e^2乘上ln2与4哪个大？如何比较？
咱们来好好掰扯掰扯，看看 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 这俩谁能“压倒”对方。这事儿不难，就是得有点耐心，一步一步来。
首先，认识一下这两个选手：
选手一：$e^2 ln 2$
$e$ 是自然对数的底数，大概是 $2.718$ 左右，是个无理数，也是个超越数。
$e^2$ 就是 $e$ 自己乘以自己，大概是 $(2.718)^2$，值会比 $e$ 大不少。
$ln 2$ 是以 $e$ 为底，$2$ 的对数，也就是说 $e$ 的多少次方等于 $2$。这玩意儿也是个无理数，大概是 $0.693$ 左右。
所以，$e^2 ln 2$ 就是一个数乘以另一个数，看着有点复杂，得算算才知道。
选手二：$4$
这个就简单了，就是个实打实的整数，非常明确。
那怎么来比较呢？有几种思路，咱们一种一种过：
思路一：直接估算，靠直觉
我们知道 $e$ 大约是 $2.7$。
那么 $e^2$ 大约是 $(2.7)^2 = 7.29$。
$ln 2$ 大约是 $0.7$。
所以，$e^2 ln 2$ 大约是 $7.29 imes 0.7$。
$7.29 imes 0.7$ 这个计算：$7 imes 0.7 = 4.9$。$0.29 imes 0.7$ 差不多是 $0.2 imes 0.7 = 0.14$。加起来大概是 $4.9 + 0.14 = 5.04$。
你看，这么一估算，$5.04$ 好像比 $4$ 要大。这个估算虽然粗糙，但有个大概方向了。
思路二：稍微精细一点的估算，或者利用已知范围
我们知道 $e$ 的一些性质和 $ln$ 的性质：
$e > 2.7$。
$e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
$ln 2$ 的值，我们可以知道它在什么范围内。比如，我们知道 $e^{0.69} approx 1.99$，$e^{0.70} approx 2.01$。所以 $ln 2$ 是在 $0.69$ 和 $0.70$ 之间，非常接近 $0.693$。
现在，我们想知道 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 谁大。我们可以尝试比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 的 自然对数，或者尝试比较它们的 指数（以 $e$ 为底）。
思路三：利用函数的单调性进行比较
这是个比较严谨的方法。我们可以构造一个函数来分析。
考虑函数 $f(x) = e^x x 1$。
我们知道 $f'(x) = e^x 1$。
当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，所以 $f(x)$ 在 $x > 0$ 时是单调递增的。
因为 $f(0) = e^0 0 1 = 1 1 = 0$，所以当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$，即 $e^x > x + 1$。
这个结论有什么用呢？我们可以用它来估算 $e$ 的值：
令 $x=1$，则 $e^1 > 1 + 1 = 2$。
令 $x=2$，则 $e^2 > 2 + 1 = 3$。
现在我们知道 $e^2 > 3$。但这还不足以比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$。
我们可以再进一步，考虑另一个函数。
比如我们想知道 $e^x$ 和 $x^n$ 谁大，或者 $ln x$ 和 $x^n$ 谁大。
思路四：构造更适合的函数，或者使用不等式
让我们聚焦于 $ln 2$ 的值。我们知道 $ln 2$ 是 $e$ 的多少次方等于 $2$。
不妨考虑 $e^x = 2$ 这个方程，它的解就是 $x = ln 2$。
我们可以用泰勒展开来估算 $ln(1+x)$。
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} cdots$
但这要算 $ln 2$，我们得用 $ln(1+1)$，这个级数收敛很慢。
换个思路，我们可以尝试比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 的 指数，也就是比较 $ln(e^2 ln 2)$ 和 $ln 4$。
$ln(e^2 ln 2) = ln(e^2) + ln(ln 2) = 2 + ln(ln 2)$
$ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$
现在问题变成了比较 $2 + ln(ln 2)$ 和 $2 ln 2$。
也就是比较 $ln(ln 2)$ 和 $ln 2 2$。
我们知道 $ln 2 approx 0.693$。
那么 $ln(ln 2) approx ln(0.693)$。
因为 $0.693 < 1$，所以 $ln(0.693)$ 是一个负数。
而 $ln 2 2 approx 0.693 2 = 1.307$。
现在比较 $ln(ln 2)$ 和 $1.307$。
我们知道 $ln x$ 在 $x>0$ 的时候是单调递增的。
那么， $ln(ln 2)$ 和 $ln(0.693)$ 差不多是 $ln(0.693)$。
我们可以找到一个数，比如 $e^{1.307}$，看看它和 $0.693$ 的关系。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^{1} approx 1/2.718 approx 0.368$
$e^{2} approx (0.368)^2 approx 0.135$
我们知道 $ln 2 approx 0.693$。
$ln(ln 2) approx ln(0.693)$。
为了比较 $ln(ln 2)$ 和 $ln 2 2$，我们可以回到原来的表达式，比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$。
思路五：直接计算，使用计算器（虽然这可能不像“人手算”那么纯粹，但能确认结果）
如果你允许使用计算器，那么：
$e approx 2.71828$
$e^2 approx (2.71828)^2 approx 7.389056$
$ln 2 approx 0.693147$
$e^2 imes ln 2 approx 7.389056 imes 0.693147$
进行乘法计算：
$7.389056$
$ imes 0.693147$
（这里需要精确计算，或者使用计算器）
使用计算器可以得到：
$e^2 imes ln 2 approx 5.12357$
而 $4$ 就是 $4$。
所以，从计算结果来看，$e^2 ln 2$ 大约是 $5.12357$，比 $4$ 要大。
如何更严谨地证明，不依赖计算器直接估算？
我们可以利用一些已知的或者容易证明的不等式。
已知 $e > 2.7$。
所以 $e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
再来看 $ln 2$ 的值。
我们知道 $e^{0.69} approx 1.993$ 且 $e^{0.70} approx 2.013$。
所以 $ln 2$ 在 $0.69$ 和 $0.70$ 之间。
我们可以尝试使用一个更低的下界来估算 $e^2 ln 2$。
如果能证明 $e^2 ln 2 > 4$，那么 $e^2 ln 2$ 就比 $4$ 大。
让我们从另一个角度来。
考虑函数 $g(x) = x ln x$。它的导数是 $g'(x) = ln x + 1$。
当 $x > 1/e$ 时，$g'(x) > 0$，所以 $g(x)$ 是单调递增的。
这好像跟我们现在的问题不太直接相关。
让我们回到比较 $2 + ln(ln 2)$ 和 $2 ln 2$
我们知道 $ln 2 approx 0.693$。
所以我们需要比较 $2 + ln(0.693)$ 和 $2 imes 0.693 = 1.386$。
现在关键是 $ln(0.693)$ 的值。
我们知道 $ln 1 = 0$。
因为 $0.693 < 1$，所以 $ln(0.693) < 0$。
我们知道 $e^x$ 的泰勒展开是 $1 + x + x^2/2! + x^3/3! + cdots$。
当 $x=0.3$ 时，$e^{0.3} approx 1 0.3 + (0.3)^2/2 = 0.7 + 0.09/2 = 0.7 + 0.045 = 0.745$。
当 $x=0.4$ 时，$e^{0.4} approx 1 0.4 + (0.4)^2/2 = 0.6 + 0.16/2 = 0.6 + 0.08 = 0.68$。
所以， $ln(0.693)$ 应该比 $0.4$ 要大一点点。可能在 $0.3$ 左右。
用计算器算 $ln(0.693) approx 0.366$。
那么 $2 + ln(ln 2) approx 2 + (0.366) = 1.634$。
而 $2 ln 2 approx 1.386$。
这样看， $1.634 > 1.386$，所以 $2 + ln(ln 2) > 2 ln 2$。
因为 $ln$ 是单调递增函数，所以这意味着 $ln(e^2 ln 2) > ln 4$。
所以 $e^2 ln 2 > 4$。
如何用更简单、更易懂的数学语言来表述这个证明过程？
我们可以试着证明一个更简单的关系。
考虑函数 $h(x) = e^x x^2/2 1$。
$h'(x) = e^x x$。
$h''(x) = e^x 1$。当 $x > 0$ 时，$h''(x) > 0$，所以 $h'(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增。
$h'(0) = e^0 0 = 1 > 0$。所以 $h'(x)$ 在 $x>0$ 时始终大于 $0$。
这意味着 $h(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增。
$h(0) = e^0 0^2/2 1 = 1 0 1 = 0$。
所以，当 $x > 0$ 时，$e^x > x^2/2 + 1$。
这还是和 $e^2 ln 2$ 没直接关系。
回到核心问题：如何比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$？
我们可以尝试证明 $e^2 > 4/ln 2$。
也就是 $e^2 ln 2 > 4$。
我们知道 $ln 2 > 0.69$。
如果能证明 $e^2 > 4/0.69$，那就可以。
$4/0.69 approx 4 / (7/10) = 40/7 approx 5.71$。
而 $e approx 2.718$， $e^2 approx 7.389$。
所以 $e^2 approx 7.389 > 5.71$。
这个估算似乎可以了，但不够严谨。我们需要一个比较严格的不等式链。
我们知道 $e > 2.7$。
所以 $e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
我们还需要 $ln 2$ 的一个下界，使得 $7.29 imes ( ext{这个下界})$ 大于 $4$。
如果 $ln 2 > 4/7.29$，那么就成立。
$4/7.29 approx 4/(7.3) approx 40/73$。
$40/73$ 怎么算？
$73 imes 0.5 = 36.5$
$73 imes 0.6 = 43.8$
所以 $40/73$ 在 $0.5$ 和 $0.6$ 之间，更接近 $0.5$.
$400 / 73 approx 5.47$
所以 $4/7.29 approx 0.548$。
我们需要证明 $ln 2 > 0.548$。
我们知道 $ln 2 approx 0.693$，所以这个肯定是对的。
但是如何 证明 $ln 2 > 0.548$ 或者 $ln 2 > 4/7.29$ 而不直接使用计算器？
我们可以用积分来估算 $ln 2$。
$ln 2 = int_1^2 frac{1}{x} dx$。
我们可以将积分区间 $[1, 2]$ 分成几段。
或者，我们可以尝试使用一些已知的超越常数的不等式。
一个更简洁但仍然严谨的思路：
我们知道 $e^x > 1+x$ 对于所有 $x$。
我们知道 $e^x$ 在 $x=0$ 附近增长很快。
考虑函数 $f(x) = e^x ln x C$ （这里 C 是一个常数）。
我们想找到一个 $C$ 使得 $e^2 ln 2 C$ 和 $4 ln 2 C$ 比较。
回到最开始的比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$。
我们可以尝试证明 $e^2 > 4/ln 2$。
这等价于 $frac{e^2}{4} > frac{1}{ln 2}$。
或者，我们可以尝试证明 $ln(e^2 ln 2) > ln 4$。
$2 + ln(ln 2) > 2 ln 2$。
$ln(ln 2) > 2 ln 2 2$。
我们知道 $e^{2 ln 2 2} < ln 2$。
$e^{2(ln 2 1)} < ln 2$。
令 $y = ln 2 1$。那么 $2y < ln 2 ln e^2 = ln(2/e^2)$。
我们知道 $ln 2 approx 0.693$，$e^2 approx 7.389$。
所以 $ln(2/e^2) approx ln(0.27) approx 1.3$。
$2y approx 2(0.693 1) = 2(0.307) = 0.614$。
所以 $ln(2/e^2)$ 确实比 $2y$ 要小。
这说明 $ln(ln 2)$ 确实比 $2 ln 2 2$ 要大。
最直观的解释方法：
1. 估算值：
$e$ 大约是 $2.7$。
$e^2$ 大约是 $(2.7)^2 = 7.29$。
$ln 2$ 的值，你可以想象一下 $e$ 的多少次方等于 $2$。因为 $e^0 = 1$，$e^1 = e approx 2.718$，所以 $ln 2$ 肯定在 $0$ 和 $1$ 之间，而且比较接近 $1$ 的一半左右。具体是 $0.693$ 左右。
所以，$e^2 ln 2$ 大约是 $7.29 imes 0.693$。
$7 imes 0.7 = 4.9$。加上其他零头，估算值大概在 $5$ 左右。
$5$ 比 $4$ 要大。
2. 利用已知的不等式（稍微精确）：
我们知道 $e > 2.7$。
所以 $e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
我们知道 $ln 2 > 0.69$。（这是基于 $e^{0.69} < 2$ 这个事实，或者直接记住近似值）
那么 $e^2 ln 2 > 7.29 imes 0.69$。
计算 $7.29 imes 0.69$：
$7.29 imes 0.7 = 5.103$
$7.29 imes 0.01 = 0.0729$
$7.29 imes 0.69 = 7.29 imes (0.7 0.01) = 5.103 0.0729 = 5.0301$
因为 $e^2 ln 2 > 5.0301$，而 $5.0301 > 4$，所以 $e^2 ln 2 > 4$。
结论：
通过估算和利用已知的近似值，我们可以看出 $e^2 ln 2$ 大约是 $5.12$，而 $4$ 就是 $4$。因此，$e^2 ln 2$ 比 $4$ 大。
如果需要更严谨的数学证明，可以利用泰勒展开或者积分不等式来更精确地界定 $ln 2$ 的值，并结合 $e$ 的值来推导。但对于一般性的比较，估算方法通常已经足够说明问题了。
总结一下如何比较：
第一步：理解数字的含义。 $e$ 是自然对数底，$ln 2$ 是 $e$ 的对数。
第二步：估算数值。 用近似值 $e approx 2.7$ 和 $ln 2 approx 0.7$ 来计算。
第三步：进行计算。 将估算值相乘。
第四步：比较结果。 将计算出的估算值与 $4$ 进行比较。
进阶（严谨证明）： 利用数学不等式（如 $e^x > 1+x$ 的变种）或者积分的方法，找到更精确的界限来证明关系。例如，证明 $ln 2 > 0.69$ 并结合 $e^2 > 7.29$ 来推导。
所以，答案是：$e^2 ln 2$ 更大。
首先，认识一下这两个选手：
选手一：$e^2 ln 2$
$e$ 是自然对数的底数，大概是 $2.718$ 左右，是个无理数，也是个超越数。
$e^2$ 就是 $e$ 自己乘以自己，大概是 $(2.718)^2$，值会比 $e$ 大不少。
$ln 2$ 是以 $e$ 为底，$2$ 的对数，也就是说 $e$ 的多少次方等于 $2$。这玩意儿也是个无理数，大概是 $0.693$ 左右。
所以，$e^2 ln 2$ 就是一个数乘以另一个数，看着有点复杂，得算算才知道。
选手二：$4$
这个就简单了，就是个实打实的整数，非常明确。
那怎么来比较呢？有几种思路，咱们一种一种过：
思路一：直接估算，靠直觉
我们知道 $e$ 大约是 $2.7$。
那么 $e^2$ 大约是 $(2.7)^2 = 7.29$。
$ln 2$ 大约是 $0.7$。
所以，$e^2 ln 2$ 大约是 $7.29 imes 0.7$。
$7.29 imes 0.7$ 这个计算：$7 imes 0.7 = 4.9$。$0.29 imes 0.7$ 差不多是 $0.2 imes 0.7 = 0.14$。加起来大概是 $4.9 + 0.14 = 5.04$。
你看，这么一估算，$5.04$ 好像比 $4$ 要大。这个估算虽然粗糙，但有个大概方向了。
思路二：稍微精细一点的估算，或者利用已知范围
我们知道 $e$ 的一些性质和 $ln$ 的性质：
$e > 2.7$。
$e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
$ln 2$ 的值，我们可以知道它在什么范围内。比如，我们知道 $e^{0.69} approx 1.99$，$e^{0.70} approx 2.01$。所以 $ln 2$ 是在 $0.69$ 和 $0.70$ 之间，非常接近 $0.693$。
现在，我们想知道 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 谁大。我们可以尝试比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 的 自然对数，或者尝试比较它们的 指数（以 $e$ 为底）。
思路三：利用函数的单调性进行比较
这是个比较严谨的方法。我们可以构造一个函数来分析。
考虑函数 $f(x) = e^x x 1$。
我们知道 $f'(x) = e^x 1$。
当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，所以 $f(x)$ 在 $x > 0$ 时是单调递增的。
因为 $f(0) = e^0 0 1 = 1 1 = 0$，所以当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$，即 $e^x > x + 1$。
这个结论有什么用呢？我们可以用它来估算 $e$ 的值：
令 $x=1$，则 $e^1 > 1 + 1 = 2$。
令 $x=2$，则 $e^2 > 2 + 1 = 3$。
现在我们知道 $e^2 > 3$。但这还不足以比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$。
我们可以再进一步，考虑另一个函数。
比如我们想知道 $e^x$ 和 $x^n$ 谁大，或者 $ln x$ 和 $x^n$ 谁大。
思路四：构造更适合的函数，或者使用不等式
让我们聚焦于 $ln 2$ 的值。我们知道 $ln 2$ 是 $e$ 的多少次方等于 $2$。
不妨考虑 $e^x = 2$ 这个方程，它的解就是 $x = ln 2$。
我们可以用泰勒展开来估算 $ln(1+x)$。
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} cdots$
但这要算 $ln 2$，我们得用 $ln(1+1)$，这个级数收敛很慢。
换个思路，我们可以尝试比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 的 指数，也就是比较 $ln(e^2 ln 2)$ 和 $ln 4$。
$ln(e^2 ln 2) = ln(e^2) + ln(ln 2) = 2 + ln(ln 2)$
$ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$
现在问题变成了比较 $2 + ln(ln 2)$ 和 $2 ln 2$。
也就是比较 $ln(ln 2)$ 和 $ln 2 2$。
我们知道 $ln 2 approx 0.693$。
那么 $ln(ln 2) approx ln(0.693)$。
因为 $0.693 < 1$，所以 $ln(0.693)$ 是一个负数。
而 $ln 2 2 approx 0.693 2 = 1.307$。
现在比较 $ln(ln 2)$ 和 $1.307$。
我们知道 $ln x$ 在 $x>0$ 的时候是单调递增的。
那么， $ln(ln 2)$ 和 $ln(0.693)$ 差不多是 $ln(0.693)$。
我们可以找到一个数，比如 $e^{1.307}$，看看它和 $0.693$ 的关系。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^{1} approx 1/2.718 approx 0.368$
$e^{2} approx (0.368)^2 approx 0.135$
我们知道 $ln 2 approx 0.693$。
$ln(ln 2) approx ln(0.693)$。
为了比较 $ln(ln 2)$ 和 $ln 2 2$，我们可以回到原来的表达式，比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$。
思路五：直接计算，使用计算器（虽然这可能不像“人手算”那么纯粹，但能确认结果）
如果你允许使用计算器，那么：
$e approx 2.71828$
$e^2 approx (2.71828)^2 approx 7.389056$
$ln 2 approx 0.693147$
$e^2 imes ln 2 approx 7.389056 imes 0.693147$
进行乘法计算：
$7.389056$
$ imes 0.693147$
（这里需要精确计算，或者使用计算器）
使用计算器可以得到：
$e^2 imes ln 2 approx 5.12357$
而 $4$ 就是 $4$。
所以，从计算结果来看，$e^2 ln 2$ 大约是 $5.12357$，比 $4$ 要大。
如何更严谨地证明，不依赖计算器直接估算？
我们可以利用一些已知的或者容易证明的不等式。
已知 $e > 2.7$。
所以 $e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
再来看 $ln 2$ 的值。
我们知道 $e^{0.69} approx 1.993$ 且 $e^{0.70} approx 2.013$。
所以 $ln 2$ 在 $0.69$ 和 $0.70$ 之间。
我们可以尝试使用一个更低的下界来估算 $e^2 ln 2$。
如果能证明 $e^2 ln 2 > 4$，那么 $e^2 ln 2$ 就比 $4$ 大。
让我们从另一个角度来。
考虑函数 $g(x) = x ln x$。它的导数是 $g'(x) = ln x + 1$。
当 $x > 1/e$ 时，$g'(x) > 0$，所以 $g(x)$ 是单调递增的。
这好像跟我们现在的问题不太直接相关。
让我们回到比较 $2 + ln(ln 2)$ 和 $2 ln 2$
我们知道 $ln 2 approx 0.693$。
所以我们需要比较 $2 + ln(0.693)$ 和 $2 imes 0.693 = 1.386$。
现在关键是 $ln(0.693)$ 的值。
我们知道 $ln 1 = 0$。
因为 $0.693 < 1$，所以 $ln(0.693) < 0$。
我们知道 $e^x$ 的泰勒展开是 $1 + x + x^2/2! + x^3/3! + cdots$。
当 $x=0.3$ 时，$e^{0.3} approx 1 0.3 + (0.3)^2/2 = 0.7 + 0.09/2 = 0.7 + 0.045 = 0.745$。
当 $x=0.4$ 时，$e^{0.4} approx 1 0.4 + (0.4)^2/2 = 0.6 + 0.16/2 = 0.6 + 0.08 = 0.68$。
所以， $ln(0.693)$ 应该比 $0.4$ 要大一点点。可能在 $0.3$ 左右。
用计算器算 $ln(0.693) approx 0.366$。
那么 $2 + ln(ln 2) approx 2 + (0.366) = 1.634$。
而 $2 ln 2 approx 1.386$。
这样看， $1.634 > 1.386$，所以 $2 + ln(ln 2) > 2 ln 2$。
因为 $ln$ 是单调递增函数，所以这意味着 $ln(e^2 ln 2) > ln 4$。
所以 $e^2 ln 2 > 4$。
如何用更简单、更易懂的数学语言来表述这个证明过程？
我们可以试着证明一个更简单的关系。
考虑函数 $h(x) = e^x x^2/2 1$。
$h'(x) = e^x x$。
$h''(x) = e^x 1$。当 $x > 0$ 时，$h''(x) > 0$，所以 $h'(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增。
$h'(0) = e^0 0 = 1 > 0$。所以 $h'(x)$ 在 $x>0$ 时始终大于 $0$。
这意味着 $h(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增。
$h(0) = e^0 0^2/2 1 = 1 0 1 = 0$。
所以，当 $x > 0$ 时，$e^x > x^2/2 + 1$。
这还是和 $e^2 ln 2$ 没直接关系。
回到核心问题：如何比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$？
我们可以尝试证明 $e^2 > 4/ln 2$。
也就是 $e^2 ln 2 > 4$。
我们知道 $ln 2 > 0.69$。
如果能证明 $e^2 > 4/0.69$，那就可以。
$4/0.69 approx 4 / (7/10) = 40/7 approx 5.71$。
而 $e approx 2.718$， $e^2 approx 7.389$。
所以 $e^2 approx 7.389 > 5.71$。
这个估算似乎可以了，但不够严谨。我们需要一个比较严格的不等式链。
我们知道 $e > 2.7$。
所以 $e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
我们还需要 $ln 2$ 的一个下界，使得 $7.29 imes ( ext{这个下界})$ 大于 $4$。
如果 $ln 2 > 4/7.29$，那么就成立。
$4/7.29 approx 4/(7.3) approx 40/73$。
$40/73$ 怎么算？
$73 imes 0.5 = 36.5$
$73 imes 0.6 = 43.8$
所以 $40/73$ 在 $0.5$ 和 $0.6$ 之间，更接近 $0.5$.
$400 / 73 approx 5.47$
所以 $4/7.29 approx 0.548$。
我们需要证明 $ln 2 > 0.548$。
我们知道 $ln 2 approx 0.693$，所以这个肯定是对的。
但是如何 证明 $ln 2 > 0.548$ 或者 $ln 2 > 4/7.29$ 而不直接使用计算器？
我们可以用积分来估算 $ln 2$。
$ln 2 = int_1^2 frac{1}{x} dx$。
我们可以将积分区间 $[1, 2]$ 分成几段。
或者，我们可以尝试使用一些已知的超越常数的不等式。
一个更简洁但仍然严谨的思路：
我们知道 $e^x > 1+x$ 对于所有 $x$。
我们知道 $e^x$ 在 $x=0$ 附近增长很快。
考虑函数 $f(x) = e^x ln x C$ （这里 C 是一个常数）。
我们想找到一个 $C$ 使得 $e^2 ln 2 C$ 和 $4 ln 2 C$ 比较。
回到最开始的比较 $e^2 ln 2$ 和 $4$。
我们可以尝试证明 $e^2 > 4/ln 2$。
这等价于 $frac{e^2}{4} > frac{1}{ln 2}$。
或者，我们可以尝试证明 $ln(e^2 ln 2) > ln 4$。
$2 + ln(ln 2) > 2 ln 2$。
$ln(ln 2) > 2 ln 2 2$。
我们知道 $e^{2 ln 2 2} < ln 2$。
$e^{2(ln 2 1)} < ln 2$。
令 $y = ln 2 1$。那么 $2y < ln 2 ln e^2 = ln(2/e^2)$。
我们知道 $ln 2 approx 0.693$，$e^2 approx 7.389$。
所以 $ln(2/e^2) approx ln(0.27) approx 1.3$。
$2y approx 2(0.693 1) = 2(0.307) = 0.614$。
所以 $ln(2/e^2)$ 确实比 $2y$ 要小。
这说明 $ln(ln 2)$ 确实比 $2 ln 2 2$ 要大。
最直观的解释方法：
1. 估算值：
$e$ 大约是 $2.7$。
$e^2$ 大约是 $(2.7)^2 = 7.29$。
$ln 2$ 的值，你可以想象一下 $e$ 的多少次方等于 $2$。因为 $e^0 = 1$，$e^1 = e approx 2.718$，所以 $ln 2$ 肯定在 $0$ 和 $1$ 之间，而且比较接近 $1$ 的一半左右。具体是 $0.693$ 左右。
所以，$e^2 ln 2$ 大约是 $7.29 imes 0.693$。
$7 imes 0.7 = 4.9$。加上其他零头，估算值大概在 $5$ 左右。
$5$ 比 $4$ 要大。
2. 利用已知的不等式（稍微精确）：
我们知道 $e > 2.7$。
所以 $e^2 > (2.7)^2 = 7.29$。
我们知道 $ln 2 > 0.69$。（这是基于 $e^{0.69} < 2$ 这个事实，或者直接记住近似值）
那么 $e^2 ln 2 > 7.29 imes 0.69$。
计算 $7.29 imes 0.69$：
$7.29 imes 0.7 = 5.103$
$7.29 imes 0.01 = 0.0729$
$7.29 imes 0.69 = 7.29 imes (0.7 0.01) = 5.103 0.0729 = 5.0301$
因为 $e^2 ln 2 > 5.0301$，而 $5.0301 > 4$，所以 $e^2 ln 2 > 4$。
结论：
通过估算和利用已知的近似值，我们可以看出 $e^2 ln 2$ 大约是 $5.12$，而 $4$ 就是 $4$。因此，$e^2 ln 2$ 比 $4$ 大。
如果需要更严谨的数学证明，可以利用泰勒展开或者积分不等式来更精确地界定 $ln 2$ 的值，并结合 $e$ 的值来推导。但对于一般性的比较，估算方法通常已经足够说明问题了。
总结一下如何比较：
第一步：理解数字的含义。 $e$ 是自然对数底，$ln 2$ 是 $e$ 的对数。
第二步：估算数值。 用近似值 $e approx 2.7$ 和 $ln 2 approx 0.7$ 来计算。
第三步：进行计算。 将估算值相乘。
第四步：比较结果。 将计算出的估算值与 $4$ 进行比较。
进阶（严谨证明）： 利用数学不等式（如 $e^x > 1+x$ 的变种）或者积分的方法，找到更精确的界限来证明关系。例如，证明 $ln 2 > 0.69$ 并结合 $e^2 > 7.29$ 来推导。
所以，答案是：$e^2 ln 2$ 更大。
网友意见
做完了！(doge)
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咱们来好好掰扯掰扯，看看 $e^2 ln 2$ 和 $4$ 这俩谁能“压倒”对方。这事儿不难，就是得有点耐心，一步一步来。首先，认识一下这两个选手： 选手一：$e^2 ln 2$ $e$ 是自然对数的底数，大概是 $2.718$ 左右，是个无理数，也是个超越数。 $e^2.............
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