如何理解曾博所说的“看国外数学教材提高智商”？ 第1页

感觉中国的教材编写者普遍就是“我不管学生能不能看懂，反正我自己能看懂。”然后那些数学系的高材生你懂的。

其实老实说，他这话放在20年前确实是对的（今天教材啥样我不知道），这主要是教材的目的不一样。

国外的教材的第一目的是为了让人读懂。20年前国内教材的第一目的是为了选拔，让聪明人学会就行了。

有时国内的教材给我感觉就是要让大家按智商分层。

如果用国外教材，按照胡式不等式，都学会=都没学会。那还怎么选拔？这不是给老师添麻烦嘛。

智商通过后天数学训练的所谓提升都是假象。

跟什么教材完全无关。

【思维熟练度】的提升和【智商】容易被没有概念的人混为一谈。

曾先生，就是这些没概念的人之一。

另外，多数美国人数学之差令人发指，看来教材真的是功不可没。

哈哈哈哈哈哈，跟你们说，各大学自己出的数学教材都有个特点：对新手非常不友好。

因为很多教材是教师在炫耀知识、评定职称的渠道。而且不愁销路，所以根本不会考虑学生的需求。

很多都是为了打动评议会，对于知识的陈述喜欢搞得高屋建瓴、由大化小。看这些教材你得先懂，才能看明白，看完了可能还觉得教科书总结的角度有意思。

但如果你不懂，想靠看教材来学数学，那基本是很难的。

我一个清华数学系的哥们儿跟我说他读大学的时候就遇到这个问题，于是他都是去买那种函授大学的教材入门，然后回来再看学校给的教材。后来专业课都是国外的英语教材了才没这个问题。毕竟国外的教材是面向学生需求去撰写和编辑的。

我原先的回答我删掉了，因为我觉得没有必要写太多说理的东西。最简单的办法是每个人都去尝试看一本专业相关的国外知名的书。比如，学计算机的去读一读《CS:APP》，就知道这本书好在哪里了。当你知道一本好教材长什么样子，自然就知道不好的教材长什么样子了。

一些好书通常都有这些特点：

1. 知识点从早期的历史萌芽说起或者日常生活开始，一点点的讲起，娓娓道来。让每一个知识都有踪迹可循，它们不是与现实相距遥不可及的空中楼阁；你就会明白，你学的知识和它们的用处就在身边。
2. 丰富的插图，表格，具体的示例；这些都用来阐述知识和辅助读者的理解。
3. 有趣。不管是作者的个性，还是介绍知识的方式，还是让读者能感觉到知识本身的有趣。

不仅仅是教材，还有老师授课的方式。如果只是讲解概念，讲解怎么做题，不会有人觉得学习是有趣的一件事；相反，这让学习成了一种受罪。看看大学生就知道了，一个班级有几个人每天还在认真学习？为什么会成了这个样子，因为大多数学生在小学、初中和高中的学习过程受了罪，所以上了大学就再也不学了。一个受了罪的人，谁还愿意再受一回呢。只有傻子愿意。所以大学里面的学生，每天去学习的傻子是少的，大家都很聪明 -- 宁愿打没什么意思的游戏，也不愿意去看书（看书太受罪了）。当然，如果能够把学习从无趣变成有趣的事情，每个人可能都愿意积极的去学习了，这不仅仅是教材的问题，还有老师和教育体系的责任。

拿个例子来说，高中物理关于力和运动，虽然你可能会背公式，你知道这些知识怎么来的吗？我可以从生活找到这些知识：

我们生活中的大部分物体，都是静止不动的。早上出去晒的衣服，晚上还能在同一个地方找到收回家；昨天去吃的一家餐馆，今天还能去那里吃。衣服、餐馆这些东西都不会跑，一直保持了静止的状态。而那些运动的物体，比如一脚踢起来的皮球，被推动的椅子，都是因为外力的作用，从静止--->运动。并且，如果没有外力的作用，它们会永远运动下去，这则需要我们在头脑的想象中发现这一点：一个足够光滑的冰面上，扔一个小球，它会永远跑下去。以及骑自行车，跑起来之后，如果没有因为摩擦而减速，那么骑车的人就不要再瞪而能一直滑行；之所以需要一直踩，是因为自行车的运动状态被外力改变了。
上述的例子，几乎我们每一个都知道这样的事情发生在现实生活之中，知道物体有这样天生的保持静止和运动的属性，除非施加外力迫使它改变。从这个意义上，我们每一个人都是牛顿，都知道这样的事情，但就是没有总结这个规律和缺乏了更深一点的思考。所以说学习，本质上还是要爱智慧，思考和找到发生在这些事物上的本质的规律；这种思考是一件还算有趣的事情。再继续思考物理的静止-->运动，还是运动-->静止，我们会发现：摩托车一转油门很快就飞起来了，自行车踩好久才会跑那么快，火箭噌一下就起飞了，物体加速的快慢明显不同的。为想继续研究这个事情，想出一个设计方案，对一个物体施加不同的力，看看它怎么跑起来；或用同一个的力，施加在质量不同的物理上。经过这样的实验，就发现了这么规律：物理的加速快慢，与力成正比，与质量成反比，因此我们定义一个东西 a = f/m * k， k是一个可能的比例系数，a就表示了一个当前物体受某个力的作用下加速快慢的能力。k设置成1，不会影响我们研究这种能力。所以加速度是实验得来的，不是从课本的公式中学来的，也就发现了牛顿第二定律。为了研究物理在某个时刻的加速，基于不断微分的思想（画图），又得到a可以通过Δv/Δt计算出来。

如果有教材或老师带着学生去完成这个思维的探索和完成实验，那学生对这些知识会理解更加的深刻，而不需要死背公式和做题。也能够得到乐趣。在上面的示例只是物理入门基本的知识，但是即便在专业领域的学习，方法也可以同理。就拿《CS：APP》一书在讲解CPU在load和store过程时，该书就采用一个具体的代码，构造一个特定的函数参数；学生在模拟这段代码执行的过程，学习者就会自己发现「写读相关」这一个性能损耗的事情。你不需要愁眉苦脸的学习这个知识，因为你会能自己的脑子“几乎独立的”发现到这个知识。

很高兴，一些国外的教材就是这么做的；也很遗憾，我几乎没有看到一本这样的国内教材。包括严版的《数据结构》，唐版的《计算机组成原理》，这些书都被我扔进了垃圾桶。可能许多中国人古板惯了，不喜欢有趣，尤其那些上了年纪老头老太太写的书，整个书就一活脱脱的彻底无聊。我缺的是你给我讲概念吗？我不希罕的。人干嘛做这么一件无聊的一件事，学这种无聊的东西？我找什么工作不能养活自己？非得苦大仇深自虐折磨自己是不是，我没有那么变态的。后来，我去看《CS：APP》，看MIT出版的《算法导论》...这些书就有乐趣多了，人就会觉得知识是有趣的一件事情，不全是那么无聊，也就有了动力，能继续学习下去；这也是我每天工作有激情和看书不无聊的原因。

中国人自古就喜欢把学习当受罪，“头悬梁，锥刺股”，这种变态的方法都用上了；如果读书有乐趣，就犯不着这样强迫自己。我提倡快乐读书，读有趣的书，读王小波、卡尔维诺......即便是专业的教材也要尽可能有趣。希望这些回答对你有些启发。去读有乐趣的书，扔掉无聊乏味的书，就不会觉得学习是一种受罪。

恰恰相反，我觉得看国内的数学教材才能提高智商。

比如线性代数，MIT的线性代数手把手的从最底层的概念开始教，每一个概念恨不得给你十个具体例子让你理解，这样就难以培养抽象思维，容易把你的脑子惯坏。

而同济线性代数则从行列式开始，又抽象又难懂，不讲线性变换让你自己去悟，不给你例子让你自己理解，这才是锻炼智商的好方法。要是你能靠学同济线性代数学会线性代数，那意味着你的智商一定不低。

首先需要

他老人家，这样说错了就可以打黑猫的脸，然后赶紧改正了

这一点作为七本失败文科垃圾，在国内本科尝试自学数学（90%）失败，后在国外五本补上部分数学基础的黑猫是有部分有发言权的。（这里跑题了。说的是国外大学教材，但是道理是一样的）

很多人问黑猫，你干嘛在美国数学这么“垃圾”的地方学数学。先不吐槽美国数学“垃圾不垃圾”这个问题，首先要明确的是，国内有很多优秀本科数学教材和译文，比如：数分张筑生，线代蓝以中，泛函侯有良，西安交大工程复变， 上财译版Steven Shreve。假设即使有无良老师兜售自己的教材，在挑选好教材后依然可以继续学习。但是为什么作为文科四流专业的垃圾黑猫，偏偏在国内数学学不下来，到了“垃圾”的美国反而学会了呢。难道是用七本文科的垃圾数学去吊打“垃圾”的美国人了么，非也非也…… 其中有几个问题，既可以说是国情差异，也可以说是教学差异。

国内教材：

1.国内教材继承老派苏系数学教材，以传统的定义-逻辑路线，加之大量的熟练性，技巧性习题进行教学。这种教学是无可厚非的，因为这些都是非常重要的基础，黑猫自己就吃了自学没有练够的亏。但是这种教学方法不能说是完全没有问题的。首先某些过于抽象的概率在定义-逻辑路线下几乎是不可读的。（举个例子，sigma-algebra，在一开始用信息集意义讲解和传统集合论的方式讲解难度差别可以类比文明五的酋长和天神的差别）。智商比较一般的失败学生（比如我）一旦同时缺乏向死而生自残精神，容易直接被秒杀。多次之后积极性严重受挫彻底放弃学习数学。其次，大量技巧性的“神凑”，“天凑”，“鬼凑”，“荒天凑”，“史诗凑”，“传说凑”（等“显然的”变量代换），虽然对数学的学习很重要（黑猫自己吃了亏），然而这些确实也不是学习数学的全部。对这一方面的过度重视确实不太利于”天赋树“的形成。（当然，成功的数学人士完全可以认为黑猫是因为笨，懒，废物，题做得少而导致这些的，黑猫完全接受这些批评）

2.基于1的特征，国内的数学考试（尤其是考研），再加上国内考试重要的筛选性性质。会进一步（无论在课上还是教材上）重视基础学科（比如数分）学习上的“神凑”，“天凑”，“鬼凑”，“荒天凑”，“史诗凑”，“传说凑”。学生会在某重程度上进一步加强这些训练，而忽视“天赋树”的形成。（同样，黑猫完全接受关于笨，懒，废物，题做得少的批评）

3.由于教材的1和2特征，在一些“天赋树”至关重要的内容上。部分国内教材，教学进度（和考试需求）上能会因为对“神凑”，“天凑”，“鬼凑”，“荒天凑”，“史诗凑”，“传说凑”的需求，而导致对重要的天赋树节点不够重视。这一点不能说无可厚非了，因为各个领域的同学表示很多教材这个问题已经相当严重了。比如在复分析中傅立叶积分变换的教学中，对希尔伯特空间和投影等至关重要的概念不够重视，大量训练傅里叶级数的三角变换技巧和复积分技巧，导致最后难以理解其线性变换的本质。又比如在量子力学中，对复向量和酉变换等至关重要概念不够重视，大量训练复化的波动方程（你们知道我在说什么，应该出现在数学物理方法这门课里，而不是量子力学里）求解，导致学生淹没在偏微分方程的求解中而丢失方向

美国教材（或公开课）：

相比之下，美国公开课或教材与国内一般教材最大的不同是也对应上面的特征：1.非常重视天赋树；2.以概念掌握和例子为主，配合习题；3.对于重要的抽象概念，暂时放弃数学严谨性，以给予读者理解为优先级的情况下后将严格概念补上，或在更高等教材和课上补上。

对于这三点，黑猫印象最最深刻的例子，就是学习复分析中重要内容柯西-黎曼方程时，同时使用国内优秀教材西交大工程数学复变函数和著名教材“Visual Complex Analyst" ，同时体现了这三点多差异。

我们先看国内教材：

对不对，对极了。利用复微分的定义分实部虚部求导正出充分性（必要性用条件导出deltaZ的极限证出）。但是黑猫笨啊，蠢啊，失败啊。我除了看懂这个证明的每一步之外对这个条件“本质”完全一无所知啊～

再看美国教材：

先写出一个二维向量的雅可比矩阵，然后提取模长之后导出代表向量角的雅可比矩阵

然后暂时“放弃”严谨性，告诉我们。解析有个非常好的性质（充分条件)：保角变换，同时花了图，直观地告诉我们保角变换的意思指，该函数不会改变向量集里两向量之间的夹角

然后，再“放弃：一点严谨性，告诉我们这里的保角性等价于解析（到这里，好奇的人就会开始想为什么）

最后给出柯西-黎曼方程的时候恍然大悟，因为保角性“保住了”映射时向量的角（雅可比矩阵）。角被“保住了”后，函数的值的雅可比矩阵真的显然能推出是柯西-黎曼方程（对应一开始角的雅可比矩阵）

这一举，不但直观明了柯西-黎曼方程，给了极好的例子，在讲的过程中以保角为主线，顺便一路开枝散叶了很多拓扑里的东西。而在这个时候， 竟然还没严格提出共形映射（用保角映射代替了）。虽然”暂时“丢失了严谨性，但是哪个更加透彻不言而喻。

这样的讲解，显然是比直接去练习20道求导题深刻的，黑猫虽然没有去练神凑，但是智商确实已经+1

总结：

也说是国情，也说是无奈。在国内没有时间和机会对数学这样理解，也没有时间去将这些看起来没啥用的”本质“的东西。也许是因为“神凑”，“天凑”，“鬼凑”，“荒天凑”，“史诗凑”，“传说凑”，他们难，能练出扎实的分析功底，也能筛选出人才。但是从自学者，或者初学者的角度。有多少人能经受住这些“凑”们的攻势，又有多少人能在这些猛烈进攻下理一理没用的“天赋树”，学一学有趣却没用的本质呢。作为一个自学数学的文科失败者，没有足够的训练导致实力的垃圾和黑猫也是不幸和愚蠢和可悲，但是自学过程那些（自以为）+1+1+1的智商也是某种幸运吧

反正是个失败的金融矿狗，再怎么学这些都是失败的

彩蛋：

由于几个月前，的一个失败的flag：

黑猫还真的跟一个智障一样，失败地去学习量子力学了

在努力学习过英语的基础下，黑猫同时观看stanford量子力学公开课，wiki百科薛定谔方程，外加

李大嘴博士的悉心指导下，黑猫尝试卖了个叠加态的萌（顺便批判曾谨言，明明可以从线性代数的角度讲清楚的事情干嘛要一上来就搞PDE啊，还tm是复化的！）：

在物理大神观测（打脸）之前，黑猫不知道哪里有什么硬伤，卖萌处于|成功》和|失败》的叠加态。兴趣使然浪费时间，如果有错误，欢迎大神们观测（打脸）。观测完后有助黑猫知道自己是圆是扁，从而能够更加流畅地继续兴趣使然浪得时间。

不知道算不算对各种Boism 理论进行了实践

大学四年学废了的渣渣表示对国内教材深恶痛绝！

国内教材从来不告诉你这个东西是干什么用的，不仅没有具象的，抽象的也没有！

到现在我都不知道行列式是啥玩意儿，有什么用。

感觉就像一个昏昏欲睡的老头在给你讲自己闭门造车瞎编出来的故事。

你们说还有比这更失败的教育吗？

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我觉得我这样的渣渣虽然值得谴责，但是并不是教育就不存在问题。

教育的本质是服务学生，传授知识，而不是反过来学生去服务教育。

中国人不傻也不笨，比外国人还能吃苦，为什么能培养一千个工程师，就非要培养一百个，还都是些歪瓜裂枣？

那些自诩“好学生”的人也不必太过骄傲，你的成就比别人高，说明你更适应环境，值得肯定。但是，沙漠里的草，未必能长得必森林里的树还高，成就比你低的人，未必上限也比你差。

至少你的外在表现是“XXX也不是很难嘛。”这样的话小学生也能说：“两位数的加减法也不是很难嘛。”不要幻想别人的大脑结构比较低等，你能学到的东西别人完全学不到，可能是对方脑子里多走了几个弯路而已。

而更高阶的表现，你还没有表现出来。