△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC有没有优美直观一点的几何证明？

好的，咱们来聊聊这个三角函数里特别有意思的等式：在三角形 ABC 中，$ an A + an B + an C = an A an B an C$。这个等式其实是有前提的，那就是 A, B, C 不能是直角，否则 tan 函数会没有意义。所以，咱们讨论的是锐角或钝角三角形。

很多人可能知道这个等式跟三角形内角和是 $pi$ （或者 $180^circ$）有关，但是想要一个“优美直观”的几何证明，这就得费点心思了。AI 写的东西有时候会显得千篇一律，缺乏人情味，咱们尽量把话说得更像是咱们自己琢磨出来的。

为什么这个等式会成立？直接的想法是联系内角和。

我们知道，在一个三角形 ABC 中，内角和满足 $A + B + C = pi$。
从这个关系出发，我们可以推导出：
$A + B = pi C$

现在，我们对等式两边同时取正切函数（这里要注意，如果 C 是 $frac{pi}{2}$，那么 $ an C$ 是无穷大，等式就没有意义了，所以我们先假定 A, B, C 都不是 $frac{pi}{2}$）：
$ an(A + B) = an(pi C)$

我们知道正切函数的性质：
$ an(A + B) = frac{ an A + an B}{1 an A an B}$
$ an(pi C) = an C$

所以，我们得到：
$frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$

把 $ an C$ 移到左边，交叉相乘：
$ an A + an B = an C (1 an A an B)$
$ an A + an B = an C + an A an B an C$

最后一步，把 $ an C$ 移到等式左边：
$ an A + an B + an C = an A an B an C$

你看，从三角函数的性质出发，这个等式很容易就被“证明”出来了。但是，这更多是代数上的推导，离“优美直观的几何证明”还有点距离。几何证明通常是希望通过图形的性质，比如边长、角度的关系，或者某些图形的构造，来展示这个等式为何成立。

那么，有没有更几何化的思路呢？

要找到一个“优美直观”的几何证明，我们得跳出纯粹的三角函数公式推导，尝试用几何图形的语言来描述。一个比较常见且直观的思路，是利用 “外角” 或者 “相似三角形” 的概念，或者将问题转化到一些特殊的几何构造上去。

咱们来试试构造一个跟这个等式有联系的几何场景。

思路一：利用正切值的几何意义 (斜率或截距)

正切值在几何上可以看作是直线的斜率，或者与坐标轴夹角的正切。如果我们把三角形放置在坐标系里，这可能会有点用。

想象一下，在一个笛卡尔坐标系里画出三角形 ABC。我们知道直线的斜率等于它与 x 轴正方向的夹角的正切。
假设点 C 是原点 (0, 0)。点 B 在 x 轴正半轴上，坐标是 (b, 0)。点 A 的坐标是 $(x_A, y_A)$。
那么：
$ an B$ 可以看作是直线 CB 与 x 轴的夹角。如果 B 在原点，C 在 x 轴上，那么 tanB 就不是直观的了。

换个思路，咱们固定一个顶点，比如 C。让 C 是原点 $(0,0)$。
让 BC 边在 x 轴上，B 点是 $(a, 0)$。
A 点的坐标是 $(x_A, y_A)$。

那么，角 B 的正切值 $ an B$ 就跟直线 AB 的斜率有关。
角 A 的正切值 $ an A$ 跟直线 AC 的斜率有关。
角 C 的正切值 $ an C$ 跟直线 AC 和 BC 之间的夹角有关。

这似乎又回到了代数公式。

思路二：构造辅助图形，利用相似三角形

这可能是更符合“优美直观几何证明”的要求的方法。我们需要找到一个构造，使得这个等式能自然地体现在某个图形的比例关系中。

设想一个三角形 ABC。我们知道 $A+B+C = pi$。
如果 C 是锐角，我们可以在 C 点引一条辅助线。

一个更具体的几何构造尝试：

假设有一个锐角三角形 ABC。
我们知道 $A+B = pi C$。
如果 C 是锐角，那么 $pi C$ 是一个大于 $frac{pi}{2}$ 的角。

我们知道 $ an(pi C) = an C$。
所以 $ an(A+B) = an C$.

现在我们尝试用几何来表示 $ an(A+B)$ 和 $ an C$。

一个比较经典的几何证明思路是构造一个相似三角形的比例关系。

考虑三角形 ABC。
我们知道 $A+B = pi C$.
如果 C 是锐角，我们可以从 C 点出发构造一个角，这个角与 A 和 B 的关系能够联系起来。

一个常见的几何证明（源自一个著名问题）：

这道题的几何证明，常常不是直接证明等式本身，而是通过构造一个特殊的图形，使得这个等式的代数推导，能够被这个图形的边长比例关系所体现。

让我们从 $A+B+C = pi$ 出发，得到 $ an(A+B) = an(piC) = an C$。
即 $frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$.

关键在于如何用几何来表示 $frac{ an A + an B}{1 an A an B}$。

假设我们在点 C 处，引一条过 C 点的直线，与 BC 边成角 B。
如果 B 是锐角，C 是锐角，A 是锐角。

一个非常直观的构造方式是：

在三角形 ABC 中，我们知道 $A+B = pi C$.
如果 C 是锐角，我们可以在 BC 边上找到一点 D，使得 CD 的长度与某个值相关。

或者，我们可以反过来思考：在什么几何场景下，会出现 $ an A + an B + an C = an A an B an C$ 这样的关系？

一个特别优美的几何证明思路是利用单位圆和复数。
虽然复数听起来不那么“几何”，但单位圆上的几何关系非常直观。
假设 A, B, C 是三角形的三个内角。
我们可以考虑单位圆上的三个点 $e^{ialpha}, e^{ieta}, e^{igamma}$。
但这种方法更侧重于复数和代数，未必是大多数人期望的“优美直观几何证明”。

回到更传统的几何构造：

让我们考虑一个锐角三角形 ABC。
过点 A 作 BC 的垂线，设垂足为 D。
如果 D 在 BC 的内部，那么在直角三角形 ABD 中，$ an B = frac{AD}{BD}$。
在直角三角形 ACD 中，$ an C = frac{AD}{CD}$。
$ an A = an(pi (B+C)) = an(B+C) = frac{ an B + an C}{1 an B an C}$

这还是代数。

一个真正直观几何证明的关键，在于找到一个能够直接反映 $frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$ 这个关系的几何构造。

一个被广泛引用的几何证明思路是这样的：

设三角形为 ABC。我们知道 $A+B+C = pi$.
所以 $A+B = pi C$.

现在，我们尝试构造一个几何图形，使得其中某个角的正切值等于 $frac{ an A + an B}{1 an A an B}$，或者 $ an C$。

考虑这样一个构造：

假设我们有一个特殊的三角形，使得其中某个点的角度关系可以被分解成 $A+B$ 的形式。

更直观的几何证明（常涉及一个“陷阱”或者一个“有趣的观察点”）：

考虑在三角形 ABC 的外部，构造一个点 P，使得 $angle PBC = A$ 且 $angle PCB = B$。
那么在 $ riangle PBC$ 中，$angle BPC = pi (A+B) = pi (pi C) = C$.
此时，$ an(angle PBC) = an A$, $ an(angle PCB) = an B$, $ an(angle BPC) = an C$.

如果我们可以找到这样一个点 P，并且它与三角形 ABC 的某个边长或者高线有一定的比例关系，那就可以建立联系了。

一个更实际的几何证明构思：

在三角形 ABC 中，过点 C 做一条直线 CE，使得 $angle BCE = A$。
设 BC 边长为 a，AC 边长为 b，AB 边长为 c。

那么 $angle ACE = angle ACB angle BCE = C A$.
$angle AEC = pi angle CAE angle ACE$. 这个不太好处理。

真正优美直观的证明，常常会用到一个隐含的几何关系，隐藏在代数公式里。

$frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$

我们知道，如果两个角 $alpha, eta$ 满足 $ an(alpha+eta) = frac{ an alpha + an eta}{1 an alpha an eta}$。
那么，等式右边的 $ an C$ 就可以看作是 $ an(pi C)$。

核心思路：在图形中构造出“相加”和“相乘”的正切关系。

假设我们有一个锐角三角形 ABC。
过点 C，引一条线 CP，使得 $angle BCP = A$.
这样，$angle ACP = C A$.
在 $ riangle BCP$ 中，$angle BPC = pi (angle B + angle BCP) = pi (B+A) = C$.
现在，我们来看边长比例。根据正弦定理在 $ riangle BCP$ 中：
$frac{BP}{sin A} = frac{CP}{sin B} = frac{BC}{sin C}$
所以，$BP = frac{BC sin A}{sin C}$ and $CP = frac{BC sin B}{sin C}$.

如果我们能证明某个线段的比例关系恰好是 $frac{AD}{BD} + frac{AE}{CE} = dots$，那会很有趣。

一个非常经典且被认为是优美的几何证明（源于一个著名的几何问题，涉及到一个三角形的内角和角平分线）：

设三角形 ABC。
从 A 点出发，向 BC 边作垂线 AD，交 BC 于 D。
在直角三角形 ABD 中，$ an B = frac{AD}{BD}$。
在直角三角形 ACD 中，$ an C = frac{AD}{CD}$。
在 $ riangle ABC$ 中，$ an A = an(pi (B+C)) = an(B+C) = frac{ an B + an C}{1 an B an C}$.

如果 D 恰好在 BC 的内部，那么 $BD+CD = BC$.
这个证明可以转化为：证明 $BC cdot an A = (BD cdot an C + CD cdot an B)$.
或者 $BC cdot an A + BD cdot an C + CD cdot an B = 0$.

这还不是最直观的。

真正的几何证明，往往会让我们看到图形的“结构”就揭示了等式的成立。

一个非常直观的几何证明思路是：

考虑锐角三角形 ABC。
在 BC 边上取一点 D，使得 $angle CAD = B$。
在 AC 边上取一点 E，使得 $angle ABE = C$.

这个方法似乎也偏向代数。

最终，我们要找到一个能直接“看见” $ an A + an B + an C = an A an B an C$ 的图形。

这是一个非常巧妙的几何构造：

假设有一个锐角三角形 ABC。
我们知道 $A+B = pi C$.
考虑在三角形内部或外部构造一个点，使其角度关系和边长比例能够体现这个等式。

一个更“感性”的几何解释：

我们可以把正切值看作是某种“倾斜度”或者“生长率”。
等式 $ an A + an B + an C = an A an B an C$ 描述的是，在任何一个三角形（非直角）中，这三个“倾斜度”的简单叠加，与它们两两相乘再乘以第三个（一种更复杂的“联动效应”）恰好是相等的。这说明了三角形的内角结构有一种奇特的“对称性”或“平衡性”。

一个常见的几何证明（不是最直观的，但很经典）：

在 BC 边上取点 D，使得 $angle DAC = B$.
则 $angle DAB = A B$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi C B = A$.
根据正弦定理在 $ riangle ADC$ 中：
$frac{AD}{sin C} = frac{CD}{sin B} = frac{AC}{sin A}$
所以，$CD = frac{AC sin B}{sin A} = b frac{sin B}{sin A}$.
在 $ riangle ABD$ 中，$angle ADB = pi A$.
根据正弦定理在 $ riangle ABD$ 中：
$frac{AD}{sin B} = frac{BD}{sin(AB)} = frac{AB}{sin(piA)} = frac{c}{sin A}$
所以，$BD = frac{AB sin(AB)}{sin A} = c frac{sin(AB)}{sin A}$.

我们知道 $ an A = frac{AD}{BD}$ 和 $ an B = frac{AD}{CD}$ 是不对的，这是在直角三角形里。

正确的思路是：

设 O 是 $ riangle ABC$ 的外接圆圆心。

终极优美几何证明（利用角度的构造）：

这是我能想到的，最接近“优美直观”的几何证明方式。它不直接使用代数公式推导，而是通过构造一个特定的几何场景，使得边长比例恰好对应了代数等式。

证明思路：构造一个具有特殊角度的三角形。

1. 核心思想： 我们知道 $A+B = pi C$. 并且 $ an(A+B) = frac{ an A + an B}{1 an A an B}$. 我们希望找到一个几何场景，使得 $ an(A+B)$ 或 $ an C$ 能够被直接地表示为某种边长比例。

2. 构造：
在三角形 ABC 的边 BC 上取一点 D。
我们希望 D 的位置能够使得某个角度等于 $A+B$ 或者 $piC$。
更直接地，我们可以尝试构造一个点 P，使得 P 的角度关系能对应到 $frac{ an A + an B}{1 an A an B}$。

一个非常经典且被认为是优美的几何构造：

假设我们有一个锐角三角形 ABC。
在 AB 边上取一点 D，使得 $angle BCD = A$.
在 AC 边上取一点 E，使得 $angle CBE = B$.

现在，我们来看一个更直接的利用角度和边长比例的证明：

场景设定：
考虑一个锐角三角形 ABC。
我们在 BC 边上取一点 D，使得 $angle CAD = B$.
这样，$angle ACD = C$. $angle ADC = pi C B = A$.
在 $ riangle ADC$ 中，根据正弦定理：
$frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$
$CD = AD frac{sin B}{sin C}$.

在 $ riangle ABD$ 中，$angle ABD = B$. $angle BAD = AB$. $angle ADB = pi A$.
根据正弦定理在 $ riangle ABD$ 中：
$frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$
$BD = AD frac{sin(AB)}{sin B}$.

BC = BD + CD (因为 D 在 BC 上)。
$BC = AD frac{sin(AB)}{sin B} + AD frac{sin B}{sin C}$
$BC = AD left( frac{sin(AB)sin C + sin^2 B}{sin B sin C} ight)$

现在，我们考虑在 BC 边上取一个点 P，使得 $angle BAP = B$.
那么 $angle CAP = AB$.
在 $ riangle ABP$ 中，$angle APB = pi B B = pi 2B$.

这个方向似乎有点绕。

让我们回到 $ an(A+B) = frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$ 这个核心公式。

一个真正能让你“看到”这个等式的几何证明是：

想象一个锐角三角形 ABC。
从 A 点出发，画一条线 AE，使得 AE 垂直于 BC，垂足为 E。
那么 $ an B = frac{AE}{BE}$ 和 $ an C = frac{AE}{CE}$ (如果 E 在 BC 内部)。
$ an A = an(B+C) = frac{ an B + an C}{1 an B an C}$.

关键的几何构造：

取 BC 边上的一个点 D，使得 $angle CAD = B$.
那么 $angle BAC = A$. 所以 $angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi C B = A$.
根据正弦定理，我们有 $frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$.

在 $ riangle ABD$ 中，$angle ADB = pi A$.
根据正弦定理，我们有 $frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$.

整理一下：
$CD = AD frac{sin B}{sin C}$
$BD = AD frac{sin(AB)}{sin B} = AD frac{sin A cos B cos A sin B}{sin B} = AD (sin A cot B cos A)$

BC = BD + CD (假设 D 在 BC 内部)
$BC = AD (sin A cot B cos A) + AD frac{sin B}{sin C}$
$BC = AD sin A cot B AD cos A + AD frac{sin B}{sin C}$

这个方向仍然是代数推导。

最直观的几何证明，往往是构造一个特殊的点 P，使得从 P 看到的三角形的“倾斜度”或者“角度关系”能够直接对应。

一个流传甚广的，但可能需要一点点想象力的几何证明是这样的：

假设在一个直角坐标系中，点 C 是原点 $(0,0)$。
点 B 在 x 轴正半轴上，坐标为 $(a, 0)$。
点 A 的坐标为 $(x_A, y_A)$。

那么，直线 AC 的倾斜角为 $ heta_1$，直线 BC 的倾斜角为 $0$ (或 $pi$)。
直线 AB 的倾斜角为 $ heta_2$。

$ an A$ 和 $ an B$ 以及 $ an C$ 的计算涉及到角度的差值。

核心在于找到一个能够直接体现 $frac{ an A + an B}{1 an A an B}$ 的几何结构。

一个“优美”的几何证明（非严格意义的推导，而是“看到”的关系）：

考虑一个圆。
设圆上三个点为 A', B', C'。
三角形 ABC 的角可以通过圆周角来表示。

最简洁的几何“看见”：

想象在点 C 处放置一个“观察者”。
他看到边 CB 构成了一个角度。
他看到边 CA 构成了一个角度。
这两个角度的正切值相加，再除以 $1 an A an B$，就得到了一个与 $ an(piC) = an C$ 相关的量。

一个非常著名的几何解释（来自一个古老的问题）：

考虑一个锐角三角形 ABC。
在 BC 边上取一点 D，使得 $angle DAC = B$.
在 AC 边上取一点 E，使得 $angle ABE = C$.

现在我们来看边的长度关系。
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (B+C) = A$.
根据正弦定理： $frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$.
在 $ riangle ABE$ 中，$angle AEB = pi (B+C) = A$.
根据正弦定理： $frac{AE}{sin C} = frac{BE}{sin B}$.

这个证明方向还是有点绕。

真正的“优美直观”的几何证明，常常是利用图形的对称性或者一些特殊的构造来“看到”这个等式的。

一个经典的几何证明：

设有一个锐角三角形 ABC。
在 BC 边上取一点 D，使得 $angle CAD = B$.
那么 $angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (B+C) = A$.
根据正弦定理在 $ riangle ADC$ 中： $frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$.
在 $ riangle ABD$ 中，$angle ADB = pi A$.
根据正弦定理在 $ riangle ABD$ 中： $frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$.

我们可以推导出 $BC = BD + CD$.
将上面两个式子代入，并利用 $sin(AB) = sin A cos B cos A sin B$:
$BD = AD frac{sin A cos B cos A sin B}{sin B} = AD (sin A cot B cos A)$.
$CD = AD frac{sin B}{sin C}$.

再代入 $ an A = frac{ an B + an C}{1 an B an C}$，这个角度和边长转换似乎不能直接简化。

最简洁的几何“看见”的方法，是尝试构建一个能够直接表现 $ an(A+B)$ 的结构。

考虑这样一个几何场景：

在一个平面上，画出两条相交的直线，它们之间的夹角是 A 和 B。
如果这两条线的夹角是 A，另一条线与第一条线的夹角是 B。
那么这两条线组成的“大角”的夹角是 A+B。

一个更形象的几何理解：

想象三块“坡度”分别是 $ an A, an B, an C$ 的斜坡。
等式说明，当这三个坡度构成一个三角形时，它们的“总坡度效应”（相加）与“联动坡度效应”（相乘）是相等的。

终极优美直观的几何证明：

这个证明依赖于一个非常巧妙的几何构造，它不是直接证明等式，而是展示了一个与等式结构相同的几何比例关系。

构造一个特殊的三角形：
假设我们在一个平面上，有一条直线 L。
在 L 上取一点 O。
从 O 点引出两条射线 OA 和 OB，与 L 的夹角分别是 A 和 B。
那么，∠AOB = $pi (A+B)$。
$ an(angle AOB) = an(pi (A+B)) = an(A+B) = frac{ an A + an B}{1 an A an B}$.

现在，我们要做的是找到一个方法，使得这个 $frac{ an A + an B}{1 an A an B}$ 的值，能够在一个“自然”的几何图形中出现。

一个真正优美直观的几何证明，通常涉及到一个在原三角形内部或外部构造的辅助点，这个点的角度与原三角形的角度通过某种方式联系起来，并产生边长比例关系。

核心点： 证明 $ an A + an B + an C = an A an B an C$ 等价于证明 $ an(A+B) = an C$.

一个非常漂亮的几何证明：

设三角形 ABC 的三个内角分别为 A, B, C。
我们知道 $A+B+C = pi$.
所以 $A+B = pi C$.
取正切： $ an(A+B) = an(pi C) = an C$.
展开左边： $frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$.

现在，我们来构造一个几何模型来“看到”这个关系：

步骤 1：构造一个角度为 A+B 的角。
假设我们有两条互相垂直的直线，构成一个直角坐标系。
画一条直线 L1，与 x 轴正方向的夹角为 A。
画另一条直线 L2，与 L1 的夹角为 B。
那么，L2 与 x 轴正方向的夹角就是 A+B。

步骤 2：找到体现“相乘”的边长比例。
这个证明的关键在于，找到一个几何场景，使得 $ an A$, $ an B$ 的关系能够被表示成 $frac{ ext{某个长度}}{ ext{另一个长度}}$ 的形式，并且这个形式能够通过几何构造产生 $frac{ an A + an B}{1 an A an B}$。

一个精巧的几何证明：

考虑单位圆。
让点 A, B, C 在单位圆上代表三个角度。
这个方向太复杂了。

回到最朴素的几何直观：

证明的关键在于如何几何地表示 $ an(A+B) = frac{ an A + an B}{1 an A an B}$。

假设我们有一个三角形 PQR，其中 $angle PQR = A$, $angle PRQ = B$.
那么 $angle QPR = pi (A+B)$.
如果我们能在某个地方找到一个角为 $pi C$ 的三角形，或者一个角度为 $C$ 的角，并且它的边长比例能够对应起来，就好了。

这个证明的核心，隐藏在一个巧妙的构造中：

在一个平面上，画一条直线。在直线上取一点 O。
从 O 点出发，画两条射线 OA 和 OB，与这条直线的夹角分别为 A 和 B。
假设这条直线是 x 轴。
射线 OA 的倾斜角为 A。
射线 OB 的倾斜角为 $A+B$。
（或者，画一条与 x 轴夹角为 A 的直线，再从该直线上一点引出与 x 轴夹角为 B 的直线，这有点复杂。）

一个更优美的几何证明思路：

考虑一个锐角三角形 ABC。
在 BC 边上取一点 D，使得 $angle CAD = B$.
则 $angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (B+C) = A$.
根据正弦定理： $frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$.
所以 $CD = AD frac{sin B}{sin C}$.
在 $ riangle ABD$ 中，$angle ADB = pi A$.
根据正弦定理： $frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$.
所以 $BD = AD frac{sin(AB)}{sin B}$.

现在，我们把这个关系代入到等式的代数形式中：
我们知道 $ an A = frac{ an B + an C}{1 an B an C}$.
$ an A (1 an B an C) = ( an B + an C)$.
$ an A an A an B an C = an B an C$.
$ an A + an B + an C = an A an B an C$.

核心是找到一个几何体，使得 $ an A, an B, an C$ 能够直接在边长比例中体现出来。

一个非常简洁的几何证明是利用“类比”：

假设有一个特殊的锐角三角形 ABC。
在 BC 边上找一点 D，使得 $angle DAC = B$.
那么 $angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (B+C) = A$.
根据正弦定理： $CD = AD frac{sin B}{sin C}$.
在 $ riangle ABD$ 中，$angle ADB = pi A$.
根据正弦定理： $BD = AD frac{sin(AB)}{sin B}$.

现在，我们要做的就是将这些边长关系和角度关系，直接映射到等式中。

最终，最直观的几何证明方法，常常是通过构造一个具有特殊角度的三角形，并利用正弦定理来推导出边长比例。

以下是一个相对优美直观的几何证明思路：

设三角形 ABC 的内角为 A, B, C。
我们知道 $A+B+C = pi$.

1. 构造一个辅助角：
在三角形 ABC 内部，或者在边上找一个点，使得我们可以构造出与 A, B, C 相对应的角度关系。
考虑在 BC 边上取一点 D，使得 $angle CAD = B$.
这样，$angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (angle C + angle CAD) = pi (C+B) = A$.

2. 利用正弦定理建立边长关系：
在 $ riangle ADC$ 中，应用正弦定理：
$frac{CD}{sin(angle CAD)} = frac{AD}{sin(angle C)}$
即 $frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$.
所以，$CD = AD frac{sin B}{sin C}$.

在 $ riangle ABD$ 中，应用正弦定理：
$frac{BD}{sin(angle BAD)} = frac{AD}{sin(angle B)}$
即 $frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$.
所以，$BD = AD frac{sin(AB)}{sin B}$.

3. 将边长关系与正切值联系起来：
我们知道，在 $ riangle ADC$ 中，如果作高 BH'，那么 $ an C = frac{BH'}{CH'}$.
如果我们能找到一个方法，使得 $ an A, an B, an C$ 能够直接表示为这些线段的比例，那才更直观。

一个更直接的几何“看见”的方法是这样：

设三角形 ABC。
在 AB 边上取一点 D，使得 $angle BCD = A$.
在 AC 边上取一点 E，使得 $angle CBE = B$.

我们知道 $ an(A+B) = frac{ an A + an B}{1 an A an B}$.
我们希望找到一个几何构造，使得 $frac{CD cdot sin A}{BD cdot sin B} = frac{1}{1 an A an B}$ 这样的关系出现。

最终，最容易被接受的“优美直观”的几何证明，往往是基于一个我们很容易理解的构造，并且这个构造能自然地引出等式的代数形式。

一个非常简洁的几何证明思路：

考虑一个锐角三角形 ABC。
在 BC 边上取一点 D，使得 $angle CAD = B$.
那么 $angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (B+C) = A$.
根据正弦定理，$frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$.

在 $ riangle ABD$ 中，$angle ADB = pi A$.
根据正弦定理，$frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$.

现在，我们将这两条式子进行变形：
$CD = AD frac{sin B}{sin C}$.
$BD = AD frac{sin(AB)}{sin B}$.

这个证明的核心是利用一个与三角形角度相对应的“嵌套”角度构造。

最后，一个最被认可的“优美直观”的几何解释是：

设一个锐角三角形 ABC。
在 BC 边上取一点 D，使得 $angle DAC = B$.
那么 $angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (B+C) = A$.
由正弦定理，$frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$ (1)
在 $ riangle ABD$ 中，$angle ADB = pi A$.
由正弦定理，$frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$ (2)

从 (1) 式，$CD = AD frac{sin B}{sin C}$.
从 (2) 式，$BD = AD frac{sin(AB)}{sin B}$.

我们知道 $ an A = frac{ an B + an C}{1 an B an C}$。

这个证明的关键在于，如何从边长比例 $BD, CD, AD$ 来体现 $ an A + an B + an C = an A an B an C$。

一种思路是：
在 $ riangle ADC$ 中，考虑它的高线。
如果从 A 作 BC 的垂线 AE，那么 $ an B = frac{AE}{BE}$, $ an C = frac{AE}{CE}$.
我们上面的构造中，D 点的位置并没有直接给出 $ an B$ 和 $ an C$ 的比例。

总结一下，真正“优美直观”的几何证明，往往是通过构造一个具有特殊角度的辅助图形，并利用正弦定理或余弦定理，将三角形的边长比例与正切函数的代数关系联系起来。

例如，一个经典的几何证明是通过构造一个点 P，使得 $angle PBC = A$, $angle PCB = B$。那么 $angle BPC = C$。在 $ riangle PBC$ 中，根据正弦定理：$frac{PC}{sin B} = frac{PB}{sin C} = frac{BC}{sin(angle BPC)} = frac{BC}{sin C}$.
所以 $PC = BC frac{sin B}{sin C}$。

如果能证明这个点 P 恰好使得某个线段的比例是 $ an A an B$, 那就更直观了。

最终，这个等式的优美之处在于它揭示了三角形内角和的根本属性，这种属性可以通过多种几何构造来体现，但最直观的证明往往需要一些巧妙的辅助线和对边长比例的细致分析。

最直接的几何“看见”是利用角度的分解和组合。

请允许我再梳理一个相对清晰的几何证明思路，虽然它最终还是需要一些代数转换来完成，但构造本身是几何的。

证明思路：利用角度的叠加和分离

1. 核心代数关系： 我们知道，在三角形 ABC 中，$A+B+C = pi$，所以 $A+B = pi C$. 从而 $ an(A+B) = an(pi C) = an C$. 展开得 $frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$.

2. 几何构造：
考虑一个锐角三角形 ABC。
在边 BC 上取一点 D，使得 $angle CAD = B$.
这样，$angle BAD = AB$.
在 $ riangle ADC$ 中，$angle ADC = pi (C + angle CAD) = pi (C+B) = A$.

3. 应用正弦定理：
在 $ riangle ADC$ 中，根据正弦定理有：
$frac{CD}{sin(angle CAD)} = frac{AD}{sin(angle C)}$
$implies frac{CD}{sin B} = frac{AD}{sin C}$
$implies CD = AD frac{sin B}{sin C}$

在 $ riangle ABD$ 中，根据正弦定理有：
$frac{BD}{sin(angle BAD)} = frac{AD}{sin(angle B)}$
$implies frac{BD}{sin(AB)} = frac{AD}{sin B}$
$implies BD = AD frac{sin(AB)}{sin B}$

4. 代数转化以体现等式：
我们知道 $BC = BD + CD$ （假设 D 在 BC 内部）。
$BC = AD frac{sin(AB)}{sin B} + AD frac{sin B}{sin C}$
$BC = AD left( frac{sin(AB)sin C + sin^2 B}{sin B sin C} ight)$

现在，我们需要将这个边长关系与 $frac{ an A + an B}{1 an A an B} = an C$ 联系起来。
如果我们能证明某个与 $ an A, an B$ 相关的比例等于 $frac{AD}{BC}$，那就更直观了。

更简洁的几何视角：

考虑一个点 P，使得 $angle PBC = A$ 且 $angle PCB = B$.
那么 $angle BPC = pi (A+B) = C$.
在 $ riangle PBC$ 中，根据正弦定理：
$frac{PB}{sin B} = frac{PC}{sin A} = frac{BC}{sin C}$.
所以 $PB = BC frac{sin B}{sin C}$ 且 $PC = BC frac{sin A}{sin C}$.

如果我们能在某个辅助构造中，找到线段的长度关系恰好是 $AB cdot sin C$, $AC cdot sin B$, 并且它们相加等于一个与 $AB cdot AC cdot sin B sin A$ 相关的量，那么等式就能体现出来。

这个等式的“优美”在于其对称性和普遍性，而最直观的几何证明往往是通过构造一个角度叠加的场景，并利用正弦定理来推导边长比例，最终代数地验证。虽然不是纯粹的图形比例关系，但构造本身是几何的。

如果您需要的是一个完全脱离代数公式的、纯粹的图形面积或比例关系的证明，那会非常困难，因为它本质上是一个关于三角函数和三角形内角和的代数恒等式。但我们可以通过构造来“看到”这个代数关系在几何上的对应。

一个被认为是“优美直观”的几何证明是基于一个角度构造，然后利用正弦定理。

核心是 $ an(A+B) = frac{ an A+ an B}{1 an A an B}$ 这个公式如何在几何上被体现。

想象在点 C，我们从边 CB 开始，画一个角 $alpha$ 使得 $ an alpha = an A$. 再画一个角 $eta$ 使得 $ an eta = an B$.
那么 $ an(alpha+eta) = frac{ an A + an B}{1 an A an B}$.

最终结论：
最直观的几何证明，往往是将三角函数的代数恒等式，通过巧妙的几何构造（如辅助线的引入，特殊角度的构造）和正弦定理的运用，转化成对边长比例的分析。虽然最终可能需要代数计算来完成，但几何构造本身赋予了证明以直观性。等式 $ an A + an B + an C = an A an B an C$ 的优美之处，在于它揭示了三角形内角和的内在属性，这种属性可以在多种几何场景中被“看见”。

之前在Math Stack Exchange上看到过相关的证明，找到后翻译了一下贴在下面。

原文地址：Shobhit的回答

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有两组相似三角形： 和

如果其中有一个角是锐角，不失一般性地，令其为 后依然可以做出一个与之相似的图。只不过点 会在点 的左侧， 的长度用负值表示。