R^2 与 C 的区别在哪里？为什么有数学家认为复数用 a+bi 表示不好？

R² 与 C：同一片天空下的不同视角

在我们探索 R² 与 C 的区别之前，不妨先来感受一下它们各自的独特魅力。

R²：一个平面上的舞步

想象一下，我们站在一张巨大的画纸上，上面布满了纵横交错的网格。我们手中的一支笔，可以沿着水平方向（我们称之为 x 轴）和垂直方向（我们称之为 y 轴）自由移动。我们每一次落笔，都是在确定一个精确的位置——一个由两个数值定义的点。例如，我们可以说：“我在 x 轴方向前进 3 个单位，然后沿着 y 轴方向上升 2 个单位。” 这个点，就是由 (3, 2) 这个有序对来精确描述的。

这就是 R² 的世界。它是一个二维的实数空间，我们用一对实数 (x, y) 来表示空间中的任何一个点。这里的“R”代表实数集，而平方（²）则表明我们使用了两个实数组合来定义一个元素。在 R² 中，我们有清晰的距离概念（勾股定理），有直观的几何形状（直线、圆、三角形），一切都像是我们熟悉的三维世界在二维上的投影，充满了逻辑和美感。我们可以在这个平面上画画、测量、计算各种几何图形的面积和周长。

C：一条更广阔的河流

现在，让我们把目光投向 C。它代表了复数集。复数，初看起来有些神秘，它引入了一个我们之前未曾遇到的新成员——虚数单位 i。虚数单位 i 的定义非常简洁却又具有颠覆性：i² = 1。

从表示法上，复数通常写成 a + bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数。这里的 'a' 被称为复数的实部，而 'b' 则被称为复数的虚部。这个 a + bi 的形式，似乎是在实数 'a' 的基础上，增加了一个由 'b' 和 'i' 组成的“虚幻”部分。

如果我们尝试将复数 C 和 R² 对比，会发现它们之间有着千丝万缕的联系，但又不完全相同。我们可以将复数 a + bi 理解为 R² 中的一个点 (a, b)。这样一来，复数的加法 (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i 就对应于 R² 中点的向量加法 (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)。乘法也遵循特定的规则：(a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i。

然而，复数 C 的世界，比 R² 更加丰富和深刻。它不仅仅是一个二维平面上的点，它蕴含着更深层次的代数结构和更广泛的应用。

为什么一些数学家认为复数用 a+bi 表示不好？

尽管 a+bi 的表示法非常直观且易于理解，但对于一些数学家来说，它可能显得有些“不够纯粹”或“不够本质”。他们更倾向于从更抽象、更结构化的角度去理解复数，认为 a+bi 的形式可能隐藏了一些更根本的数学特性。

以下是一些可能的原因：

1. “虚幻”标签的误导性： “虚数”这个词本身就带有一种“不存在”或“不真实”的意味。然而，在数学和科学的实际应用中，复数和虚数单位 i 却扮演着至关重要的角色，它们能够完美地描述许多现实世界中的现象，例如交流电的分析、信号处理、量子力学等等。a+bi 的表示法，在一定程度上强化了这种“虚幻”的印象，而没有直接揭示其内在的“真实”作用和结构。

2. 结构化的缺失： a+bi 是一种“代数形式”，它强调了实部和虚部的分离。然而，复数集合 C 本身是一个更复杂的数学结构。它不仅是一个向量空间（可以进行加法），更是一个域（可以进行乘法和除法），并且它还具有一个非常重要的代数性质——代数闭合性，即任何次数的多项式方程在复数域内总是有根的。a+bi 的表示法并没有直接突出这些结构化的性质。

3. 对几何意义的限制： 虽然我们可以将 a+bi 映射到 R² 的点 (a, b)，并通过这种映射来理解复数的加法和一些几何意义（例如复数的模是到原点的距离，辐角是与正实轴的夹角），但这种映射并非完全等价于 C 的全部。例如，复数的乘法，在 R² 的角度下，涉及到旋转和伸缩的组合，这种几何解释虽然存在，但不如代数表示那么直接。更高级的复数理论，例如复分析，会涉及到更复杂的几何概念，如共形映射，a+bi 的表示可能不足以完全捕捉这些精妙之处。

4. 更抽象和统一的视角： 一些数学家追求更普遍、更抽象的数学框架。他们可能更倾向于将 C 看作是实数域 R 的一个扩张，或者更一般地，看作是某种代数结构的实现。例如，复数 C 可以被看作是具有特定乘法规则的二维向量空间，或者通过张量积等方式从实数构建出来。从这些更抽象的角度来看，a+bi 的形式更像是一种“具体实现”，而不是其最本质的定义。

5. 历史和哲学上的偏好： 早期数学家对虚数和复数的接受并非一帆风顺。对“虚幻”的抵触情绪也曾存在。对于一些追求数学严谨性和“实体感”的数学家来说，a+bi 的表示法可能仍然带有一些历史遗留的“不确定性”或“不直接性”。

总结一下，一些数学家认为 a+bi 表示法“不好”的原因，更多是出于追求数学的抽象性、结构化和普遍性。 他们希望找到一种更本质的方式来理解复数，一种能够直接揭示其代数结构、几何意义以及在更广泛数学理论中扮演角色的方法。这种偏好并非否定 a+bi 表示法的实用性或直观性，而是在探索数学更深层次的本质。

例如，从线性代数的角度，C 可以看作是实数域 R 上的一个二维向量空间，其基底可以是 1 和 i。在这种视角下，复数 a + bi 可以被看作是向量 [a, b]，而复数的乘法则可以表示为一种特殊的矩阵乘法：

$egin{pmatrix} a & b \ b & a end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} ax by \ bx + ay end{pmatrix}$

这里，复数 c + di 对应的矩阵是 $egin{pmatrix} c & d \ d & c end{pmatrix}$。两个复数相乘，就对应着两个矩阵的乘法。这种表示法直接揭示了复数乘法的线性代数结构。

从代数理论的角度，复数域 C 是实数域 R 的一个一次扩张，即 C = R[x] / (x² + 1)。这里的 x² + 1 是不可约多项式，通过将其视为零，我们便“创造”了虚数单位 i。这种观点更加强调了 C 作为代数结构的重要性。

所以，我们看到的是两种看待同一事物的不同方式：

R²： 关注的是点在二维平面上的位置、距离和几何形状，它是一个直观的几何空间。
C： 关注的是复数作为一种代数结构，它包含了实数域的所有性质，并且在此基础上增加了乘法运算的丰富性，例如能够解决所有一元高次方程。虽然我们可以用 R² 的点来表示复数，但 C 的内在结构和它所能解决的问题，远远超出了 R² 所能直接描述的范畴。

a+bi 的表示法，更像是为我们打开了进入 C 世界的一扇门，它让我们能够方便地进行计算和理解。而那些认为它“不好”的数学家，则是在这扇门后面，想要建造一座更宏伟、更精密的数学殿堂，去探索 C 本质的基石。

谢邀，就代数结构来说 是 的直和，它是一个环。但是 是一个数域，这个带来的直接后果是，如果 那么我们不能自然的写出它的逆。但是，如果 , 你可以自然的写出它的逆 . 这一点和实数一样，由此带来的另一个不同就是“微分”的定义不同。一个从 到 的函数和一个从 到 的函数上定义的「微分」可以有很大的区别。

作为一个一般的赋范空间，它的导数只能通过

的方式定义。你需要用到范数 才能让 有意义。但是在复数下，由于除法是天然有意义的，所以我们可以这样定义微分

这两种定义是不等价的，而且后者要明显强于前者(虽然上面两个式子出现各种0，但是它们表达的意义可能是不一样的)。 存在一个函数在前者顶一下可微，但是在后者定义下就不可微。后者这种「可微」函数是复分析的核心对象，也就是所谓的复解析函数。

至于为什么有些数学家觉得 表示不好，我估计他们更喜欢 的表示喽？也许他们只是喜欢coordinate free的方式。那么你得问他们了，我个人并不具有这种方面的偏好。

作为「集合」， 和 之间可以建立「双射」；在这个意义下，两者没有区别。

作为「实线性空间」， 和 同构（维数相同），维数为2；在这个意义下，两者没有区别。

作为「实内积空间」， 和 同构（存在保持内积的线性双射），这里的 上的内积定义为 ；在这个意义下，两者没有区别。

作为「度量空间」， 和 「等距同构」(存在保持距离的双射)；在这个意义下，两者没有区别。

作为「拓扑空间」， 和 「拓扑同构」（存在同胚映射）；在这个意义下，两者没有区别。

通常我们谈论 的时候考虑的是它的「域」的结构；而 通常指的是2维「实内积空间」（如果加上用「内积」定义的「角度」，也叫「欧几里得空间」）。在标准的欧几里得空间上是没有定义乘法的（不是没有（乘法）逆元，而是根本就没有「乘法」）。但是，在 这个集合上，我们可以定义「乘法」(使得每一个非零元素都有「乘法」逆元)：

。

可以直接验证，集合 加上这个乘法以及加法 构成一个「域」。把 定义为 ，这个「域」就对应我们熟悉的复数域 。事实上，这是我们定义复数的一种方法。

函数的微分是局部的线性近似。复数域 上的复函数与 上的二元实函数的微分的区别可以从 和 上线性变换的区别看出来。任何一个（1维复线性空间上的）复线性变换 对应一个（2维实线性空间上的）实线性变换 ；反之不成立。考虑给定的复数 ，其中 为实数。那么复线性变换 对应的（2维实线性空间上的）实线性变换是

。

（复线性变换 在1维复线性空间标准正交基下的 的「复」矩阵是 。）

由于这个原因，函数 的「微分」与函数 的「（复）微分」非常不一样。例如，函数 对应的 上的线性变换 可微，但是 不是复可微（由Cauchy-Riemann方程可知）。

为什么有数学家认为复数用 a+bi 表示不好？

复数的定义方法有多种，你可以在不同的场合使用不同的表达形式。脱离上下文谈论某个数学概念的某种表达形式的优劣没有意义。

例如，你可以定义 （以及相应的加法和乘法运算）。这种方式非常直接、具体。这种定义方式有一个「缺点」：在验证域公理的时候，某些计算会很繁琐。你试试证明由 定义的乘法的结合律看看？

但如果你用 这种定义，乘法结合律的证明就简单多了。另一方面，你如果想用Mathematica在复平面上画出集合 的样子，你会用 这种形式。

你加了「代数几何」的标签；我不懂「代数几何」，就写到这里。