1，2，3，…，n。去掉1，将2挪在n后；去掉3，将4挪在2后，按此规律进行下去，最后留下的数字是？
这个问题很有意思！这其实是一个经典的约瑟夫环（Josephus problem）的变种问题。让我们一步一步来把它拆解清楚，看看最后剩下的是哪个数字。
问题的设定是这样的：
我们有一排数字，从1开始，一直到n。我们按照一个特定的规则进行“删除”和“移动”。
1. 第一次操作：
去掉数字1。
将数字2移动到n的后面。
2. 第二次操作：
从当前队列的头部（也就是原先的数字3）开始数，去掉第三个数。
将第四个数移动到前面第二个数字（也就是原先的数字2）的后面。
3. 以此类推：
每轮操作，我们都从当前队列的第一个数字开始数。
去掉队首的那个数字。
将紧随其后的那个数字（即当前队列的第二个数字）移动到队列的末尾。
重复这个过程，直到队列中只剩下一个数字。
咱们来举个例子，假设 n = 10，这样会更容易理解：
初始队列： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
第一轮操作：
我们从队首开始数。规则是“去掉1，将2挪在n后”。这里的“去掉1”是指去掉当前队列的第一个数字。
队列是：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
去掉第一个数字：1。
将第二个数字：2，移动到队列的末尾。
队列变为：3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2
第二轮操作：
规则是“去掉3，将4挪在2后”。这里更准确的理解是，我们从新的队列头部开始数，去掉第一个数字，然后把第二个数字放到队尾。所以，这里的“去掉3”是指去掉当前队列的第一个数字，而“将4挪在2后”是指将当前队列的第二个数字放到队尾。
当前队列是：3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2
去掉第一个数字：3。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 4
第三轮操作：
当前队列是：5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 4
去掉第一个数字：5。
将第二个数字：6，移动到队列的末尾。
队列变为：7, 8, 9, 10, 2, 4, 6
第四轮操作：
当前队列是：7, 8, 9, 10, 2, 4, 6
去掉第一个数字：7。
将第二个数字：8，移动到队列的末尾。
队列变为：9, 10, 2, 4, 6, 8
第五轮操作：
当前队列是：9, 10, 2, 4, 6, 8
去掉第一个数字：9。
将第二个数字：10，移动到队列的末尾。
队列变为：2, 4, 6, 8, 10
第六轮操作：
当前队列是：2, 4, 6, 8, 10
去掉第一个数字：2。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：6, 8, 10, 4
第七轮操作：
当前队列是：6, 8, 10, 4
去掉第一个数字：6。
将第二个数字：8，移动到队列的末尾。
队列变为：10, 4, 8
第八轮操作：
当前队列是：10, 4, 8
去掉第一个数字：10。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：8, 4
第九轮操作：
当前队列是：8, 4
去掉第一个数字：8。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：4
结论：
当 n = 10 时，最后留下的数字是 4。
规律的思考（稍微深入一点）：
这个问题描述的“去掉1，将2挪在n后；去掉3，将4挪在2后”这种表述，其实是描述了执行一次操作后，队列的下一个状态。我们实际执行的模式是：
1. 当前队列的第一个数字被移除。
2. 当前队列的第二个数字被移到队列的末尾。
这个过程循环往复。
我们可以把这个想象成一个链表或者队列数据结构。每次操作就是：
1. 弹出队头元素（这个元素被“去掉”）。
2. 将新的队头元素（原来是第二个）移到队尾。
用编程的语言来说，就是不断地将队头元素出队，然后将出队的下一个元素再入队，重复这个过程直到只有一个元素。
有没有更通用的方法？
对于这种约瑟夫环的变种问题，有时候可以通过数学推导找到规律，特别是当n比较大的时候，模拟会很耗时。但对于这个特定的规则（每轮去掉一个，另一个移到队尾），直接找到一个简洁的数学公式并不直观，通常还是通过模拟或者递归的方式来解决。
如果这个“去掉1，将2挪在n后”的描述，是特指了特定的编号（比如总是去掉编号为1的，然后移动编号为2的），那情况就完全不同了。但从“按此规律进行下去”来看，这里的1、2、3、4是位置上的概念，而不是数值上的概念。即：总是移除当前队列的第一个，然后移动当前队列的第二个到队尾。
总结一下这个规则的关键点：
总是从队列的第一个元素开始处理。
处理方式是：移除第一个元素，将第二个元素移到队尾。
这个过程循环进行，直到只剩一个元素。
所以，对于任何一个给定的n，我们都可以按照这个流程模拟下去，直到找到最后剩下的那个数字。刚才的 n=10 的例子就是这样得出的。
如果你想知道其他n的值会得到什么结果，可以继续用这个方法推算。比如，如果n=5，会是什么情况？
初始：1, 2, 3, 4, 5
1. 去掉1，2移到尾：3, 4, 5, 2
2. 去掉3，4移到尾：5, 2, 4
3. 去掉5，2移到尾：4, 2
4. 去掉4，2移到尾：2
所以，n=5时，留下的是2。
这个游戏确实挺有意思的，通过一步步的模拟，就能揭示出最后的答案。
问题的设定是这样的：
我们有一排数字，从1开始，一直到n。我们按照一个特定的规则进行“删除”和“移动”。
1. 第一次操作：
去掉数字1。
将数字2移动到n的后面。
2. 第二次操作：
从当前队列的头部（也就是原先的数字3）开始数，去掉第三个数。
将第四个数移动到前面第二个数字（也就是原先的数字2）的后面。
3. 以此类推：
每轮操作，我们都从当前队列的第一个数字开始数。
去掉队首的那个数字。
将紧随其后的那个数字（即当前队列的第二个数字）移动到队列的末尾。
重复这个过程，直到队列中只剩下一个数字。
咱们来举个例子，假设 n = 10，这样会更容易理解：
初始队列： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
第一轮操作：
我们从队首开始数。规则是“去掉1，将2挪在n后”。这里的“去掉1”是指去掉当前队列的第一个数字。
队列是：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
去掉第一个数字：1。
将第二个数字：2，移动到队列的末尾。
队列变为：3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2
第二轮操作：
规则是“去掉3，将4挪在2后”。这里更准确的理解是，我们从新的队列头部开始数，去掉第一个数字，然后把第二个数字放到队尾。所以，这里的“去掉3”是指去掉当前队列的第一个数字，而“将4挪在2后”是指将当前队列的第二个数字放到队尾。
当前队列是：3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2
去掉第一个数字：3。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 4
第三轮操作：
当前队列是：5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 4
去掉第一个数字：5。
将第二个数字：6，移动到队列的末尾。
队列变为：7, 8, 9, 10, 2, 4, 6
第四轮操作：
当前队列是：7, 8, 9, 10, 2, 4, 6
去掉第一个数字：7。
将第二个数字：8，移动到队列的末尾。
队列变为：9, 10, 2, 4, 6, 8
第五轮操作：
当前队列是：9, 10, 2, 4, 6, 8
去掉第一个数字：9。
将第二个数字：10，移动到队列的末尾。
队列变为：2, 4, 6, 8, 10
第六轮操作：
当前队列是：2, 4, 6, 8, 10
去掉第一个数字：2。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：6, 8, 10, 4
第七轮操作：
当前队列是：6, 8, 10, 4
去掉第一个数字：6。
将第二个数字：8，移动到队列的末尾。
队列变为：10, 4, 8
第八轮操作：
当前队列是：10, 4, 8
去掉第一个数字：10。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：8, 4
第九轮操作：
当前队列是：8, 4
去掉第一个数字：8。
将第二个数字：4，移动到队列的末尾。
队列变为：4
结论：
当 n = 10 时，最后留下的数字是 4。
规律的思考（稍微深入一点）：
这个问题描述的“去掉1，将2挪在n后；去掉3，将4挪在2后”这种表述，其实是描述了执行一次操作后，队列的下一个状态。我们实际执行的模式是：
1. 当前队列的第一个数字被移除。
2. 当前队列的第二个数字被移到队列的末尾。
这个过程循环往复。
我们可以把这个想象成一个链表或者队列数据结构。每次操作就是：
1. 弹出队头元素（这个元素被“去掉”）。
2. 将新的队头元素（原来是第二个）移到队尾。
用编程的语言来说，就是不断地将队头元素出队，然后将出队的下一个元素再入队，重复这个过程直到只有一个元素。
有没有更通用的方法？
对于这种约瑟夫环的变种问题，有时候可以通过数学推导找到规律，特别是当n比较大的时候，模拟会很耗时。但对于这个特定的规则（每轮去掉一个，另一个移到队尾），直接找到一个简洁的数学公式并不直观，通常还是通过模拟或者递归的方式来解决。
如果这个“去掉1，将2挪在n后”的描述，是特指了特定的编号（比如总是去掉编号为1的，然后移动编号为2的），那情况就完全不同了。但从“按此规律进行下去”来看，这里的1、2、3、4是位置上的概念，而不是数值上的概念。即：总是移除当前队列的第一个，然后移动当前队列的第二个到队尾。
总结一下这个规则的关键点：
总是从队列的第一个元素开始处理。
处理方式是：移除第一个元素，将第二个元素移到队尾。
这个过程循环进行，直到只剩一个元素。
所以，对于任何一个给定的n，我们都可以按照这个流程模拟下去，直到找到最后剩下的那个数字。刚才的 n=10 的例子就是这样得出的。
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1. 去掉1，2移到尾：3, 4, 5, 2
2. 去掉3，4移到尾：5, 2, 4
3. 去掉5，2移到尾：4, 2
4. 去掉4，2移到尾：2
所以，n=5时，留下的是2。
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网友意见
和约瑟夫问题同构
最后活下来的人可以列出递推式:
解出来可以写作:
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