数列1，22，333，4444……的通项公式是什么？
这道题其实并不难，关键在于观察和理解数列的构成规律。我们来一步步拆解，看看这个数列到底是怎么来的，然后推导出它的通项公式。
首先，我们仔细看看数列的每一项：
第一项是：1
第二项是：22
第三项是：333
第四项是：4444
你有没有发现一个很明显的规律？每一项都由同一个数字重复构成，而这个数字恰好就是它在数列中的“序号”。也就是说，第一项由数字1重复一次，第二项由数字2重复两次，第三项由数字3重复三次，以此类推。
第一步：理解每一项的数字构成
假设这个数列的通项公式是 $a_n$，那么：
$a_1 = 1$
$a_2 = 22$
$a_3 = 333$
$a_4 = 4444$
我们发现，第 $n$ 项 $a_n$ 就是由数字 $n$ 重复 $n$ 次构成的。
第二步：将重复的数字表示为数学形式
现在的问题是如何用数学公式来表示“数字 $n$ 重复 $n$ 次”这个概念。
我们知道，一个数字乘以 10 就是把它向左移一位（例如 3 变成 30），乘以 100 就是向左移两位（例如 3 变成 300），以此类推。
我们以第三项 333 为例来分析：
333 可以写成 3 100 + 3 10 + 3 1。
我们也可以把它写成 3 (100 + 10 + 1)。
再看第四项 4444：
4444 可以写成 4 1000 + 4 100 + 4 10 + 4 1。
这同样可以写成 4 (1000 + 100 + 10 + 1)。
注意到括号里的部分：(100 + 10 + 1) 和 (1000 + 100 + 10 + 1)。
它们都是由 1 组成，位数与数字重复的次数相同。
对于第三项 333 (数字 3 重复 3 次)，括号里是 100 + 10 + 1。
对于第四项 4444 (数字 4 重复 4 次)，括号里是 1000 + 100 + 10 + 1。
那么，对于第 $n$ 项 $a_n$ (数字 $n$ 重复 $n$ 次)，括号里的部分就应该是：
$10^{n1} + 10^{n2} + dots + 10^1 + 10^0$ (这里 $10^0 = 1$)
这不就是一个等比数列的和吗？首项是 1，公比是 10，项数是 $n$。
等比数列求和公式是：$S_n = frac{a(r^n 1)}{r 1}$
在这里，首项 $a=1$，公比 $r=10$，项数是 $n$。
所以，括号里的和就是：$frac{1(10^n 1)}{10 1} = frac{10^n 1}{9}$
现在，我们回到每一项的表达式：
$a_1 = 1 (frac{10^1 1}{9}) = 1 frac{9}{9} = 1$
$a_2 = 2 (frac{10^2 1}{9}) = 2 frac{99}{9} = 2 11 = 22$
$a_3 = 3 (frac{10^3 1}{9}) = 3 frac{999}{9} = 3 111 = 333$
$a_4 = 4 (frac{10^4 1}{9}) = 4 frac{9999}{9} = 4 1111 = 4444$
看起来这个规律完全吻合！
第三步：写出通项公式
所以，数列1，22，333，4444……的通项公式就是：
$a_n = n imes (frac{10^n 1}{9})$
我们可以把这个公式稍微整理一下，写成更常见的形式：
$a_n = frac{n(10^n 1)}{9}$
总结一下推导过程：
1. 观察规律： 每一项都是由其序号 $n$ 重复 $n$ 次构成的。
2. 数字分解： 将每一项的数字结构进行分解，例如 $333 = 3 imes 111$。
3. 核心部分提取： 发现重复数字后面的部分（1, 11, 111, 1111...）可以表示为 $10$ 的幂次和。
4. 等比数列求和： 将 $1, 11, 111, dots$ 的规律用等比数列求和公式 $frac{10^n 1}{9}$ 表示。
5. 组合公式： 将原始项中的重复数字 $n$ 与上述核心部分相乘，得到通项公式 $a_n = n imes frac{10^n 1}{9}$。
这个通项公式简洁地概括了整个数列的生成规律。
首先，我们仔细看看数列的每一项：
第一项是：1
第二项是：22
第三项是：333
第四项是：4444
你有没有发现一个很明显的规律？每一项都由同一个数字重复构成，而这个数字恰好就是它在数列中的“序号”。也就是说，第一项由数字1重复一次，第二项由数字2重复两次，第三项由数字3重复三次，以此类推。
第一步：理解每一项的数字构成
假设这个数列的通项公式是 $a_n$，那么：
$a_1 = 1$
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$a_3 = 333$
$a_4 = 4444$
我们发现，第 $n$ 项 $a_n$ 就是由数字 $n$ 重复 $n$ 次构成的。
第二步：将重复的数字表示为数学形式
现在的问题是如何用数学公式来表示“数字 $n$ 重复 $n$ 次”这个概念。
我们知道，一个数字乘以 10 就是把它向左移一位（例如 3 变成 30），乘以 100 就是向左移两位（例如 3 变成 300），以此类推。
我们以第三项 333 为例来分析：
333 可以写成 3 100 + 3 10 + 3 1。
我们也可以把它写成 3 (100 + 10 + 1)。
再看第四项 4444：
4444 可以写成 4 1000 + 4 100 + 4 10 + 4 1。
这同样可以写成 4 (1000 + 100 + 10 + 1)。
注意到括号里的部分：(100 + 10 + 1) 和 (1000 + 100 + 10 + 1)。
它们都是由 1 组成，位数与数字重复的次数相同。
对于第三项 333 (数字 3 重复 3 次)，括号里是 100 + 10 + 1。
对于第四项 4444 (数字 4 重复 4 次)，括号里是 1000 + 100 + 10 + 1。
那么，对于第 $n$ 项 $a_n$ (数字 $n$ 重复 $n$ 次)，括号里的部分就应该是：
$10^{n1} + 10^{n2} + dots + 10^1 + 10^0$ (这里 $10^0 = 1$)
这不就是一个等比数列的和吗？首项是 1，公比是 10，项数是 $n$。
等比数列求和公式是：$S_n = frac{a(r^n 1)}{r 1}$
在这里，首项 $a=1$，公比 $r=10$，项数是 $n$。
所以，括号里的和就是：$frac{1(10^n 1)}{10 1} = frac{10^n 1}{9}$
现在，我们回到每一项的表达式：
$a_1 = 1 (frac{10^1 1}{9}) = 1 frac{9}{9} = 1$
$a_2 = 2 (frac{10^2 1}{9}) = 2 frac{99}{9} = 2 11 = 22$
$a_3 = 3 (frac{10^3 1}{9}) = 3 frac{999}{9} = 3 111 = 333$
$a_4 = 4 (frac{10^4 1}{9}) = 4 frac{9999}{9} = 4 1111 = 4444$
看起来这个规律完全吻合！
第三步：写出通项公式
所以，数列1，22，333，4444……的通项公式就是：
$a_n = n imes (frac{10^n 1}{9})$
我们可以把这个公式稍微整理一下，写成更常见的形式：
$a_n = frac{n(10^n 1)}{9}$
总结一下推导过程：
1. 观察规律： 每一项都是由其序号 $n$ 重复 $n$ 次构成的。
2. 数字分解： 将每一项的数字结构进行分解，例如 $333 = 3 imes 111$。
3. 核心部分提取： 发现重复数字后面的部分（1, 11, 111, 1111...）可以表示为 $10$ 的幂次和。
4. 等比数列求和： 将 $1, 11, 111, dots$ 的规律用等比数列求和公式 $frac{10^n 1}{9}$ 表示。
5. 组合公式： 将原始项中的重复数字 $n$ 与上述核心部分相乘，得到通项公式 $a_n = n imes frac{10^n 1}{9}$。
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