 和 `(ab)/y` 奇偶性不同，则它们的和与差都是奇数。

因此，`y` 和 `(ab)/y` 的奇偶性必须相同。
这等价于 `y` 和 `ab` 的奇偶性相同，并且 `y` 和 `y` 的奇偶性相同（这是废话）。
更直接地说，`y` 和 `(ab)/y` 必须同为奇数，或者同为偶数。
这又可以转化为：
`y ((ab)/y)` 必须是偶数（如果它们同为偶数）。
`y ((ab)/y)` 必须是奇数（如果它们同为奇数）。
实际上，`y` 和 `(ab)/y` 的乘积 `ab` 的奇偶性决定了它们是否同奇偶。
如果 `ab` 是奇数，那么 `y` 和 `(ab)/y` 必须都是奇数。
如果 `ab` 是偶数，那么 `y` 和 `(ab)/y` 可以都是偶数，或者一个奇一个偶。但由于它们相差为偶数，所以它们必须同为偶数。

更简洁的条件是：`y` 和 `(ab)/y` 必须同为奇数，或者同为偶数。

一旦我们找到满足条件的 `y` (正整数)，我们就可以计算出 `m` 和 `n`。
最后，我们需要检查 `m` 和 `n` 是否是非负整数，并且计算出 `x`。
`x = m^2 a`
`x = n^2 b`

我们需要 `x` 必须是正整数。
`x = m^2 a > 0` => `m^2 > a`
`x = n^2 b > 0` => `n^2 > b`

总结求解步骤（推荐方法）：

1. 条件转换： 将原方程 `y = sqrt(x+a) + sqrt(x+b)` 看作是寻找满足以下条件的整数 `x` 和 `y`：
`x, y` 是正整数。
`x+a` 和 `x+b` 是非负的（由于 `x` 是正整数，`a` 和 `b` 的取值范围决定了这一点，通常题目会隐含或说明 `a,b` 的范围使得 `x+a >= 0` 和 `x+b >= 0`）。
`x+a` 和 `x+b` 的平方根相加等于 `y`。

2. 引入辅助变量： 令 `sqrt(x+a) = m` 和 `sqrt(x+b) = n`，其中 `m` 和 `n` 是非负整数。
则 `x+a = m^2` => `x = m^2 a`
则 `x+b = n^2` => `x = n^2 b`
原方程变为 `m + n = y`。

3. 建立关于 `m`, `n`, `y`, `a`, `b` 的关系：
`m^2 a = n^2 b` => `m^2 n^2 = a b` => `(mn)(m+n) = a b`
代入 `m+n = y` => `(mn)y = a b`

4. 从 `y` 入手，约束 `y` 的可能取值：
`y` 必须是 `ab` 的约数（如果 `ab` 是正的），或者 `|ab|` 的约数。更确切地说，`y` 必须是 `ab` 的一个因子。
整数解条件： 从 `mn = (ab)/y` 和 `m+n = y`，解出 `m` 和 `n`：
`m = (y + (ab)/y) / 2`
`n = (y (ab)/y) / 2`
为了使 `m` 和 `n` 是整数，必须满足：
`y` 是 `|ab|` 的约数（即 `(ab)/y` 是整数）。
`y` 和 `(ab)/y` 的奇偶性必须相同。

5. 枚举可能的 `y` 并计算 `x`：
找到所有正整数 `y`，使得 `y` 是 `|ab|` 的约数，并且 `y` 和 `(ab)/y` 的奇偶性相同。
对于每一个满足条件的 `y`，计算出对应的 `m` 和 `n`。
然后计算 `x = m^2 a` （或者 `x = n^2 b`）。
最后检查： 确保计算出的 `x` 是正整数。

6. 计数： 统计所有满足条件的 `(x,y)` 对的数量。

例子：

求解 `y = sqrt(x+2) + sqrt(x+7)` 的正整数对 `(x,y)` 的数量。

这里 `a = 2`, `b = 7`。
`ab = 27 = 5`。
`|ab| = 5`。

`y` 必须是 `|ab| = 5` 的约数。
`y` 的可能取值为 `1, 5`。

情况 1：`y = 1`
检查奇偶性：`y = 1` (奇数)。 `(ab)/y = 5 / 1 = 5` (奇数)。
`y` 和 `(ab)/y` 奇偶性相同（都是奇数）。所以 `y=1` 是一个可能的 `y`。
计算 `m` 和 `n`：
`m = (y + (ab)/y) / 2 = (1 + (5)) / 2 = 4 / 2 = 2`
`n = (y (ab)/y) / 2 = (1 (5)) / 2 = 6 / 2 = 3`
检查 `m` 和 `n` 的非负性：`m = 2` 不是非负整数。因此，`y=1` 不产生有效的解。

情况 2：`y = 5`
检查奇偶性：`y = 5` (奇数)。 `(ab)/y = 5 / 5 = 1` (奇数)。
`y` 和 `(ab)/y` 奇偶性相同（都是奇数）。所以 `y=5` 是一个可能的 `y`。
计算 `m` 和 `n`：
`m = (y + (ab)/y) / 2 = (5 + (1)) / 2 = 4 / 2 = 2`
`n = (y (ab)/y) / 2 = (5 (1)) / 2 = 6 / 2 = 3`
检查 `m` 和 `n` 的非负性：`m = 2` 和 `n = 3` 都是非负整数。
计算 `x`：
`x = m^2 a = 2^2 2 = 4 2 = 2`
`x = n^2 b = 3^2 7 = 9 7 = 2`
检查 `x` 的正整数性：`x = 2` 是正整数。

所以，我们找到一对正整数解 `(x,y) = (2, 5)`。
代回原方程验证：
`y = sqrt(x+2) + sqrt(x+7) = sqrt(2+2) + sqrt(2+7) = sqrt(4) + sqrt(9) = 2 + 3 = 5`。
成立。

因此，在这个例子中，满足条件的`(x,y)` 正整数对数量是 1。

需要注意的细节：

`a` 和 `b` 的相对大小： 如果 `a > b`，那么 `ab` 是正的。如果 `b > a`，那么 `ab` 是负的。在代数运算中保持一致即可。约数的概念通常是指正约数，但在这里，`y` 作为平方根之和，必须是正整数。`ab` 可以是负数。所以 `y` 必须是 `ab` 的一个因子，且 `y > 0`。
`m` 和 `n` 的非负性： `sqrt(x+a)` 和 `sqrt(x+b)` 的值必须是非负的，所以 `m` 和 `n` 必须是非负整数。如果计算出的 `m` 或 `n` 是负数，则该 `y` 值无效。
`x` 的正整数性： 最终 `x` 必须是正整数。
题目要求的是数量： 一旦找到所有满足条件的 `(x,y)` 对，就统计数量。
当 `a=b` 时： 如果 `a=b`，那么 `ab=0`。
方程变为 `y = 2 sqrt(x+a)`。
`y^2 = 4 (x+a)`。
`y` 必须是偶数，设 `y = 2k`。
`(2k)^2 = 4 (x+a)`
`4k^2 = 4 (x+a)`
`k^2 = x+a`
`x = k^2 a`
由于 `x` 是正整数，`k^2 a > 0` => `k^2 > a`。
并且 `y = 2k` 必须是正整数，所以 `k` 是正整数。
所以，只要存在正整数 `k` 使得 `k^2 > a`，我们就可以得到一个正整数 `x` 和对应的正整数 `y = 2k`。
此时，`k` 的取值范围是满足 `k > sqrt(a)` 的所有正整数。这种情况下，通常会有无限多对解，除非题目对 `x` 或 `y` 有额外的限制。如果题目问数量，很可能 `a != b`。

总结：

解决这类问题的核心是将平方根问题转化为整数问题，并利用约数和奇偶性等数论性质来约束变量的取值。通过引入辅助变量 `m` 和 `n`，我们可以建立起 `y` 和 `ab` 之间的关系，从而有效地寻找可能的 `y` 值，进而求解 `x`。

在实际解题过程中，你需要仔细处理符号，验证每一步的整数和非负性条件。

正文

综合分析法：

要想 是正整数，那么只能 与 同时为完全平方数， 选取的种类完全决定了正整数对 的数量，反过来也是如此。

设 ， ，

也就是说， 的种类数目等于 拆为两约数之积的分解数目。记为

我们规定 ，也就是说出现交换的情况只算一次。

而一个正整数的分解是有限的，于是通过列出不同的约数组合，得到线性方程组：

解得

这就需要 与 奇偶性相同，于是对于 一奇一偶的因数拆分，我们可以直接排除这种情况。

而对于一般情况，设 的质因数分解式为

，

• 时，也就是说 为奇数，将其随意折分为两个因数之积皆满足题意 ，那么符合题意的分解数为 ，这是因为反比例函数 关于直线 对称， 与 只算一次；
• 时，无解；
• 为奇数时，我们分两步完成，第一步先对 进行分配，分配数为 （道理同上分析）；第二步，再对奇因子进行分配，分配数为 ，由分步计数原理，符合题意的折分数为 ，我们发现这个公式是包含第二种情况的；
• 为偶数时，考虑到 与 的对称性， 与 互换导致重复计数一次，所以这种情况需要单独拿出来考虑。所以符合题意的分解数为

综上，

其中，

例 1

解：由上面的定义 ， ，其中 ，算得共有整数解：

事实上，当

也即是当

例 2

解： ， ，其中 ，算得共有整数解：

之所以举这个例子，是想体现 为 （偶数情况）时，上面公式的前一项为

事实上 可取值

取值范围

对于 的取值范围，我给出一个很粗略的界，方便程序跑循环

我将 和 全都放大为 ；至于下界，

综上，

       #约数列表 dlist<-function(n) {     ans=c()     for(j in 1:n)     {         if((n%%j)==0){ans=c(ans,j)}     }     ans }  #求因子p的指数 index<-function(n,p) {     r=n;m=log(n,p)     if(m%%1==0)return(m)     for(j in 0:m)     {         if(r%%p!=0)return(j)         r=r/p     }     return(j) }  #非负取整函数 pf<-function(x) {     if(x>0){y=floor(x)}else{y=0}     y }  #方程y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b)整数解个数（理论计算） Key<-function(a,b) {     K=abs(a-b)      alpha=index(K,2)      L=K/2^alpha     dL=length(dlist(L))      if(alpha%%2==0)     {         ans=pf(alpha/2-1)*dL+floor(dL/2)     }else{         ans=floor(alpha/2)*floor(dL)          }     ans }  fx<-function(a,b,x) {     y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b)     y }  #方程y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b)整数解个数（数值验证） key<-function(a,b) {     K=abs(a-b);m=min(a,b)     for(j in -m:(K^2-m))     {         if(fx(a,b,j)%%1==0)print(j)     } }     

利用程序可以进行数值验证。

附赠

如何快速求一个正整数 的约数（已知质因数分解）：

这是初等数论里的一个结论，证明利用的是计数原理中的乘法分步原理。