可以找到两个质数，他们的比值最接近 π 吗？
这个问题可以分解为以下几个方面来详细讲解：
1. $pi$ 的性质和逼近
无理数: $pi approx 3.1415926535...$ 它是一个无限不循环的小数。这意味着任何两个整数的比值（有理数）都无法精确地等于 $pi$。
逼近: 我们只能找到越来越接近 $pi$ 的有理数分数。这些分数是 $pi$ 的近似值。
寻找好的近似值: 如何找到“好”的近似值呢？一个好的近似值意味着它能用相对较小的整数来表示，并且与 $pi$ 的差值非常小。
2. 连分数（Continued Fractions）
连分数是逼近无理数的最有效方法之一。任何实数都可以表示为连分数。对于 $pi$，它的连分数展开是：
$pi = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15 + frac{1}{1 + frac{1}{292 + frac{1}{1 + ...}}}}}$
连分数可以展开成一系列的“渐近分数”（convergents）。这些渐近分数是无理数的最优有理数逼近，也就是说，任何与该无理数具有相同分母大小的有理数，其逼近精度都无法超过这个渐近分数。
计算 $pi$ 的前几个渐近分数：
第一个渐近分数: $c_0 = 3/1$。 这非常粗糙。
第二个渐近分数: $c_1 = 3 + frac{1}{7} = frac{21+1}{7} = frac{22}{7}$。 这是最著名的 $pi$ 的近似值之一，通常在中学阶段使用。
$frac{22}{7} approx 3.142857$。
与 $pi$ 的差值：$| frac{22}{7} pi | approx |3.142857 3.14159265| approx 0.00126$。
第三个渐近分数: $c_2 = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15}} = 3 + frac{1}{frac{105+1}{15}} = 3 + frac{15}{106} = frac{318+15}{106} = frac{333}{106}$。
$frac{333}{106} approx 3.141509$。
与 $pi$ 的差值：$| frac{333}{106} pi | approx |3.141509 3.14159265| approx 0.000083$。
第四个渐近分数: $c_3 = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15 + frac{1}{1}}} = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{16}} = 3 + frac{1}{frac{112+1}{16}} = 3 + frac{16}{113} = frac{339+16}{113} = frac{355}{113}$。
$frac{355}{113} approx 3.14159292$。
与 $pi$ 的差值：$| frac{355}{113} pi | approx |3.14159292 3.14159265| approx 0.00000027$。
3. 寻找质数比值
我们的目标是找到两个质数 $p$ 和 $q$，使得 $frac{p}{q}$ 最接近 $pi$。
我们需要检查这些渐近分数，看看它们是否由两个质数构成。
$frac{22}{7}$:
分子 22 不是质数 (22 = 2 × 11)。
分母 7 是质数。
所以 $frac{22}{7}$ 不是一个质数比值。
$frac{333}{106}$:
分子 333 不是质数 (333 = 3 × 3 × 37)。
分母 106 不是质数 (106 = 2 × 53)。
所以 $frac{333}{106}$ 不是一个质数比值。
$frac{355}{113}$:
分子 355 不是质数 (355 = 5 × 71)。
分母 113 是质数。
所以 $frac{355}{113}$ 不是一个质数比值。
这说明我们不能仅仅依赖于这些“最优”的有理数逼近，如果它们不是由质数组成的话。我们需要寻找更广泛的、由质数构成的分数，同时它们也应该接近 $pi$。
4. 寻找更接近的质数比值
为了找到更接近 $pi$ 的质数比值，我们可以继续计算 $pi$ 的连分数。
$pi = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15 + frac{1}{1 + frac{1}{292 + frac{1}{1 + ...}}}}}$
再往下的渐近分数会变得越来越复杂，并且分子和分母的数会迅速增大。
下一个渐近分数（基于 292）:
考虑 $3 + frac{1}{7 + frac{1}{15 + frac{1}{1 + frac{1}{292}}}}$
计算这个分数会得到一个非常好的近似值，但分母和分子会很大。
然而，一个更实际的方法是，在计算渐近分数时，检查这些分数是否由质数构成。
通常，当我们将 $pi$ 的连分数展开到某个阶段时，我们会得到一些非常好的近似值，我们只需要检查这些近似值的分子和分母是否都是质数。
最佳的质数比值逼近 $pi$ 的寻找过程：
这涉及到计算大量的质数，并且逐一检验它们是否接近 $pi$。但是，由于连分数的性质，渐近分数通常能提供最接近的近似值。
让我们回顾一下 $frac{355}{113}$。虽然 355 不是质数，但 113 是。这个分数非常接近 $pi$。
继续寻找质数比值：
我们现在需要寻找其他由质数构成的分数，它们也非常接近 $pi$。
考虑使用较小的质数：
3 是质数。
2 是质数。 $frac{3}{2} = 1.5$ （太小）
5 是质数。 $frac{3}{5} = 0.6$ （太小）
7 是质数。 $frac{3}{7} approx 0.42$ （太小）
11 是质数。 $frac{3}{11} approx 0.27$ （太小）
13 是质数。 $frac{3}{13} approx 0.23$ （太小）
17 是质数。 $frac{3}{17} approx 0.17$ （太小）
……
$frac{22}{7}$: 我们已经知道 22 不是质数。
$frac{113}{355}$ (反过来的比值): $frac{113}{355} approx 0.318$ (太小)
我们需要的是比值约等于 3.14159...
我们需要分子比分母大一些。
检查渐近分数的成分（以 355/113 为例）：
113 是质数。
355 = 5 × 71。 5 和 71 都是质数。
所以 $frac{355}{113}$ 的分子不是质数。
继续计算连分数，寻找分子和分母都是质数的渐近分数。
连分数展开会给出一系列越来越好的近似值：$3/1, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...$
我们来检查这些近似值中的质数比值：
$frac{22}{7}$: 22 (非质数), 7 (质数)
$frac{333}{106}$: 333 (非质数), 106 (非质数)
$frac{355}{113}$: 355 (非质数), 113 (质数)
寻找“最好的”质数比值：
这个问题实际上没有一个确切的“找到”的答案，因为我们可以找到任意接近 $pi$ 的有理数，通过选择更长的连分数。关键在于，我们需要找到的质数比值，并且它的近似精度在所有具有相似大小分母的质数比值中是最好的。
一个广泛被引用的关于 $pi$ 的质数比值逼近是 $frac{355}{113}$。 虽然 355 不是质数，但它经常被提到是因为它惊人的精度。
如果我们严格要求分子和分母都必须是质数：
这个问题变得更加困难，因为我们需要搜索质数表并进行计算。
考虑接近 $pi$ 的其他有理数，并检查其成分：
$frac{314}{100}$ (不是质数)
$frac{3141}{1000}$ (不是质数)
一个非常接近 $pi$ 的质数比值是： $frac{1339}{426}$
1339 不是质数 (1339 = 7 × 191)。
426 不是质数 (426 = 2 × 3 × 71)。
另一个需要考虑的是寻找“相对好的”质数比值。
$frac{7}{2}$: 7 是质数，2 是质数。 比值是 3.5 (太大了)。
$frac{11}{3}$: 11 是质数，3 是质数。 比值是 3.666... (太大了)。
$frac{13}{4}$: 13 是质数，4 不是质数。
$frac{17}{5}$: 17 是质数，5 是质数。 比值是 3.4 (太大了)。
$frac{19}{6}$: 19 是质数，6 不是质数。
$frac{23}{7}$: 23 是质数，7 是质数。 比值是 $frac{23}{7} approx 3.2857$。 这个比值比 $frac{22}{7}$ 更接近 $pi$ 吗？
$|frac{23}{7} pi| approx |3.2857 3.14159| approx 0.144$。
$|frac{22}{7} pi| approx |3.142857 3.14159| approx 0.00126$。
所以 $frac{23}{7}$ 比 $frac{22}{7}$ 差很多。
挑战在于，当我们寻找越来越精确的近似值时，分子和分母会迅速增大，并且质数的概率会降低。
搜索一个“足够好”的质数比值：
我们回到 $pi$ 的连分数。其渐近分数提供了最佳的有理数逼近。
$c_0 = 3/1$
$c_1 = 22/7$
$c_2 = 333/106$
$c_3 = 355/113$
我们知道 $frac{355}{113}$ 是非常好的近似值。
为了找到一个质数比值，我们可以考虑“修改”这些渐近分数。
例如，考虑 $frac{355}{113}$。 113 是质数。 355 不是质数。 355 的质因数是 5 和 71。
我们可以尝试用接近 355 的质数来替换它。
最接近 355 的质数是什么？ 353 (质数)，359 (质数)。
让我们计算：
$frac{353}{113}$: $frac{353}{113} approx 3.12389$。
$|frac{353}{113} pi| approx |3.12389 3.14159| approx 0.0177$。 这个比值比 $frac{22}{7}$ 差。
$frac{359}{113}$: $frac{359}{113} approx 3.17699$。
$|frac{359}{113} pi| approx |3.17699 3.14159| approx 0.0354$。 这个比值也比 $frac{22}{7}$ 差。
这表明简单地替换分子不一定能得到更好的质数比值逼近。
关键在于，我们需要找到一个质数比值，它的精确度能够与非常好的有理数逼近相媲美。
一个被普遍认为是最佳或非常好的质数比值逼近 $pi$ 的例子是：
$frac{103993}{33102}$
103993 是质数。
33102 不是质数 (33102 = 2 × 3 × 5517)。
所以这也不是一个质数比值。
更进一步，我们寻找的质数比值，其分子和分母都应该是质数。
让我们再次看连分数：
$c_0 = 3/1$
$c_1 = 22/7$
$c_2 = 333/106$
$c_3 = 355/113$
$c_4 = 103993/33102$
要找到这样的质数比值，通常需要大量的计算和搜索。
一个经常被引用的、分子和分母都是质数的比值是：
$frac{751}{239}$
751 是质数。
239 是质数。
让我们计算它的比值：
$frac{751}{239} approx 3.142259$
与 $pi$ 的差值：
$|frac{751}{239} pi| approx |3.142259 3.14159265| approx 0.000666$
这个近似值比 $frac{22}{7}$ 要好得多，但不如 $frac{355}{113}$。
那么，是否存在比 $frac{751}{239}$ 更好、并且分子分母都是质数的比值呢？
答案是肯定的，因为 $pi$ 是无理数，我们可以找到任意接近它的有理数。但找到“最优”的质数比值，意味着我们要考虑分母的大小。通常，随着分母变大，近似精度会提高，但找到质数的难度也增加。
一个更精确的、分子分母都是质数的例子是：
$frac{13187}{4197}$
13187 是质数。
4197 不是质数 (4197 = 3 × 1399)。
这说明寻找这样的比值非常具有挑战性。
寻找“最好的”质数比值通常涉及到：
1. 计算 $pi$ 的连分数渐近分数。
2. 检查这些渐近分数的分子和分母是否都是质数。
3. 如果渐近分数中的分子或分母不是质数，则考虑附近的其他质数作为替代，并计算其比值与 $pi$ 的接近程度。
结论：
找到两个质数，它们的比值最接近 $pi$，这是一个持续的搜索过程。
最著名的好的有理数近似值是 $frac{22}{7}$ 和 $frac{355}{113}$。
$frac{22}{7}$ 的分母 7 是质数，但分子 22 不是。
$frac{355}{113}$ 的分母 113 是质数，但分子 355 不是。
如果严格要求分子和分母都必须是质数，那么：
$frac{751}{239}$ 是一个具有较好精度并且分子分母都是质数的例子。 $frac{751}{239} approx 3.142259$。
随着我们寻找更精确的近似值，分子和分母的数字会越来越大。
理论上，你可以找到任意接近 $pi$ 的质数比值，但“最接近”的定义需要明确精度和分母大小的权衡。通常，当人们谈论这个问题时，会倾向于寻找那些“简洁”且精度不错的质数比值。
更详细地说，这个问题与“二次无理数的最佳有理数逼近”有关。 连分数在这里扮演着关键角色。我们一直在寻找那些在连分数渐近分数序列中出现，或者在这些渐近分数附近，分子和分母都是质数的有理数。
最终，如果问题是“是否存在两个质数，他们的比值最接近 π 吗？”，答案是“是的，但是寻找‘最接近’需要一个明确的标准，例如分母不超过某个值”。
例如，在所有分母小于 1000 的质数比值中，哪个最接近 $pi$？这需要对大量的质数进行计算和比较。
总而言之， $frac{751}{239}$ 是一个很好的例子，说明了两个质数可以提供一个相当不错的 $pi$ 的近似值。但更精确的质数比值是存在的，只是它们的发现需要更复杂的计算。
网友意见
Mathematica对于该问题的解答
首先其他答主已经说明了，质数的比值是稠密的，因此显然答案是否定的（可以仿照极限的定义）。而整数与整数的比值，是有理数， 是无理数，因此两质数之比可以无限逼近 却不能与之相等。现用Mathematica探讨此问题。首先，只要有一个给定的「精度预期」，必然可以找出在该精度范围内最接近 的质数比值。需要说明的是，这个「精度预期」可以用分子的最大或分母的最大值来定义。鉴于答主极Low的Mathematica水平，这里采用比较易于编写的分子最大值为例。
先给出完整的代码
FractionList [ x_ ] := Table [ Prime [ x ] / Prime [ n ], { n , 1 , x }] p [ x_ ] := Flatten [ Position [ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ], Min @ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ]]][[ 1 ]] MinLossFraction [ x_ ] := FractionList [ x ][[ p [ x ]]] ApPiList [ x_ ] := Table [ MinLossFraction [ n ], { n , 1 , x }] MP [ x_ ] := ApPiList [ x ][[ Flatten [ Position [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ], Min [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ]]]][[ 1 ]]]] 大致的思路是：先找出以第 个质数为分子 ， 以内所有质数为分母的所有比值构成的List，然后再与作差，取绝对值。选出差最小的那一项所对应的比值。然后取一定范围以内的所有质数重复以上操作，再从中取最小值对应的比值即可
运行示例如下：
但这种算法的问题在于，需要先把所有可能的比值都算出来，再进行比较。这就造成了运算所需的时间被大大拉长，而实际上很多计算是不必要的。以本人老爷机的I5-4590为例，运算第120个质数以内最接近 的比值所需要的时间就有0.33s。如果再把精度提升，到了1000个质数以内，运算时间就会大幅度增加到41.52s之长。而这显然不利于高精度计算。
精度的分布
为了研究当分子大小变化时比值的精度情况（即与 的差的绝对值），现取第 到第 个质数作为分子，取以每一种情况下最接近 的那个比值的精度。
Table[Abs[MP[n] - Pi], {n, 1, 80}] 输出结果：{2.14159, 1.64159, 0.641593, 0.358407, 0.358407, 0.358407, 0.258407, 0.258407, 0.144122, 0.144122, 0.144122, 0.144122, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.0122535, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00935074, 0.00766108, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583, 0.000747583}
绘制成图像如下所示：
由图像可以看出，精度随「精度预期」的增加呈阶梯状下降。因为电脑运算能力有限，所以没能给出更加靠后的数据。
因此我们可以得出结论，随着「精度预期」的增加，
①可以得到越来越精确的质数之比，使得它更加接近于
②不存在一组质数 ，使得其比值恰好为 ，因为有理数 无理数
③永远都不会有一组质数的比最接近于 ，因为质数的比是稠密的
8.23 20：44
经过优化，现运算速度大幅度提高。修改后的代码如下：
FindRegion1 [ x_ ] := PrimePi [ Prime [ x ] / 3.2 ] FindRegion2 [ x_ ] := PrimePi [ Prime [ x ] / 3.08 ] FractionList [ x_ ] := Table [ Prime [ x ] / Prime [ n ], { n , FindRegion1 [ x ], FindRegion2 [ x ]}] p [ x_ ] := Flatten [ Position [ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ], Min @ Abs [ FractionList [ x ] - Pi ]]][[ 1 ]] MinLossFraction [ x_ ] := FractionList [ x ][[ p [ x ]]] ApPiList [ x_ ] := Table [ MinLossFraction [ n ], { n , 4 , x }] MP [ x_ ] := ApPiList [ x ][[ Flatten [ Position [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ], Min [ Abs [ ApPiList [ x ] - Pi ]]]][[ 1 ]]]] 优化方法是将分母的范围大大缩小，从原来的小于 的全体质数修改到了现在分子的 至 。这可以减少许多冗余的计算，从而提高运算速度。
新代码的运行时间如下：
只花费了1.51s，相当于原来的 ，而当「精度预期」更高时，时间的减少倍数将会越高。答主测试时，用旧代码运行 需要180s，而用新代码运行只需要4.5s。
值得注意的是，当用FindRegion函数进行范围缩小时， 在 ~ 的运算中，因为 过小，所以会出现“第0个质数”导致程序错误。而本身 ~ 精度旧非常低，没有什么实际意义，所以就将这三组近似的计算从程序中删除了。
8.24 9:03
非常感谢评论区@233所提供的思路。修改后的代码如下：
FindPrime1[x_] := PrimePi[Prime[x]/Pi] FindPrime2[x_] := PrimePi[Prime[x]/Pi] + 1 FractionPair[x_] := {Prime[x]/Prime[FindPrime1[x]], Prime[x]/Prime[FindPrime2[x]]} p[x_] := Flatten[ Position[Abs[FractionPair[x] - Pi], Min@Abs[FractionPair[x] - Pi]]][[1]] MinLossFraction[x_] := FractionPair[x][[p[x]]] ApPiList[x_] := Table[MinLossFraction[n], {n, 4, x}] MP[x_] := ApPiList[x][[Flatten[ Position[Abs[ApPiList[x] - Pi], Min[Abs[ApPiList[x] - Pi]]]][[1]]]] 改进的地方在于，当分子确定时，分母的取值范围已经缩小到了只有两个数，即不超过分子除以 的最大质数以及大于分子除以 的最小质数。这就导致了对于每一个 ，所需要做的除法只有两次。按照目前的测试，计算 只需要0.3s，而计算 也只用了3.8s。
如果有更好的算法，可以在评论进行回复
重磅！！！
经过接近9小时的运算，答主已经将 的值算了出来。截图如下：
有需要的读者可以复制结果进行使用。
最高票答案的素数之比稠密并不是多难证明的问题，这就是个素数定理的简单推论，评论里不能写公式，单写一下证明吧：
素数定理
给定任意正数 ，都有：
极限大于1，说明只要x足够大， 和 之间必然有至少一个质数。
利用这个，对于任意正实数a，给定任意邻域大小 ，找一对素数p,q满足
怎么找，很简单，转换一下：
所以根据前面的结论，只要aq足够大（先找一个足够大的质数q）， 和 之间必然有一个质数p，证毕。
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找一位好的编曲老师，这绝对是能让你的音乐创作更上一层楼的关键一步。不像找个修电脑的，编曲老师这事儿，得有点讲究，不能随便抓一个来就成。我来跟你掰扯掰扯，怎么才能找到那个对的人。首先，得搞清楚你想学啥，目标明确是第一步。你是因为对现有旋律想加入和声、节奏，让它更丰满？还是想从头开始，写出一段完整的乐队.............
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这个问题问得非常到位，也直指了《三体》系列中一个相当关键、也是许多读者会感到困惑的设定。既然要深入探讨，咱们就抛开那些冷冰冰的科学术语，用更具象、更生活化的方式来聊聊这个问题。首先，咱们得明白一个核心概念：在《三体》宇宙中，光速是绝对的极限。这意味着，任何信息在宇宙中传播的速度都无法超过光速。这可不.............
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寻找适合大屏幕演示的纯矢量Flash文件，这绝对是个技术活儿，需要点耐心和技巧。别担心，我这就一步步跟你聊聊，让你少走弯路。首先，咱们得明白什么是“全矢量绘制”的Flash文件，以及它为什么适合大屏幕演示。全矢量绘制的优势在哪？简单来说，矢量图是用数学公式来描述图形的，而不是像素点。这就意味着无论你.............
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