常见的形如“定理P推出定理Q”的表述可能有两种含义。
第一种情况是这样的,我们已经认识了命题P的正确性,并把命题P称为一个定理。我们尚未认识命题Q是否是正确的。现在,利用了定理 P,我们推出了命题Q(请注意,此处仅仅是利用,并非是在证明Q是,P是必要的)。
换句话说,我们实际上证明了┣P和┣(P→Q)(┣X表示公理系统能推出命题X,手机只能打出来┣这个符号,凑合着看吧)。于是就有┣Q。
第二种情况下,我们可以去掉一些条件,证明推出。
例子已经有答主提过了,A.C.→Zorn's Lemma,就是在ZF里面推的。换句话说,ZF┣(A.C.→Zorn's Lemma) ZFC┣(A.C.)
然后ZF的公理都是ZFC的公理,所以就有ZFC┣(Zorn's Lemma)
从某种意义来说,第一个情况可以算是第二个情况的特例。
不管是哪个情况,重点在于,我们说命题P推出命题Q的时候,我们关心的不是他们重言等价这个事实,我们关心的是,我们是如何认识到Q是一个重言命题的。这个认识的过程借助了P是重言命题和P→Q是重言命题两个事实。