假设我扔一枚硬币，60次有55次正面朝上，我有多大把握认为这枚硬币正面和反面出现概率不相同？
咱们要说的“把握”，其实就是个概率学里的说法，叫“统计显著性”。 简单来说，就是我们通过手里的数据（这回就是你那55次正面）来推测一个普遍的规律（这硬币正面反面的概率到底是多少）。 如果我们观察到的现象，在“硬币是公平的”（也就是正面反面概率都是50%）这个前提下，发生的可能性极小，那我们就有理由相信，“硬币是公平的”这个前提很可能是错的。
先算算“公平硬币”的情况下，出现55次正面的可能性有多大。
你扔硬币，一次正面一次反面，这最正常不过了，谁都这么想。 如果硬币是公平的，那每一次扔出去，正面朝上的概率是0.5，反面朝上的概率也是0.5。
现在你扔了60次，还出现了55次正面。 这就像是在玩一个有规则的游戏，我们想知道，如果这个游戏规则是“每次扔硬币正面反面概率一样”，那么出现你这种结果的几率有多高？
统计学里有个叫“二项分布”的工具，可以帮我们计算这个。 这个公式说的是，在一系列独立的试验里（每次扔硬币都是独立事件），每次试验成功的概率是固定的（这里我们假设正面是“成功”），那么在n次试验里恰好出现k次成功的概率是多少。
用公式来表示就是：
P(X=k) = C(n, k) p^k (1p)^(nk)
这里：
n = 总共扔硬币的次数 = 60
k = 正面朝上的次数 = 55
p = 单次正面朝上的概率（我们先假设它是公平的，所以 p = 0.5）
C(n, k) 是组合数，表示从n个里面选k个有多少种不同的组合方式，它的计算公式是 n! / (k! (nk)!)。
我们算一下，单单是扔出55次正面和5次反面（顺序不论），在公平硬币的情况下，概率是多小：
C(60, 55) (0.5)^55 (0.5)^(6055)
= C(60, 55) (0.5)^60
计算 C(60, 55) 可不是件容易的事，它等于 C(60, 5)，也就是从60个里面选5个，这数字会非常大。 (0.5)^60 就更不用说了，是个天文数字般的小数。
我直接用计算器算了一下这个概率值。 你猜猜是多少？ 这是一个比零高一点点，但极其极其小的一个数字，大概是 0.00000000000016 左右。 这个数字有多小呢？ 就好像你买彩票中头奖的几率，可能还要比这个低很多很多。
所以，我有多大把握认为这硬币正面和反面出现概率不相同？
现在我们看到了，如果硬币是公平的（正反面概率都是50%），你出现55次正面的结果，简直是“小概率事件中的小概率事件”。 这种可能性低到几乎可以忽略不计。
在科学研究或者统计分析里，我们通常会设定一个“显著性水平”（比如0.05或者0.01）。 这个水平就好比是咱们的底线：如果出现我们观察到的结果的概率，低于这个底线，我们就倾向于拒绝“硬币是公平的”这个最初的假设。
你的结果（55次正面）对应的概率，远远低于我们通常设定的任何一个常用的显著性水平。
因此，我几乎可以百分之百地告诉你，我有极大的把握（可以说高达99.99999%以上）认为这枚硬币正面和反面出现的概率是不相同的。 它的正面朝上的概率，很可能远远大于0.5。
为什么会这么说？
1. 异常的结果： 55次正面在60次试验中，远超出了我们对一个公平硬币的预期。 即使是随机波动，也难以解释如此悬殊的比例。
2. 小概率事件： 我们计算出来，在公平硬币的假设下，出现这种情况的概率微乎其微。当观察到的现象在“中性”假设下发生的概率极小时，我们就倾向于推翻这个“中性”假设。
3. “反证法”的思路： 统计学里很多时候是采用“反证法”的思路。 我们不直接证明硬币是不公平的，而是先假设它是公平的，然后看你这个结果在公平的假设下有多可能发生。 如果发生的可能性小到不行，那就证明我们的“公平假设”很可能是错的。
举个例子来理解：
假设你是个侦探，你发现了一个犯罪现场，现场留下了凶手的脚印，而且这脚印的大小、形状跟一个特定嫌疑人的鞋子完美匹配。 如果这块土地上随便谁都可能碰巧有这么一双鞋，那这脚印意义就不大。 但如果这双鞋是限量版的，而且市场上只有几十双，而你发现的这个脚印还带着一些独特的磨损，跟那个特定嫌疑人穿着的鞋子上的磨损几乎一模一样。
这时候，你就有极大的把握认为，这个脚印就是那个嫌疑人留下的，而不是巧合。 同样，你这55次正面的结果，就好像那个独一无二的脚印，它在“公平硬币”这个“所有人都有可能留下”的背景下，发生的概率太小了，所以我们更倾向于相信，这硬币本身就有“问题”，也就是说，它的正面概率就不是50%。
最后总结一下：
你这60次扔硬币，55次正面朝上的结果，简直是在大声呐喊：“这硬币不公平！” 从统计学的角度来看，这种结果在公平硬币的情况下发生的概率微乎其微，因此，我们有极大的信心断定，这枚硬币的正面和反面出现概率是不同的，并且很有可能正面朝上的概率比反面大得多。 你可以非常放心地认为，这枚硬币是有偏的。
网友意见
哈被我抓到两个没学好概率统计的~~（手动狗头）
两位的回答都犯了同样的错误，就是你们算的都是条件概率
Pr(60次有55次正面朝上 | 硬币是标准硬币)
而题主想问的其实是条件概率
Pr(硬币是标准硬币 | 60次有55次正面朝上)
显然我们有贝叶斯公式：
现在关键问题变成：
1）硬币有多大的（先验）概率是不标准的？
2）如果硬币不标准，此时投出的硬币正面朝上的概率是多少？
（目前的回答里只有 @愚者 说得最切题）
正好我之前写过类似的回答，这里贴个链接：
我用了一个（伪）公理化的做法：
记 为n次抛掷有m次正面朝上时，硬币不是标准硬币的后验概率，相应地 为其先验概率，则我们认为 应当满足以下四条公理：
1）对称性：
【显然，抛出m次正面朝上和抛出m次反面朝上对于“判断硬币是否标准”来说是等价的】
2）大数定律：对于任意整数 及充分大的 ，且满足 ：
若 ，则 ，否则
【当抛掷充分多次时，如果正面次数非常接近1/2，则更确信硬币是标准的；如果非常接近另一个比例，则更确信硬币不标准】
3）贝叶斯更新一致：
若 ，则
若 ，则
若 ，则
【如果现在正面比较多，又投出一次正面会加深我对硬币不标准的判断，反之则会减轻。】
4）钟形分布
若 ，则
若 ，则
其中 表示事件“硬币不是标准硬币”， 表示n次抛掷m次正面朝上。
【当一枚硬币“有问题”时，它有小问题的概率更大，而有大问题的概率更小，也就是说一枚有问题硬币投出正面的概率本身应当是接近钟形分布的。】
此时满足全部四条公理的 并不唯一，这里给出一种比较符合直觉的解，而且这个解有两种方式可以推导出来：（具体推导参见原文）
- 加强公理3)并仿照假设Beta分布为共轭先验分布的方式指定期望值
- 加强公理4)为“硬币不是标准硬币时，抛出任意正面次数的概率相同”
这两种方式任取一种都会给出唯一的解
可以证明 满足上述所有公理，此外还有几个显然的符合直觉的性质：
i) 若 ，即未扔过时认为该硬币一定没问题，则无论扔多少次，有多少次正面朝上，仍然认为该硬币一定没问题， 。
ii) 若 ，即未扔过时认为该硬币一定有问题，则无论扔多少次，有多少次正面朝上，仍然认为该硬币一定有问题， 。
iii) 随 单调递增。
【注：i)和ii)和公理2略有冲突，可以认为公理2仅对 时成立】
于是我们可以计算出在不同的先验概率 下，如果60次有55次正面朝上，认为硬币不是标准硬币的后验概率如下图所示：
【假装这里有图】
好吧，这个实在画不出来，因为60次有55次正面朝上在标准硬币的情况下实在太不可能发生了，这个函数的结果基本上立即就顶到1去了……
即使在没有抛掷硬币时认为这枚硬币有问题的概率是0.000001（十万分之一），如果抛出60次中有55次正面朝上，那么后验概率也超过了99.97%，就是说你有99.97%以上的把握这枚硬币有问题……
从数学上，我们当然可以认定硬币不均匀。
但是从其他方面，却未必如此，比如说某些人可以打出“反对歧视硬币反面”“反面的命也是命！”的旗号。让那些主张不均匀的人闭嘴。
尽管很多社会数据都表明某些种族的智力不及其他种族，犯罪率高企，但研究这些问题的人却会被冠以“歧视”之名，甚至连诺奖获得者都被停职强迫道歉。
讽刺的是，真正的不犯罪，遵（hao）纪（qi）守（fu）法的种族，却会被货真价实的歧视，甚至欺骗以及系统性压迫。
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