如何简要介绍 sign problem in quantum Monte Carlo method？ 第1页

作为一名研究Quantum monte carlo（QMC）的博士生，我给大家详细介绍一下这个问题。

1，为什么会有QMC？

那是因为，在经典的物理模型里，系统的状态数目随着系统的大小，是呈现指数增加的。比如Ising模型，一个阵点，自旋的方向有上或者下两种状态，两个阵点，就是四种，三个粒子就是八种.......海森堡模型或者hubbard模型也是同样的道理。

这样的物理模型，假设状态数为M，想要得到精确的结果，就需要用对角化（ED），也就是求解一个M阶矩阵。现在的计算机，求解成千上万阶的矩阵都没有问题，但是再大，时间就变的非常非常的长。例如一个4X8的二维Ising模型，状态数就达到43亿，而4X8的模型在科研人员的眼里是小的不能再小的模型！因此，用对角化的方法求精确解就变的不太现实。

因此，常见的方法就是用蒙特卡洛抽样的方法，我们不用穷尽你所有的态，只需要选取一部分具有代表性的态进行抽样即可。这样就可以大大减小计算强度，把算法从指数增长变成多项式增长，使得求解更大的系统成为可能。这就是量子蒙特卡洛的由来。蒙特卡洛方法的原理，大家可以参考我这个回答。

当然，还有其他的解决这个问题方法，比如平均场近似（将其他粒子对该粒子的作用看成是一个场），DMRG（把系统不断的进行重整化，然后只保留可能包含基态的部分，剩下的统统丢弃），这些方法都有自己的优势和不足，就不再我的讨论范围之内了。

2，sign problem是如何出现的？

量子蒙特方法求解一个模型的某个物理量O（比如某处的自旋，关联函数，系统的基态能量等等），实际上就是对这个物理量进行抽样，然后加权平均，也就是下面这个式子。

这里O(i)是测量值，而w(i)是对应的权重。

但是，这里的权重有可能是负数，特别是在费米子的计算中，由于反对称性，分母中的权重很可能正负相抵，从而使分子分母都接近0，蒙特卡洛抽样变的没有意义。

为什么权重会出负数呢。我们用一个实例来说明一下。

比如，求hubbard模型的基态。hubbard模型是凝聚态物理一个非常重要的模型，它让电子在网格中自由hoping，由于泡利不相容原理，相同自旋的电子不能呆在同一个格点，而由于库伦排斥，不同自旋的电子呆在同一个格点，会产生排斥势U，它的哈密顿量表示如下：

这个模型，求解大系统的精确解是不可能的，原理同上，因此如果要想求解基态，我们可以用下面的方法来做

这里，右边代表的试探波函数，原理很简单，随着β的增加，基态由于能量最低，所占的比重越来越大，当趋近于无穷时，其他激发态的比重可以忽略不计，从而基态“脱颖而出”。

当然，我们实际上，需要把propagator拆成一小块一小块，然后对每一小块，都会有random walking，否则我们根本无法计算。最后的结果就是下式。

这里的i代表着walker的编号，如果我们想提高计算精度，就需要增大walker的数目。

最后我们计算基态能量，可以用如下的式子进行计算。

当然，如果求解某格点的自旋什么的，需要做back propagation，不能套用上面的式子。

这里的w(i)再乘上|φ(i)>与试探波函数的overlap对应着第i个walker的权重，当然实际上可能因为算法不同而有所变化。然而，因为费米子波函数的反对称性，只要不是半满填充，对于基态里任意一个|φ>，我们都能找到-|φ>，从而有

因此正负权重相抵，分母接近0，方差变的很大，实验结果惨不忍睹。

3，如何应对sign problem？

应对sign problem的方法有很多，一种典型的解决方法，也是我在做的，就是CPMC（Constrained path monte carlo）。方法就是，我们在做random walking的时候，要时刻监视每个walker权重的动向，一遇到负的权重，立刻斩草除根，就像下面这张图一样。下面的图， 左边是负权重，右边是正权重，我们让random walking待在正权重的区域。

然而，我们并不知道基态（要是我们知道了还求它干什么），所以这个边界的划定就会出现问题。CPMC的做法，是让试探波函数充当“边界裁判”，也就是舍弃掉和试探波函数的overlap为负的情况。

这就带来了一个问题，和试探波函数的overlap为负，并不代表和基态的overlap权重也为负。因此，CPMC的做法会“误伤友军”，从而带来系统偏差。

不过好在，这样的系统偏差，在小的系统和较小的排斥势U，小到可以忽略不计。所以CPMC在计算小模型和较小的排斥势U的时候，可以算的非常准，稍微大点的系统或者U，我们就需要用一个比较好的试探波函数了，如果试探波函数和基态接近，那就可以减少“误伤友军”的概率。这里我们可以用平均场理论的基态波函数作为试探波函数，或者用自洽迭代的方式，都可以提高计算的精度。用这种方法，在计算100个格点以内，U不大于8的模型，我们都能让能量误差控制在千分之一以内。

那么，能不能彻底解决sign problem？答案是不能，这个问题是NP-hardness problem。详情请见： https://arxiv.org/abs/cond-mat/0408370

虽然不能解决，但是我们可以通过各种方法来改善结果，只要能让误差控制在合理范围内，我们也能观测到很多有趣的现象，发现新世界。这就是QMC的魅力所在。

参考文献：

《Auxiliary-Field Quantum Monte Carlo for Correlated Electron Systems 》 by Shiwei Zhang，最后一张图的出处也在那里。