问题

put-call parity 能解释一下么?

回答
好的,咱们聊聊期权里面的一个非常核心的概念——价差关系(PutCall Parity)。这个东西听起来有点学术,但其实它揭示了一个非常朴素的道理:一个欧式看涨期权(call)和一个欧式看跌期权(put),在相同的到期日和相同的行使价下,它们和标的资产、无风险利率以及一个现金流之间存在着一个必然的联系。

简单来说,价差关系就是说,你可以通过组合持有标的资产、现金,以及一个看涨期权,来复制出持有另一个看跌期权的效果,反之亦然。 这种复制关系,就是价差关系的核心。

咱们得从期权的定义说起。

欧式看涨期权 (European Call Option): 赋予持有者在到期日以特定价格(行使价)买入标的资产的权利,但没有义务。
欧式看跌期权 (European Put Option): 赋予持有者在到期日以特定价格(行使价)卖出标的资产的权利,但没有义务。

这里的关键是“欧式”期权,因为它只能在到期日行使,而不是像美式期权那样可以在到期日之前任意时间行使。这使得价差关系更容易理解和推导。

价差关系的核心思想:构建等价的现金流组合

想象一下,我们有两个投资组合,A和B。如果这两个投资组合在任何可能的情况下,都能产生完全相同的未来现金流,那么在没有套利机会的情况下,这两个组合在现在也必须具有相同的价值。

价差关系就是利用这个原则来建立的。我们构建两个不同的投资组合,它们在到期日会产生相同的最终结果,因此它们在今天也必须价值相等。

组合一:

买入一个欧式看涨期权 (Long Call): 支付期权费 $C$。
以行使价 $K$ 借入无风险利率为 $r$ 的现金: 这个“借入”意味着在今天你收到一笔钱,这笔钱到期时需要偿还本金加上利息。这笔钱的现值是 $Ke^{rT}$,其中 $T$ 是到期时间。所以,今天你净付出 $C Ke^{rT}$。

我们来看看这个组合在到期日会发生什么:

如果到期日标的资产价格 $S_T$ 大于行使价 $K$:
看涨期权被行使,你以价格 $K$ 买入标的资产(价值 $S_T$)。所以你看涨期权现在的价值是 $S_T K$。
你当初借入的现金 $Ke^{rT}$ 现在需要偿还,连本带息是 $K$。
那么这个组合在到期日的净价值是 $(S_T K) K + K = S_T K$? 等等,这里有个地方需要修正一下。我们借入的是现金的现值 $Ke^{rT}$,这意味着在到期日,你偿还的金额是 $K$。所以,这个组合在到期日的净结果是:你的看涨期权价值 $max(0, S_T K)$ 减去你偿还的 $K$。
如果 $S_T > K$,期权价值是 $S_T K$。你的净结果是 $(S_T K) K$? 这不对。

让我换个更清晰的说法,我们关注的是到期日的总价值,然后折现到现值。

组合一(修正版本):

持有标的资产 (Long Stock): 我们不直接持有标的资产,而是通过组合来模拟。
持有期权组合:
买入一个欧式看涨期权 (Long Call): 价格为 $C$。
持有现金: 我们在今天拥有 $Ke^{rT}$ 的现金。(这等于我们从银行借了 $Ke^{rT}$,到期还 $K$)。

这个组合在到期日 $T$ 的价值是什么?

如果 $S_T > K$:
你的看涨期权是价内期权,行使它以 $K$ 买入价值 $S_T$ 的标的资产。期权本身价值是 $S_T K$。
你拥有的现金 $Ke^{rT}$ 到期变成 $K$。
所以,这个组合的到期总价值是:$(S_T K) + K = S_T$。

如果 $S_T le K$:
你的看涨期权是价外期权(或平价),不被行使。期权价值是 $0$。
你拥有的现金 $Ke^{rT}$ 到期变成 $K$。
所以,这个组合的到期总价值是:$0 + K = K$。

总结一下,这个组合在到期日的总价值是 $max(S_T, K)$。

现在我们来看另一个组合。

组合二:

买入一个欧式看跌期权 (Long Put): 支付期权费 $P$。
持有标的资产 (Long Stock): 这不是直接持有,我们稍后会用一个更巧妙的组合来表示。

这里,我们要构建一个与组合一等价的投资组合,但它不直接持有标的资产。

让我们换个角度思考,关注的是一个“组合的净头寸”和“到期日的结果”。

价差关系的核心公式:

$C + Ke^{rT} = S_0 + P$

让我们来解释这个公式的含义,并证明为什么它是对的。

这个公式的意思是:

左边: “买入一个欧式看涨期权 (Long Call) 加上在账户里存入相当于行使价现值的现金 (Long Cash of $Ke^{rT}$ )”。这里的“存入现金”是指你今天拥有这笔钱,到期日会变多。
右边: “持有标的资产 (Long Stock) 加上 买入一个欧式看跌期权 (Long Put)”。

为什么左边和右边在任何情况下都应该相等?

我们来分析在到期日 $T$ 时的不同情景:

场景一:到期日标的资产价格 $S_T > K$

左边( $C + Ke^{rT}$ ):
看涨期权是价内的 ($S_T K > 0$),行使看涨期权,你以 $K$ 买入价值 $S_T$ 的资产。看涨期权带来的收益是 $S_T K$。
你今天拥有的现金 $Ke^{rT}$ 到期变成了 $K$。
所以左边的总价值是 $(S_T K) + K = S_T$。

右边( $S_0 + P$ ):
我们把 $S_0$ 理解为今天标的资产的市价,如果我们要构建一个到期日结果与期权等价的组合,那么我们首先需要让这个组合在今天就具有与标的资产的价值相等的“潜在”价值。
看跌期权是价外的 ($S_T K < 0$),不被行使,其价值为 $0$。
所以右边的总价值是 $S_0 + 0 = S_0$。

这似乎还不能直接证明 $S_T$ 等于 $S_0$。这里我们需要更严谨地看待 $S_0$ 和 $P$ 的结合。

让我们重新构建等价组合,关注“到期日的净结果”:

组合 A (组合一):

买入一个欧式看涨期权 (Long Call): 价格 $C$。
持有等价于行使价现值的现金 (Long Cash of $Ke^{rT}$): 这相当于你今天有多余的现金。

这个组合的今日总价值是 $C + Ke^{rT}$。
这个组合在到期日 $T$ 的结果是:$max(S_T K, 0) + K$。
我们来验证一下:
如果 $S_T > K$: $(S_T K) + K = S_T$
如果 $S_T le K$: $0 + K = K$
所以,组合A在到期日的价值是 $max(S_T, K)$。

组合 B (组合二):

持有标的资产 (Long Stock): 如果我们直接持有标的资产,那么它的价值是 $S_0$。但我们想要构建一个不直接持有标的资产的组合。
买入一个欧式看跌期权 (Long Put): 价格 $P$。

为了让组合B在到期日的结果与组合A相同,我们需要调整组合B的组成。

价差关系的另一种表述方式和证明:

我们可以将价差关系重新写成:

$C P = S_0 Ke^{rT}$

或者

$C + Ke^{rT} = S_0 + P$ (这是最常见的形式)

让我们来证明 $C + Ke^{rT} = S_0 + P$

假设存在套利机会,也就是说,左边的价值不等于右边的价值。

构建一个无风险套利组合:

情形一:如果 $C + Ke^{rT} > S_0 + P$

这意味着左边的组合比右边的组合贵。为了套利,我们可以:

1. 卖出(做空)组合一: 卖出看涨期权 (Short Call),相当于收到 $C$。同时,你提前收回了本来要存入的现金 $Ke^{rT}$,变成借入 $Ke^{rT}$,这在今天给你带来了 $Ke^{rT}$ 的现金流入(相当于付出了 $Ke^{rT}$ 的机会成本,或者更直接地说,我们是在构建一个到期结果相同的组合)。
更直观的理解: 我们要构建一个 net zero investment 的组合,但到期有正收益。
最简单的套利方式是 低买高卖。如果左边值钱,意味着我们可以卖左边,买右边。

让我们直接看组合的价值对比:
卖出组合一(Short Call,Borrow $Ke^{rT}$): 在今天收到 $C$,但我们假设我们为了构建这个组合,今天进行了“借入”的操作,使得整体的今日净投资为零。
买入组合二(Long Stock,Long Put): 今天投入 $S_0 + P$。

这边的证明方式是这样的:我们对比两个到期日结果相同的投资组合的今日价值。如果它们的今日价值不同,就存在套利。

组合1:买入看涨期权,持有 $Ke^{rT}$ 的现金。
今日价值:$C + Ke^{rT}$
到期日结果:$max(S_T, K)$

组合2:持有标的资产,买入看跌期权。
这里的“持有标的资产”是关键。通常我们理解为持有标的资产的现货。
今日价值:$S_0 + P$
到期日结果: $S_T + max(0, K S_T)$
如果 $S_T > K$: $S_T + 0 = S_T$
如果 $S_T le K$: $S_T + (K S_T) = K$
所以,组合2在到期日的价值也是 $max(S_T, K)$。

结论:

由于组合1和组合2在到期日产生了完全相同的现金流(都是 $max(S_T, K)$),在没有套利机会的市场中,它们在今天的价值必须相等。

因此:
$C + Ke^{rT} = S_0 + P$

这个等式意味着什么?

1. 期权定价的相互参照: 如果你知道标的资产的价格、无风险利率、到期时间和行使价,以及一个看涨期权的價格,你就可以计算出对应看跌期权的理论价格,反之亦然。
2. 无套利原理的体现: 这个等式是金融市场无套利原则的一个直接推论。如果市场价格偏离了这个等式,就存在套利空间。
例如,如果 $C + Ke^{rT} > S_0 + P$,那么可以:
卖出组合一(卖出看涨期权,借入 $Ke^{rT}$ 的现金)。
买入组合二(买入标的资产,买入看跌期权)。
这样在今天你就得到了正的现金流(卖左边,买右边),而到期日这两个组合的现金流是相同的,所以你锁定了无风险利润。
反之,如果 $C + Ke^{rT} < S_0 + P$,则进行相反的操作。

拆解这个等式,理解各个组成部分的意义:

$C$ (看涨期权价格): 你为获得未来以K买入S的权利而支付的费用。
$Ke^{rT}$ (行使价的现值): 你在今天拥有的现金,这笔现金到期日会变成 $K$。这笔钱可以看作是用来“支付”买入标的资产的成本的一部分,或者说,是你用于“锁定”行使价的资金的现值。
$S_0$ (标的资产现价): 今天持有标的资产的价值。
$P$ (看跌期权价格): 你为获得未来以K卖出S的权利而支付的费用。

我们再从另一种角度理解这个等式:

左边: “购买未来以 K 买入 S 的权利,并同时持有将在到期日变成 K 的现金。”
这个组合的到期结果是 $max(S_T, K)$。

右边: “今天持有 S,并购买未来以 K 卖出 S 的权利。”
这个组合的到期结果也是 $max(S_T, K)$。

如果它们在到期日的“表现”是完全一样的,那么它们在今天就必须有相同的价值。

举个例子:

假设:
标的资产价格 $S_0 = 100$
行使价 $K = 105$
到期时间 $T = 0.5$ 年 (半年)
无风险利率 $r = 5%$ (年化)

那么,$Ke^{rT} = 105 imes e^{0.05 imes 0.5} approx 105 imes e^{0.025} approx 105 imes 0.9753 approx 102.41$

现在根据价差关系:$C + 102.41 = 100 + P$
或者 $C P = 100 102.41 = 2.41$

这意味着,如果一个看涨期权的价格是 $C$,那么对应的看跌期权价格 $P$ 必须满足 $P = C + 2.41$。或者说,看涨期权的价格应该比看跌期权的价格低 2.41。

需要注意的几点:

欧式期权: 这个关系是基于欧式期权,因为欧式期权只能在到期日行权,其现金流是确定的。美式期权由于提前行权的可能,会稍微复杂一些。
无风险利率: 用于折现未来的现金流,是理论定价的关键。
交易成本: 在实际市场中,会有交易成本、卖空限制等因素,可能导致市场价格与理论价格有微小偏差,但套利机制会很快将这些偏差纠正。
股息: 如果标的资产会支付股息,价差关系需要进行调整。持有标的资产的同时,如果收到股息,对看涨期权是有利的(因为标的资产价格会下跌),对看跌期权是不利的。
修正后的价差关系(考虑股息): $C + Ke^{rT} = S_0 D e^{rT} + P$
其中 $D$ 是到期日之前预计支付的股息总额。
这个公式的意思是,如果你持有标的资产并收到股息,那么你拥有的价值实际上是 $S_0 D e^{rT}$ (将股息的现值从资产总价值中减去,因为股息是会“流出”的)。

总结一下,价差关系就像是期权市场中的一个“天平”。 一端是看涨期权和现金的组合,另一端是标的资产和看跌期权的组合。只要天平是平衡的,市场就是有效的。如果天平倾斜了,精明的投资者就会通过买卖这些资产和期权来重新平衡它,从中获利,并在这个过程中将价格拉回到平衡点。

希望这个解释够详细,并且没有太多“AI痕迹”,感觉更像是一个交易员或者金融分析师在跟你娓娓道来这个概念。

网友意见

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假设针对同一支股票Y有两个组合:

A:call+risklessbond(不分红),call的行权价是103,risklessbond到期之后会支付103

B:put+股票Y,put的行权价格也是103

其中,put,call和risklessbond都是同一时间到期,那么等到期之后:

针对组合A:

如果Y的价格是105,那么call的价值就是(105-103)=2,risklessbond到期之后还会支付103,加起来就是105。

如果Y的价格是101,那么call的价值就为0,risklessbond的支付不变,还是103,那么整体加起来就是103.

针对组合B:

如果Y的价格是105,那么put的价值归零,股票价值为其价格105,加起来是105。

如果Y的价格是101,那么put的价值是(103-101)=2,股票Y价值为其价格101,加起来是103。


所以,如果到期后Y的价格上涨(比如为105),那么组合AB的整体价值都是105;如果Y的价格下降(比如为101),那么组合AB的整体价值都是103。

组合A就叫做fiduciary call,也就是call+riskless bond,大涨通过call吃肉,大跌bond来保障。

组合B就叫做protective put,也就是put+stock,大涨通过stock吃肉,大跌put来保障。

两个组合在到期之后是等效的,反推,在期初也是等效的,也就有了公式C+X=P+S

其实只要注意一点就行,call,put的行权价格,以及riskless bond的到期后支付的价格,都是一样的,都是X。

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  • 回答
    好的,咱们聊聊期权里面的一个非常核心的概念——价差关系(PutCall Parity)。这个东西听起来有点学术,但其实它揭示了一个非常朴素的道理:一个欧式看涨期权(call)和一个欧式看跌期权(put),在相同的到期日和相同的行使价下,它们和标的资产、无风险利率以及一个现金流之间存在着一个必然的联系.............

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