x=a，a为常数，这个图像是连续的吗？

在讨论 x=a（其中 a 是一个常数）这个图像的连续性之前，我们先要明确“图像”在这里指的是什么。在数学和图形学的语境下，x=a 通常描绘的是一个垂直于 x 轴的直线。

为了理解为什么这条直线是连续的，我们可以从几个角度来剖析：

1. 函数的视角：

我们可以将 x=a 看作是一个非常特殊的函数定义。虽然我们习惯于写 y=f(x) 这样的形式，但 x=a 实际上是在描述一个所有点 (x, y) 都满足 x 坐标恒等于 a 的几何图形。

如果硬要把它写成 y=f(x) 的形式，那会有点别扭。通常我们理解的函数是对于每一个合法的 x 值，都有唯一一个 y 值与之对应。而 x=a 的情况是，对于 x=a 这个唯一的 x 值，y 可以取任意的实数。

所以，更严谨地说，x=a 本身并不是一个以 x 为自变量的标准函数图像。它更像是一个在笛卡尔坐标系中，所有 x 坐标都固定为 a 的点的集合。

2. 点的连续集合：

现在，让我们聚焦于这个“点的集合”。在这个集合里，每一个点都长这样：(a, y)，其中 y 可以是任何实数。

我们可以想象一下，在这个集合中的点是如何排列的。当我们从某个 y 值开始（比如 y=0，点是 (a, 0)），然后慢慢增加 y 的值（y=0.1, 0.2, 0.3... 直到 y=1, 1.1, 1.2... 如此无限地向上），我们绘制出了一连串的点。这些点紧密地挨在一起，中间没有任何“断开”的地方。即使我们向下移动 y 的值（y=0.1, 0.2...），情况也一样。

从这个角度看，x=a 所代表的图像就是由无数个紧密相连的点组成的集合。这些点是如此之近，以至于在视觉上，我们看到的是一条不间断、没有缝隙的直线。

3. 从“邻域”的角度理解连续性：

在微积分中，我们讨论函数的连续性常常会用到“邻域”的概念。简单来说，如果一个函数的图像在某一点是连续的，意味着该点附近的函数值也“紧跟着”该点的值。

虽然 x=a 不是一个严格意义上的 y=f(x) 函数，但我们可以借用这个思想。考虑 x=a 这条直线上的任意一点，比如说 (a, y₀)。它的“邻居”是什么？它上面的邻居是 (a, y₀ + ε)，下面的邻居是 (a, y₀ ε)，其中 ε 是一个非常小的正数。

我们可以看到，无论我们选择直线上的哪一点 (a, y₀)，我们总能找到它“上面”和“下面”的点，并且这些点之间的距离可以任意小。不存在这样一个点，无论我们离它有多近，都找不到另一个属于 x=a 这条直线的点。

4. 可视化理解：

想象你在画这张图。你拿起笔，在纸上找到 x 轴上对应常数 a 的位置。然后，你将笔尖固定在那个 x 值上，并让它垂直于 x 轴向上或向下移动，不离开纸面。无论你画多远，你的笔尖始终保持在 x=a 这个垂直线上。你不需要提起笔来跳跃到另一个 x 值，因为所有的点都在同一个垂直线上。这种不间断的绘制过程，自然就构成了一条连续的线。

总结一下：

x=a 所代表的图像是一条垂直于 x 轴的直线。它之所以被认为是连续的，是因为：

它是由无数个紧密相连的点组成的集合。
从局部来看，任何一点的“邻居”都存在于这条直线上，且它们之间的间隔可以无限小。
在图形绘制上，它是一个不间断的轨迹。

它不像一个断点函数（例如，在一个点上突然出现一个跳跃），也不像一个只有几个孤立点的集合。这条直线就像数学世界中的一个实体，没有中断，没有间隔，是“完整”的。因此，我们可以肯定地说，x=a 的图像是连续的。

谢邀，这个问题其实不蠢，而且我觉得大部分数学本科生大概也不知道这个东西。研究这种一对多的分析学叫“多值分析”，在这个门类定义下这个“函数“是上半连续的 而且这类是最典型的上半连续。请和一般意义上的单值泛函的上（下）半连续区别开，这两者名字一样，但是不是一回事。上半连续多值映射是非常重要的一类映射，K. Deimling的教材管它叫multi而不是mapping，我这里偷懒一下，就叫映射了。( @Richard Xu 提醒到搞经济学的管这个叫correspondence）

这种映射在博弈论中具有非常基础的的作用，因为一个鞍点问题可以转化为一个多值映射的不动点问题。 上半连续性可以保证一类不动点成立。比如，下面的Brouwer不动点定理的多值推广(Kakutani fixed-point theorem)：

设 是 中的有界凸闭集，而映射 是一个上半连续，而且对于任意 , 是非空凸闭集，那么它有一个不动点 。

对于一个多值映射 , 对于此类多值映射，我们首先定义如下的原像：

然后我们可以如下定义上（下）半连续性

有些教材用hemicontinuous而不是用semicontinuous 来表示多值映射的“半连续“。

再重复一次，上半连续(u.s.c.) 是这样定义的， 对于任意闭集 , 是一个闭集。 如果这个映射是但值的，那么我们可以发现上（下）半连续就是连续。 对于上半连续，我们有下面的等价刻画：

你给的例子，是上半连续而不是下半连续的，也有下半连续，但是非上半连续的例子。比如

上半连续还可以通过 语言刻画，如果 是紧的，那么它等价于下面的刻画：设 , 对于任意 , 存在 使得

成立。

另一个等价刻画是这样的

事实上，类似于 的多值映射是典型的上半连续函数，这这个例子中你可以认为 , .

PS: 题主说自己的教授是做博弈的，那么他知道这种连续性是不奇怪的，这是他吃饭的家伙。当然了，大部分学过非线性泛函分析的人都应该知道这种映射。