Shankar 的量子力学书里说无限势阱只能在 X basis 里解，为什么？

你的问题很好，触及了量子力学中一个非常基础但也容易让人困惑的概念：为什么对于无限势阱问题，我们习惯于在 $x$ 基底下进行求解。这其中涉及到的核心是量子力学中的算符、本征态和本征值的概念，以及它们与我们描述物理系统状态的关系。

首先，我们需要明确“在 $x$ 基底下解”这句话的含义。在量子力学中，一个系统的状态可以用一个波函数 $psi(x)$ 来描述，这个波函数是位置算符 $hat{X}$ 的本征函数。当我说“在 $x$ 基底下解”时，通常意味着我们正在寻找这个系统的位置本征态，或者说我们能够用位置的语言来描述这个粒子在势阱中的存在。

无限势阱问题是什么？

我们先回顾一下无限势阱问题。一个一维无限深势阱描述了一个粒子被限制在一个长度为 $L$ 的区域内（通常是 $0 le x le L$），而在该区域之外，势能无穷大。这意味着粒子在 $0 < x < L$ 的区域内可以自由运动，但绝不可能出现在 $x le 0$ 或 $x ge L$ 的地方。

它的哈密顿量（能量算符）可以写成：
$$ hat{H} = frac{hat{P}^2}{2m} + V(x) $$
其中 $hat{P} = ihbar frac{partial}{partial x}$ 是动量算符，$hat{X} = x$ 是位置算符，$m$ 是粒子的质量，$V(x)$ 是势能函数。对于无限势阱，我们有：
$$ V(x) = egin{cases} 0 & 0 < x < L \ infty & x le 0 ext{ or } x ge L end{cases} $$

为什么要在 $x$ 基底下求解？

1. 势能的定义直接依赖于位置：
问题的核心在于势能。势能函数 $V(x)$ 是一个位置算符的函数。换句话说，势能的值取决于粒子在哪里。当我们在 $x$ 基底下描述系统时，我们就是在直接使用“位置”这个物理量来定义系统的性质。求解薛定谔方程 $hat{H}psi(x) = Epsi(x)$ 的过程，就是寻找能够在给定势能下，使粒子的总能量 $E$ 为常数的波函数 $psi(x)$。这个 $psi(x)$ 本身就是以位置 $x$ 为自变量的函数，它直接告诉我们在空间中各个点找到粒子的概率密度 $|psi(x)|^2$。

2. 动量算符在 $x$ 基底下的表示：
虽然哈密顿量包含动量，但我们习惯于在位置空间中表示一切。在位置表象（$x$ 基底）下，动量算符 $hat{P}$ 的具体形式是 $hat{P} = ihbar frac{d}{dx}$。因此，薛定谔方程在 $x$ 基底下就变成了一个关于波函数 $psi(x)$ 的微分方程：
$$ left( frac{hbar^2}{2m} frac{d^2}{dx^2} + V(x) ight) psi(x) = E psi(x) $$
这个方程描述了粒子在空间中的行为，而“空间”就是由 $x$ 定义的。

3. 边界条件的引入：
无限势阱的特殊之处在于其边界条件。由于势能无穷大，粒子不可能出现在阱的外面，这意味着波函数必须在 $x=0$ 和 $x=L$ 处为零：$psi(0) = 0$ 和 $psi(L) = 0$。这些边界条件是直接作用在位置上的。我们正是通过在 $x$ 基底下求解微分方程，并将这些位置相关的边界条件代入，才能确定出可行的波函数和能量本征值。

是不是“只能”在 $x$ 基底下解？

这里说“只能”可能有点绝对，更准确的说法是：无限势阱问题最自然、最直接的表述和求解是在位置基底（$x$ 基底）下进行的，因为势能的定义和边界条件都是基于位置的。

你也可以在动量基底下尝试求解。在动量基底下，位置算符 $hat{X}$ 的形式是 $ihbar frac{d}{dp}$，动量算符 $hat{P}$ 就变成了仅仅一个数值 $p$（这是动量算符的本征值）。哈密顿量在动量基底下的形式为 $hat{H} = frac{p^2}{2m}$。

然而，问题在于势能 $V(x)$ 在动量基底下不再是简单的形式。将 $V(x)$ 转换为动量基底下的算符会非常复杂。对于无限势阱，当粒子在 $0 < x < L$ 区域时，势能为零，这在动量基底下没有特殊性。但是，无穷大势能这个信息，它与位置的边界紧密相关，很难直接在动量空间中清晰地表示和处理。 动量空间描述的是粒子的动量分布，而位置空间描述的是粒子的位置分布。对于一个被“限制在特定区域”的系统，位置空间的描述显然更直接。

想象一下，如果你想知道粒子在位置 $x$ 处“有没有”或者“概率有多大”，你自然会去看 $psi(x)$。如果你想知道粒子具有动量 $p$ 的“概率有多大”，你才会去看 $phi(p)$（动量波函数）。无限势阱的定义本身就是关于“在哪里”的问题。

总结一下 Shankar 书中可能强调的几点：

势能是位置的函数： 这是最根本的原因。势能的定义直接将物理问题与位置坐标联系起来。
边界条件是位置相关的： 无限势阱的关键在于粒子无法穿过边界，这些边界是明确定义在空间中的。
求解薛定谔方程的自然表象： 在 $x$ 基底下的薛定谔方程是一个微分方程，其解（波函数 $psi(x)$）直接给出了粒子在空间中的概率分布。

所以，与其说“只能”在 $x$ 基底下解，不如说在 $x$ 基底下求解是最直接、最符合物理直觉、并且最容易处理边界条件的方式。在量子力学中，我们选择一个“表象”（基底），是因为这个表象下的算符表示能够最方便地帮助我们描述和求解系统的物理性质。对于无限势阱，位置表象（$x$ 基底）就是这样的首选。

希望这个解释能帮助你理解为什么在处理无限势阱时，我们总是从 $x$ 基底出发。

看到这个问题我突然又想到了那段争吵不休的历史......

当年《大学物理》上就曾经连续刊文就一维无限深势阱内粒子动量的分布问题进行讨论，争论的焦点就在于如何得到动量表象下的波函数：

我从此才明白原来一维无限深势阱里还藏着这么大的一个坑啊。