1+2+3+4+…n和∫ xdx （X从1到n）之间的关系是什么？
你提出的问题很有意思，将一个简单的求和序列和一个积分联系起来，背后其实隐藏着一个非常深刻且重要的数学思想：微积分中的“求和逼近”思想。
简单来说，1加到n的求和，可以看作是把许多“小块”加起来，而积分 ∫ x dx（从1到n）则是在连续的区间上“累积”一个函数。这两者在“累积”的概念上有着共通之处，只是一个是在离散的点上，一个是在连续的面上。
我们来一步步拆解，看看它们之间是如何联系的。
离散的累加：1 + 2 + 3 + ... + n
你看到的 1 + 2 + 3 + ... + n，这是一个等差数列的求和。它代表着我们在数轴上，从1开始，依次加上2，再加上3，一直加到n。我们可以把它想象成是在数轴上画了许多长度分别为1、2、3…n的小段，然后把它们首尾相连起来，求出总长度。
有没有一个更直观的图景？想象一下你有一些堆叠起来的积木。第一层积木有1块，第二层有2块，第三层有3块，一直到第n层有n块。你把所有这些积木加起来，就是求和 1 + 2 + ... + n。
这个求和有一个著名的公式：
$$ sum_{i=1}^{n} i = frac{n(n+1)}{2} $$
你可能也见过高斯小时候快速算出这个的方法：把数列写两遍，一遍正序，一遍倒序，然后对应相加。
$$ S = 1 + 2 + 3 + ... + (n1) + n $$
$$ S = n + (n1) + (n2) + ... + 2 + 1 $$
$$ 2S = (1+n) + (2+n1) + (3+n2) + ... + (n+1) $$
$$ 2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) quad ( ext{共 } n ext{ 项}) $$
$$ 2S = n(n+1) $$
$$ S = frac{n(n+1)}{2} $$
这就像是把你的积木堆成一个三角形，然后你找到了一种方法来计算这个三角形的总积木数。
连续的累积：∫ x dx （x从1到n）
现在我们来看看积分 ∫ x dx，并且我们把它限制在从1到n的区间上。这个符号代表的含义是，我们要对函数 f(x) = x 在区间 [1, n] 上进行“累积”。
用更形象的比喻，如果把求和看作是数轴上的点，那么积分就是在数轴上“扫过”一个区域。想象一下你有一个形状，它的高度是随着你从左往右走而增加的，具体来说，在你走到的位置 x，这个形状的高度就是 x。你想知道从 x=1 到 x=n 这个区域的总“体积”是多少，这就是积分 ∫ x dx 从1到n 的意思。
积分 ∫ x dx 的结果是 $frac{1}{2}x^2 + C$ (C为常数)。当我们在区间 [1, n] 上计算定积分时，我们关心的是变化量，所以常数C会抵消掉，结果是：
$$ int_{1}^{n} x , dx = left[ frac{1}{2}x^2 ight]_{1}^{n} = frac{1}{2}n^2 frac{1}{2}(1)^2 = frac{1}{2}n^2 frac{1}{2} $$
两者之间的联系：逼近与极限
那么，这个离散的求和 1+2+...+n 和连续的积分 $int_{1}^{n} x , dx$ 之间有什么关系呢？
联系就在于“逼近”和“极限”这两个强大的数学概念。
我们可以把求和看作是积分的一种“离散化”或“近似”。
1. 几何上的理解：
我们可以用矩形来近似曲线下的面积。考虑函数 f(x) = x。
用右端点逼近（类似于求和）：我们可以把区间 [1, n] 分割成很多小段。假设我们将区间 [1, n] 分成 n1 个小区间，每个小区间长度为 1（例如 [1,2], [2,3], ..., [n1, n]）。
在区间 [1, 2] 上，我们可以取一个高度为 f(2) = 2 的矩形，面积是 1 2。
在区间 [2, 3] 上，我们可以取一个高度为 f(3) = 3 的矩形，面积是 1 3。
...
在区间 [n1, n] 上，我们可以取一个高度为 f(n) = n 的矩形，面积是 1 n。
这样，我们得到一个近似面积的求和：1 2 + 1 3 + ... + 1 n = 2 + 3 + ... + n。这和你的求和 1 + 2 + ... + n 只差一个“1”。
用左端点逼近：
在区间 [1, 2] 上，取高度 f(1) = 1 的矩形，面积 1 1。
在区间 [2, 3] 上，取高度 f(2) = 2 的矩形，面积 1 2。
...
在区间 [n1, n] 上，取高度 f(n1) = n1 的矩形，面积 1 (n1)。
这样得到近似面积的求和：1 1 + 1 2 + ... + 1 (n1) = 1 + 2 + ... + (n1)。这比你的求和少了一个“n”。
可以看到，用矩形逼近时，我们得到的求和（稍微调整一下起始点）非常接近于我们原始的求和 1 + 2 + ... + n。而当我们将区间分割得越来越细（也就是我们取的矩形越来越多，每个矩形的宽度越来越小），这些离散的矩形面积加起来就会越来越精确地逼近曲线 x 下方的真实面积，也就是定积分 $int_{1}^{n} x , dx$。
2. 更一般地看（黎曼和）：
积分的定义本身就是建立在求和的基础上的。黎曼积分就是将函数曲线下的区域分割成许多小矩形，然后将这些小矩形的面积加起来。如果我们对函数 f(x) 在区间 [a, b] 上进行分割，设分割点为 $x_0, x_1, x_2, ..., x_n$，其中 $a=x_0 < x_1 < ... < x_n = b$。
如果我们取每个小区间 $[x_{i1}, x_i]$ 上的一个点 $c_i$，那么积分的黎曼和可以表示为：
$$ sum_{i=1}^{n} f(c_i) Delta x_i $$
其中 $Delta x_i = x_i x_{i1}$ 是小区间 $[x_{i1}, x_i]$ 的宽度。
当分割越来越精细（所有 $Delta x_i$ 都趋近于0），并且区间的数量 n 趋向于无穷大时，这个黎曼和会趋近于定积分的值：
$$ int_{a}^{b} f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^{n} f(c_i) Delta x_i $$
在我们的例子中，f(x) = x，区间是 [1, n]。如果你把这个区间分割成很多个很小的段，比如从 1 到 1.1，再到 1.2，等等直到 n。在每个小段里，函数值近似等于该段的一个点的值。把这些“高度 × 宽度”累加起来，就得到了积分。
而我们的求和 1 + 2 + ... + n，可以看作是一个特别简化的黎曼和。如果我们考虑函数 f(x) = x，然后把区间 [1, n] 分成 n1 个长度为 1 的子区间 [1,2], [2,3], ..., [n1, n]。如果我们选每个区间的右端点作为代表（例如在 [1,2] 选 2，在 [2,3] 选 3），然后乘以区间宽度（这里是1），就得到了 2 + 3 + ... + n。这非常接近我们想要的求和。如果我们将区间单位长度，并直接对整数点求和，它就成了一个与积分概念非常相关的离散累加。
总结一下它们的关系：
求和 (1+2+...+n) 是在离散点上进行的累加，像是在数轴上一个一个地加上数值。
积分 ($int_{1}^{n} x , dx$) 是在连续区间上进行的累积，像是在一个光滑的曲线下方的区域内累加。
它们之间的联系在于：
1. 核心思想的相似性： 都代表着一种“累加”或“累积”的概念，只不过一个是在独立的“点”上，一个是在连续的“段”上。
2. 逼近关系： 求和可以被看作是积分的一种离散近似。当我们将求和的步长（或者说离散的点之间的距离）无限缩小，同时求和的项数趋于无穷时，求和的结果会越来越接近积分的值。这正是积分定义的精髓——将曲线下的面积“无限分割、无限逼近”的过程。
3. 微积分基本定理的影子： 虽然直接看求和和积分的公式 $frac{n(n+1)}{2}$ 和 $frac{1}{2}n^2 frac{1}{2}$ 并不完全相同，但它们都与 n 的平方 $frac{n^2}{2}$ 有关。这暗示着微积分基本定理（它连接了微分和积分）在更一般的意义上也是在描述一种累积与变化率之间的关系。对于等差数列求和，它本质上是对常数函数 1 的累加，其结果是线性函数 n+1 的变化，而 ∫ x dx 则是对线性函数 x 的累加，其结果是二次函数 $frac{1}{2}x^2$ 的变化。
简单来说，求和是积分的“离散版本”。我们可以把求和看作是“像素”级别的计算，而积分是“连续区域”的计算。在数学中，我们经常用精细的求和来近似和计算连续的量，反之亦然，这正是微积分的威力所在。
简单来说，1加到n的求和，可以看作是把许多“小块”加起来，而积分 ∫ x dx（从1到n）则是在连续的区间上“累积”一个函数。这两者在“累积”的概念上有着共通之处，只是一个是在离散的点上，一个是在连续的面上。
我们来一步步拆解，看看它们之间是如何联系的。
离散的累加：1 + 2 + 3 + ... + n
你看到的 1 + 2 + 3 + ... + n，这是一个等差数列的求和。它代表着我们在数轴上，从1开始，依次加上2，再加上3，一直加到n。我们可以把它想象成是在数轴上画了许多长度分别为1、2、3…n的小段，然后把它们首尾相连起来，求出总长度。
有没有一个更直观的图景？想象一下你有一些堆叠起来的积木。第一层积木有1块，第二层有2块，第三层有3块，一直到第n层有n块。你把所有这些积木加起来，就是求和 1 + 2 + ... + n。
这个求和有一个著名的公式：
$$ sum_{i=1}^{n} i = frac{n(n+1)}{2} $$
你可能也见过高斯小时候快速算出这个的方法：把数列写两遍，一遍正序，一遍倒序，然后对应相加。
$$ S = 1 + 2 + 3 + ... + (n1) + n $$
$$ S = n + (n1) + (n2) + ... + 2 + 1 $$
$$ 2S = (1+n) + (2+n1) + (3+n2) + ... + (n+1) $$
$$ 2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) quad ( ext{共 } n ext{ 项}) $$
$$ 2S = n(n+1) $$
$$ S = frac{n(n+1)}{2} $$
这就像是把你的积木堆成一个三角形，然后你找到了一种方法来计算这个三角形的总积木数。
连续的累积：∫ x dx （x从1到n）
现在我们来看看积分 ∫ x dx，并且我们把它限制在从1到n的区间上。这个符号代表的含义是，我们要对函数 f(x) = x 在区间 [1, n] 上进行“累积”。
用更形象的比喻，如果把求和看作是数轴上的点，那么积分就是在数轴上“扫过”一个区域。想象一下你有一个形状，它的高度是随着你从左往右走而增加的，具体来说，在你走到的位置 x，这个形状的高度就是 x。你想知道从 x=1 到 x=n 这个区域的总“体积”是多少，这就是积分 ∫ x dx 从1到n 的意思。
积分 ∫ x dx 的结果是 $frac{1}{2}x^2 + C$ (C为常数)。当我们在区间 [1, n] 上计算定积分时，我们关心的是变化量，所以常数C会抵消掉，结果是：
$$ int_{1}^{n} x , dx = left[ frac{1}{2}x^2 ight]_{1}^{n} = frac{1}{2}n^2 frac{1}{2}(1)^2 = frac{1}{2}n^2 frac{1}{2} $$
两者之间的联系：逼近与极限
那么，这个离散的求和 1+2+...+n 和连续的积分 $int_{1}^{n} x , dx$ 之间有什么关系呢？
联系就在于“逼近”和“极限”这两个强大的数学概念。
我们可以把求和看作是积分的一种“离散化”或“近似”。
1. 几何上的理解：
我们可以用矩形来近似曲线下的面积。考虑函数 f(x) = x。
用右端点逼近（类似于求和）：我们可以把区间 [1, n] 分割成很多小段。假设我们将区间 [1, n] 分成 n1 个小区间，每个小区间长度为 1（例如 [1,2], [2,3], ..., [n1, n]）。
在区间 [1, 2] 上，我们可以取一个高度为 f(2) = 2 的矩形，面积是 1 2。
在区间 [2, 3] 上，我们可以取一个高度为 f(3) = 3 的矩形，面积是 1 3。
...
在区间 [n1, n] 上，我们可以取一个高度为 f(n) = n 的矩形，面积是 1 n。
这样，我们得到一个近似面积的求和：1 2 + 1 3 + ... + 1 n = 2 + 3 + ... + n。这和你的求和 1 + 2 + ... + n 只差一个“1”。
用左端点逼近：
在区间 [1, 2] 上，取高度 f(1) = 1 的矩形，面积 1 1。
在区间 [2, 3] 上，取高度 f(2) = 2 的矩形，面积 1 2。
...
在区间 [n1, n] 上，取高度 f(n1) = n1 的矩形，面积 1 (n1)。
这样得到近似面积的求和：1 1 + 1 2 + ... + 1 (n1) = 1 + 2 + ... + (n1)。这比你的求和少了一个“n”。
可以看到，用矩形逼近时，我们得到的求和（稍微调整一下起始点）非常接近于我们原始的求和 1 + 2 + ... + n。而当我们将区间分割得越来越细（也就是我们取的矩形越来越多，每个矩形的宽度越来越小），这些离散的矩形面积加起来就会越来越精确地逼近曲线 x 下方的真实面积，也就是定积分 $int_{1}^{n} x , dx$。
2. 更一般地看（黎曼和）：
积分的定义本身就是建立在求和的基础上的。黎曼积分就是将函数曲线下的区域分割成许多小矩形，然后将这些小矩形的面积加起来。如果我们对函数 f(x) 在区间 [a, b] 上进行分割，设分割点为 $x_0, x_1, x_2, ..., x_n$，其中 $a=x_0 < x_1 < ... < x_n = b$。
如果我们取每个小区间 $[x_{i1}, x_i]$ 上的一个点 $c_i$，那么积分的黎曼和可以表示为：
$$ sum_{i=1}^{n} f(c_i) Delta x_i $$
其中 $Delta x_i = x_i x_{i1}$ 是小区间 $[x_{i1}, x_i]$ 的宽度。
当分割越来越精细（所有 $Delta x_i$ 都趋近于0），并且区间的数量 n 趋向于无穷大时，这个黎曼和会趋近于定积分的值：
$$ int_{a}^{b} f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^{n} f(c_i) Delta x_i $$
在我们的例子中，f(x) = x，区间是 [1, n]。如果你把这个区间分割成很多个很小的段，比如从 1 到 1.1，再到 1.2，等等直到 n。在每个小段里，函数值近似等于该段的一个点的值。把这些“高度 × 宽度”累加起来，就得到了积分。
而我们的求和 1 + 2 + ... + n，可以看作是一个特别简化的黎曼和。如果我们考虑函数 f(x) = x，然后把区间 [1, n] 分成 n1 个长度为 1 的子区间 [1,2], [2,3], ..., [n1, n]。如果我们选每个区间的右端点作为代表（例如在 [1,2] 选 2，在 [2,3] 选 3），然后乘以区间宽度（这里是1），就得到了 2 + 3 + ... + n。这非常接近我们想要的求和。如果我们将区间单位长度，并直接对整数点求和，它就成了一个与积分概念非常相关的离散累加。
总结一下它们的关系：
求和 (1+2+...+n) 是在离散点上进行的累加，像是在数轴上一个一个地加上数值。
积分 ($int_{1}^{n} x , dx$) 是在连续区间上进行的累积，像是在一个光滑的曲线下方的区域内累加。
它们之间的联系在于：
1. 核心思想的相似性： 都代表着一种“累加”或“累积”的概念，只不过一个是在独立的“点”上，一个是在连续的“段”上。
2. 逼近关系： 求和可以被看作是积分的一种离散近似。当我们将求和的步长（或者说离散的点之间的距离）无限缩小，同时求和的项数趋于无穷时，求和的结果会越来越接近积分的值。这正是积分定义的精髓——将曲线下的面积“无限分割、无限逼近”的过程。
3. 微积分基本定理的影子： 虽然直接看求和和积分的公式 $frac{n(n+1)}{2}$ 和 $frac{1}{2}n^2 frac{1}{2}$ 并不完全相同，但它们都与 n 的平方 $frac{n^2}{2}$ 有关。这暗示着微积分基本定理（它连接了微分和积分）在更一般的意义上也是在描述一种累积与变化率之间的关系。对于等差数列求和，它本质上是对常数函数 1 的累加，其结果是线性函数 n+1 的变化，而 ∫ x dx 则是对线性函数 x 的累加，其结果是二次函数 $frac{1}{2}x^2$ 的变化。
简单来说，求和是积分的“离散版本”。我们可以把求和看作是“像素”级别的计算，而积分是“连续区域”的计算。在数学中，我们经常用精细的求和来近似和计算连续的量，反之亦然，这正是微积分的威力所在。
网友意见
看这个图。事实上，1+2+...+n可以视作分点集{0,1,...,n}的达布(Darboux)上和，而不是达布下和，比积分值大是当然的(事实也是如此)。
对于一个某区间上的递增函数与给定分点集，其达布下和一定比积分值小；达布上和却比积分值大。
关于达布和，参见这里。
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