数列「1，2，2，3，3，3，...」的通项公式是什么？
我们先来列出数列的前几项，并标记它们的项数：
第1项：1
第2项：2
第3项：2
第4项：3
第5项：3
第6项：3
第7项：4
第8项：4
第9项：4
第10项：4
...
观察数列的特点，我们可以发现几个关键点：
1. 数字的重复性：数字“1”出现一次，数字“2”出现两次，数字“3”出现三次，数字“4”出现四次，以此类推。
2. 重复次数的规律：数字 $k$ （$k$ 是一个正整数）恰好重复 $k$ 次。
有了这个初步的观察，我们就可以试着去描述数列的构成方式了。
第一个“1”占据了第1项。
接下来的两个“2”占据了第2项和第3项。
再接下来的三个“3”占据了第4项、第5项和第6项。
再接下来的四个“4”占据了第7项、第8项、第9项和第10项。
我们可以看到，某一个数字 $k$ 的出现，是建立在前面所有数字（1, 2, ..., $k1$）都按照它们的规律出现完毕之后。
我们来计算一下，到数字 $k$ 出现 之前，数列总共有多少项。
数字1出现1次。
数字2出现2次。
数字3出现3次。
...
数字$k1$出现$k1$次。
那么，到数字 $k1$ 最后一次出现为止，数列的总项数是：
$1 + 2 + 3 + dots + (k1)$
这是一个等差数列的求和，我们知道其公式是：
$frac{(第一个数 + 最后一个数) imes 项数}{2}$
所以，到数字 $k1$ 出现完毕，总共有 $frac{(1 + (k1)) imes (k1)}{2} = frac{k imes (k1)}{2}$ 项。
这意味着，从第 $frac{k(k1)}{2} + 1$ 项开始，到第 $frac{k(k1)}{2} + k$ 项为止，数列的值都是 $k$。
将 $frac{k(k1)}{2} + k$ 化简一下：
$frac{k(k1)}{2} + k = frac{k^2 k + 2k}{2} = frac{k^2 + k}{2} = frac{k(k+1)}{2}$
所以，数字 $k$ 出现在数列的 第 $frac{k(k1)}{2} + 1$ 项到第 $frac{k(k+1)}{2}$ 项 之间。
现在，我们想找到通项公式 $a_n$，也就是知道给定的项数 $n$，这个数列的第 $n$ 项的值是多少。
我们知道第 $n$ 项的值是 $k$，那么这个 $k$ 必须满足一个条件：
第 $n$ 项落在数字 $k$ 出现的区间内。
也就是说，我们希望找到一个 $k$，使得：
$frac{k(k1)}{2} < n le frac{k(k+1)}{2}$
这里的关键在于，对于给定的 $n$，我们想要找到那个第一个满足 $n le frac{k(k+1)}{2}$ 的正整数 $k$。一旦我们找到了这个 $k$，那么第 $n$ 项的值就是 $k$。
让我们把不等式 $n le frac{k(k+1)}{2}$ 变形一下，以便解出 $k$：
$2n le k(k+1)$
$2n le k^2 + k$
$k^2 + k 2n ge 0$
这是一个关于 $k$ 的二次不等式。我们可以考虑找到二次方程 $k^2 + k 2n = 0$ 的根。使用求根公式 $k = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$，这里 $a=1, b=1, c=2n$。
所以，$k = frac{1 pm sqrt{1^2 4(1)(2n)}}{2(1)} = frac{1 pm sqrt{1 + 8n}}{2}$
因为 $k$ 必须是正整数，我们只考虑正根：
$k = frac{1 + sqrt{1 + 8n}}{2}$
我们想要找到的是满足 $n le frac{k(k+1)}{2}$ 的最小正整数 $k$。
实际上，如果我们将 $n$ 代入上面的公式并计算，得到的 $k$ 值虽然可能不是整数，但它的向上取整（ceiling function）恰好就是我们需要的那个数字。
也就是说，第 $n$ 项 $a_n$ 的值就是 $lceil frac{1 + sqrt{1 + 8n}}{2} ceil$。
我们来验证一下这个公式。
例如，求第6项的值 ($n=6$)：
$a_6 = lceil frac{1 + sqrt{1 + 8 imes 6}}{2} ceil = lceil frac{1 + sqrt{1 + 48}}{2} ceil = lceil frac{1 + sqrt{49}}{2} ceil = lceil frac{1 + 7}{2} ceil = lceil frac{6}{2} ceil = lceil 3 ceil = 3$
数列的第6项确实是3。
例如，求第10项的值 ($n=10$)：
$a_{10} = lceil frac{1 + sqrt{1 + 8 imes 10}}{2} ceil = lceil frac{1 + sqrt{1 + 80}}{2} ceil = lceil frac{1 + sqrt{81}}{2} ceil = lceil frac{1 + 9}{2} ceil = lceil frac{8}{2} ceil = lceil 4 ceil = 4$
数列的第10项确实是4。
例如，求第11项的值 ($n=11$)：
$a_{11} = lceil frac{1 + sqrt{1 + 8 imes 11}}{2} ceil = lceil frac{1 + sqrt{1 + 88}}{2} ceil = lceil frac{1 + sqrt{89}}{2} ceil$
$sqrt{89}$ 大约是 9.43。
$a_{11} = lceil frac{1 + 9.43}{2} ceil = lceil frac{8.43}{2} ceil = lceil 4.215 ceil = 5$
数列的第11项是5。这是因为数字4一共出现了4次，到第10项为止。从第11项开始，数字5就出现了，它会重复5次。
所以，这个数列的通项公式可以表述为：
$a_n = lceil frac{1 + sqrt{1 + 8n}}{2} ceil$
其中，$n$ 是项数，从 1 开始计数，$lceil cdot ceil$ 表示向上取整函数。
另一种更直观的理解方式是，我们找到一个正整数 $k$，使得从第 1 项到第 $k(k+1)/2$ 项为止，这组数字包含了所有的1，所有的2，直到所有的 $k$。而我们要找的第 $n$ 项的值，就是那个包含第 $n$ 项的数字的那个值。
换句话说，第 $n$ 项的值是 $k$，当且仅当第 $n$ 项是第 $k$ 个数字的出现序列中的一员，并且它不是第 $k1$ 个数字的出现序列的最后一项。
我们知道，第 $k1$ 个数字的最后一项是第 $frac{(k1)k}{2}$ 项。
所以，当第 $n$ 项的值是 $k$ 时，我们必须满足 $n > frac{(k1)k}{2}$ 并且 $n le frac{k(k+1)}{2}$。
这个不等式组的解法，最终导向了我们上面得到的那个向上取整的公式。
这个公式简洁地概括了数列“1，2，2，3，3，3，...”的规律：第 $n$ 项的值，是使得前 $k$ 个数字的总重复次数（$frac{k(k+1)}{2}$）首次大于或等于 $n$ 的那个整数 $k$。
网友意见
写一个零基础就能看懂的推导过程，主要给我的学生看。大神可以跳到最后。
看到这个问题首先想到的是 向下取整函数。
这个运算在美国高中的algebra2里会学，很多国际数学竞赛也会讲到，英文名叫greatest integer function:The greatest integer less than or equal to x.
举个例子 , ,
如果
那为什么向下取整函数可以帮助我们找到这个数列的通项公式？
比如说一个数列是{1，2, 2.5, 3, 3.7, 3.9,}, 我对所有元素都向下取整就可以得到{1,2,2,3,3,3}了！
这样一来问题就很简单了。
我只需要找到一个连续的增函数(continuous increasing function )f(n)，让它满足
当n=1的时候，f(n)=1
当n=2的时候，f(n)=2，
当n=4的时候，f(n)=3
当n=7的时候，f(n)=4
...
那n=3,5,6的时候怎么办？
由于f(n)是个增函数，所以当n=3的时候，2<f(n)<3，再通过取整函数 就可以再得到一个2. 同样的道理， ,直到f(7)=4又开始4的循环。
好了，那f(n)怎么找呢？怎么样把{1,2,4,7...}给映射到{1,2,3,4...}上去？
注意到我们上面提到的{1,2,4,7...}本身是个二次数列。所以这里如果我们先找f(n)的反函数 ，再求解f(n)就简单多了！ 这边再回顾一下f（n）的定义是输入一个位置，输出一个数值，也就是通项公式的本质。 那么 就是输入一个数值，得到一个位置。
n=1,
n=2,
n=3,
n=4,
...
这里可以用二次数列的公式求解得到 ，如果不会二次数列，我们可以稍微想想自己推理一下：
第一个1出现在n＝1的位置。
第一个2出现之前已经有了一个1，所以第一个2出现在n＝2的位置。
第一个3出现之前已经有了一个1两个2，所以第一个3出现在n＝1+2+1的位置。
第一个4出现之前已经有了一个1两个2三个3，所以第一个4出现在n＝1+2+3+1的位置。
第一个n出现之前已经有了一个1两个2三个3四个4...，所以第一个n出现在n＝1+2+3+...（n-1）＋1的位置上。
也就是说 的值等于{1，2，3，4，5...}的前n-1项的和再加上1。 用等差数列求和公式可以得到：
＝（1＋（n-1））×（n-1）/2＋1，化简之后就是（2-n＋n²）/2.
好了，现在找有了 我们可以把f(n)算出来啦。
验算一下，
当n=1的时候，f(n)=1.
当n=2的时候，f(n)=2
当n=3的时候, f(n)=2.561553...
当n=4的时候，f(n)=3
当n=5的时候，f(n)=3.372281...
当n=6的时候，f(n)=3.701562...
当n=7的时候，f(n)=4
...
注意到只有当n=1,2,4,7...的时候f(n)才是整数，而中间得到的那些无理数向下取整之后又可以得到这一阶段的整数。
那么最终数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...}的通项公式就是
首先，我们不妨把题目理解为，数列中为连续n项n的列举，即数列的第项到第项都是n，这样更符合大多数人的认知。
我们可以考虑将第项找出一个单调递增的函数（二次函数的反函数）插值，然后第项到第项就必然介于n和n+1之间，故可以用高斯函数来解决。
求出在的反函数，用初中学过的求根公式即可：
故数列通项公式为。
在excel上试一下：
看起来是没问题的。
我来一个不一样的答案吧，这个答案我相信在OEIS上也搜不到。搜索圆周率小数点后的数字发现：第一次出现"122333"是在小数点后第2103717位到第2103722位。
于是数列的通项公式可以写成
其中符号 和 分别代表 的整数部分和小数部分。
证明：数列的第 项是圆周率 的小数点后第 位，也就是 的小数点后第一位，而小数点后第一位又等于 的整数部分，得证。
此数列在1,2,2,3,3,3之后的项是2,4,1,9,4,7,0,0,……
用类似的方法考虑自然常数 无理数 黄金分割率 欧拉-马斯克若尼常数 和阿培里常数
那么数列1,2,2,3,3,3……的通项公式分别是
类似的话题
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