数列 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1... 的通项公式是多少呢？

这道题看似简单，但要写出让大家都能看懂的通项公式，其实也有不少门道。咱们这就一步一步来捋清楚。

首先，咱们仔细观察一下这个数列：0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1...

它有什么规律呢？你会发现，这个数列并不是像等差数列那样每次都加一个固定的数，也不是像等比数列那样每次都乘一个固定的数。它似乎是在一个循环里跳跃：

第一项是 0
第二项是 1
第三项是 0
第四项是 1
第五项又是 0
第六项又是 1
...

看到了吧？每隔四项，这个数列的数值就会重复一次：0, 1, 0, 1。

这种周期性的出现，通常提示我们可以用与项数相关的函数来表示。我们设这个数列的通项公式为 $a_n$，其中 $n$ 代表项数，从 1 开始计数。

第一步：找到数值的周期性

我们看到，数值在 0, 1, 0, 1 这个模式里重复。这四个数构成了一个周期。

第二步：思考如何用项数 $n$ 来“定位”到这个周期里的哪个数

关键就在于怎么把项数 $n$ 和这四个位置（0, 1, 0, 1）对应起来。

我们试试用项数 $n$ 除以周期的长度 4，看看余数能给我们什么信息。

$n=1$：$1 div 4$ 余 1。对应的值是 0。
$n=2$：$2 div 4$ 余 2。对应的值是 1。
$n=3$：$3 div 4$ 余 3。对应的值是 0。
$n=4$：$4 div 4$ 余 0。对应的值是 1。
$n=5$：$5 div 4$ 余 1。对应的值是 0。
$n=6$：$6 div 4$ 余 2。对应的值是 1。

我们注意到，当余数是 1 或 3 的时候，数值是 0；当余数是 2 的时候，数值是 1；当余数是 0 的时候，数值是 1。

这里有个小问题：当 $n$ 是 4 的倍数时，我们通常说余数是 0。但在很多数学表达中，我们更倾向于使用 1, 2, 3, 4 来表示一个周期的结束，而不是 0。所以，我们可以稍微调整一下：

如果我们用 $n pmod 4$ 来表示余数，那么当 $n$ 是 4 的倍数时，余数就是 0。但是如果我们考虑的是第 1, 2, 3, 4 项，那么我们不妨把余数看作 1, 2, 3, 4。

让我们换一种方式来思考：如何用 $n$ 来生成 0, 1, 0, 1 这个序列？

方法一：利用三角函数（余弦函数）

三角函数，特别是余弦函数 $cos(x)$，天然地具有周期性。我们知道 $cos(0) = 1$，$cos(pi/2) = 0$，$cos(pi) = 1$，$cos(3pi/2) = 0$，$cos(2pi) = 1$。这个序列 1, 0, 1, 0 和我们的目标序列 0, 1, 0, 1 有点相似，但又差了点什么。

我们想让一个函数在 $n=1, 5, 9, ...$ 时取 0，在 $n=2, 6, 10, ...$ 时取 1，在 $n=3, 7, 11, ...$ 时取 0，在 $n=4, 8, 12, ...$ 时取 1。

注意到余弦函数 $cos( heta)$ 的周期是 $2pi$。如果我们让 $ heta$ 随着 $n$ 变化，并且每隔一定间隔出现特定的值，就可以构建出这个数列。

考虑 $cos(frac{pi}{2} n)$：
$n=1$: $cos(frac{pi}{2}) = 0$
$n=2$: $cos(pi) = 1$
$n=3$: $cos(frac{3pi}{2}) = 0$
$n=4$: $cos(2pi) = 1$

这还不是我们想要的 0, 1, 0, 1 的顺序。

再试试 $cos(frac{pi}{2} (n1))$：
$n=1$: $cos(0) = 1$
$n=2$: $cos(frac{pi}{2}) = 0$
$n=3$: $cos(pi) = 1$
$n=4$: $cos(frac{3pi}{2}) = 0$

这个结果是 1, 0, 1, 0。还是不对。

我们真正需要的是一个在 $n=2$ 时是 1，在 $n=4$ 时是 1 的函数。

再仔细看我们的目标序列：0, 1, 0, 1。
如果我们将 $frac{pi}{2}n$ 的角度稍微调整一下，让它在 $n=2$ 的时候是 $frac{pi}{2}$，在 $n=4$ 的时候是 $frac{3pi}{2}$，是不是可以呢？

考虑 $sin(frac{pi}{2}n)$：
$n=1$: $sin(frac{pi}{2}) = 1$
$n=2$: $sin(pi) = 0$
$n=3$: $sin(frac{3pi}{2}) = 1$
$n=4$: $sin(2pi) = 0$

这个序列是 1, 0, 1, 0。还是不对。

我们要的是 0, 1, 0, 1。
注意到 sin 和 cos 的关系，以及相位的偏移。

我们可以尝试 $cos(frac{pi}{2} n + phi)$ 或者 $sin(frac{pi}{2} n + phi)$。

如果我们希望在 $n=1$ 时是 0，那么 $frac{pi}{2} imes 1 + phi$ 对应的余弦值要是 0。这就意味着 $frac{pi}{2} + phi = frac{pi}{2}$ (或者 $frac{3pi}{2}$ 等)。
如果 $phi = 0$，我们刚才试过了。

试着把角度偏移一下，比如用 $n2$ 或者 $n1$ 作为自变量，然后乘以 $frac{pi}{2}$。

我们想要的序列是：
$a_1=0$
$a_2=1$
$a_3=0$
$a_4=1$

考虑函数 $cos(frac{pi}{2} (n2))$：
$n=1$: $cos(frac{pi}{2} (12)) = cos(frac{pi}{2}) = 0$
$n=2$: $cos(frac{pi}{2} (22)) = cos(0) = 1$
$n=3$: $cos(frac{pi}{2} (32)) = cos(frac{pi}{2}) = 0$
$n=4$: $cos(frac{pi}{2} (42)) = cos(pi) = 1$
$n=5$: $cos(frac{pi}{2} (52)) = cos(frac{3pi}{2}) = 0$

Bingo！这个函数 $cos(frac{pi}{2} (n2))$ 就完美地生成了我们的数列 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1...

所以，通项公式就是 $a_n = cos(frac{pi}{2} (n2))$。

我们可以验证一下：
当 $n=1$ 时，$a_1 = cos(frac{pi}{2} (12)) = cos(frac{pi}{2}) = 0$。
当 $n=2$ 时，$a_2 = cos(frac{pi}{2} (22)) = cos(0) = 1$。
当 $n=3$ 时，$a_3 = cos(frac{pi}{2} (32)) = cos(frac{pi}{2}) = 0$。
当 $n=4$ 时，$a_4 = cos(frac{pi}{2} (42)) = cos(pi) = 1$。
当 $n=5$ 时，$a_5 = cos(frac{pi}{2} (52)) = cos(frac{3pi}{2}) = 0$。

这样一来，我们就找到了一个基于三角函数的通项公式。

方法二：分段函数表示（更直接的数学语言描述）

虽然三角函数很优雅，但有时候我们也可以用更直接的数学表达方式。这种方式会直接根据项数 $n$ 的取值范围来定义公式。

我们之前观察到，数值的模式与 $n$ 除以 4 的余数有关。
当 $n pmod 4 = 1$ 或 $n pmod 4 = 3$ 时，数值是 0。
当 $n pmod 4 = 2$ 时，数值是 1。
当 $n pmod 4 = 0$ 时，数值是 1。

我们可以用这个来构建分段函数。不过，直接用模运算可能有点繁琐。我们可以考虑用 $n$ 本身的一些运算来区分这四种情况。

让我们换个角度来思考，如何用数学语言来描述 $n$ 的这四种状态？

状态 1 (值为 0): $n = 1, 5, 9, ...$ 这些数除以 4 余 1。可以写成 $n = 4k + 1$ 的形式，其中 $k = 0, 1, 2, ...$。
状态 2 (值为 1): $n = 2, 6, 10, ...$ 这些数除以 4 余 2。可以写成 $n = 4k + 2$ 的形式，其中 $k = 0, 1, 2, ...$。
状态 3 (值为 0): $n = 3, 7, 11, ...$ 这些数除以 4 余 3。可以写成 $n = 4k + 3$ 的形式，其中 $k = 0, 1, 2, ...$。
状态 4 (值为 1): $n = 4, 8, 12, ...$ 这些数是 4 的倍数。可以写成 $n = 4k$ 的形式，其中 $k = 1, 2, 3, ...$。

为了与前面三角函数公式的参数 $n2$ 保持一致，我们可以调整一下形式。
如果我们将项数从 $n=0$ 开始算，那么序列是 0, 1, 0, 1, ... (第一个数是 $a_0$)
$a_0 = 0$ ($0 pmod 4 = 0$)
$a_1 = 1$ ($1 pmod 4 = 1$)
$a_2 = 0$ ($2 pmod 4 = 2$)
$a_3 = 1$ ($3 pmod 4 = 3$)
$a_4 = 0$ ($4 pmod 4 = 0$)

如果我们从 $n=1$ 开始，序列是 0, 1, 0, 1, ... (第一个数是 $a_1$)
$a_1 = 0$ ($1 pmod 4 = 1$)
$a_2 = 1$ ($2 pmod 4 = 2$)
$a_3 = 0$ ($3 pmod 4 = 3$)
$a_4 = 1$ ($4 pmod 4 = 0$)

注意到余数的模式 1, 2, 3, 0。我们想要的值是 0, 1, 0, 1。

怎么样才能把这个余数映射到值呢？

考虑一个函数 $f(r)$，其中 $r$ 是 $n pmod 4$ 的结果。
当 $r=1$ 时，$f(1)=0$
当 $r=2$ 时，$f(2)=1$
当 $r=3$ 时，$f(3)=0$
当 $r=0$ 时，$f(0)=1$

这不是一个简单的线性函数。

我们再回到三角函数 $cos(frac{pi}{2} (n2))$。
这里的 $frac{pi}{2} (n2)$ 实际上就是根据 $n$ 的值，给出了一个角度。
当 $n=1$, 角度是 $frac{pi}{2}$
当 $n=2$, 角度是 $0$
当 $n=3$, 角度是 $frac{pi}{2}$
当 $n=4$, 角度是 $pi$
当 $n=5$, 角度是 $frac{3pi}{2}$

这些角度是 $frac{pi}{2}, 0, frac{pi}{2}, pi, frac{3pi}{2}, 2pi, ...$
这些角度的步长是 $frac{pi}{2}$。

一个更“数学化”但理解起来可能稍有门槛的表达方式是：

设 $n$ 是项数（从 1 开始）。

我们可以考虑 $n1$ 作为基础，因为我们希望在第一项就开始出现模式。
$(n1) pmod 4$ 的结果是：
$n=1 implies 0 pmod 4 = 0$
$n=2 implies 1 pmod 4 = 1$
$n=3 implies 2 pmod 4 = 2$
$n=4 implies 3 pmod 4 = 3$
$n=5 implies 4 pmod 4 = 0$

结果是 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3...
我们想要的值是 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1...

我们发现，当 $(n1) pmod 4$ 是 1 的时候，值为 1。
当 $(n1) pmod 4$ 是 3 的时候，值为 1。
当 $(n1) pmod 4$ 是 0 或 2 的时候，值为 0。

有没有办法把这个 $(n1) pmod 4$ 映射到 0, 1, 0, 1？

我们知道 $cos( heta)$ 的值：
$cos(0) = 1$
$cos(frac{pi}{2}) = 0$
$cos(pi) = 1$
$cos(frac{3pi}{2}) = 0$

如果我们能够让角度与 $(n1) pmod 4$ 对应起来，会怎么样？
我们想要：
当 $(n1) pmod 4 = 0$ 时，值是 0。
当 $(n1) pmod 4 = 1$ 时，值是 1。
当 $(n1) pmod 4 = 2$ 时，值是 0。
当 $(n1) pmod 4 = 3$ 时，值是 1。

这正好对应于 $sin(frac{pi}{2} imes ((n1) pmod 4))$ 的值：
$(n1) pmod 4 = 0$: $sin(0) = 0$
$(n1) pmod 4 = 1$: $sin(frac{pi}{2}) = 1$
$(n1) pmod 4 = 2$: $sin(pi) = 0$
$(n1) pmod 4 = 3$: $sin(frac{3pi}{2}) = 1$

所以，另一个通项公式就是 $a_n = sinleft(frac{pi}{2} ((n1) pmod 4) ight)$。
这个公式直接利用了模运算来处理周期性。

对比和总结

我们找到了两种通项公式：

1. $a_n = cosleft(frac{pi}{2} (n2) ight)$
2. $a_n = sinleft(frac{pi}{2} ((n1) pmod 4) ight)$

第一种方法利用了余弦函数的平移和缩放来匹配序列。它的优点是形式比较简洁，并且是“一眼看过去”就能明白它的周期性。

第二种方法则更直接地利用了模运算来处理周期性，将项数 $n$ 通过模运算转换成周期内的序号，再通过正弦函数将序号映射到具体的值。这种方法更侧重于数学上对周期的精确描述。

它们是等价的。
让我们简单验证一下它们的等价性：
对于 $a_n = sinleft(frac{pi}{2} ((n1) pmod 4) ight)$:
当 $n=1$, $a_1 = sin(frac{pi}{2} imes (0 pmod 4)) = sin(0) = 0$。
当 $n=2$, $a_2 = sin(frac{pi}{2} imes (1 pmod 4)) = sin(frac{pi}{2}) = 1$。
当 $n=3$, $a_3 = sin(frac{pi}{2} imes (2 pmod 4)) = sin(pi) = 0$。
当 $n=4$, $a_4 = sin(frac{pi}{2} imes (3 pmod 4)) = sin(frac{3pi}{2}) = 1$。
当 $n=5$, $a_5 = sin(frac{pi}{2} imes (4 pmod 4)) = sin(frac{pi}{2} imes 0) = sin(0) = 0$。

我们发现，
$frac{pi}{2}(n2)$ 的值序列是：$frac{pi}{2}, 0, frac{pi}{2}, pi, frac{3pi}{2}, 2pi, ...$
而 $((n1) pmod 4)$ 的值序列是：$0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, ...$
$frac{pi}{2} imes ((n1) pmod 4)$ 的值序列是：$0, frac{pi}{2}, pi, frac{3pi}{2}, 0, frac{pi}{2}, ...$

这两个角度序列看起来不一样，但是它们的正弦或余弦值序列是相同的（注意正弦和余弦的相位关系）。

例如，$cos( heta)$ 和 $sin( heta + frac{pi}{2})$ 是相同的函数（如果它们有相同的周期和起始值的话）。
$cos(frac{pi}{2} (n2)) = cos(frac{pi}{2}n pi)$
我们知道 $cos(x pi) = cos(x)$。
所以 $cos(frac{pi}{2}n pi) = cos(frac{pi}{2}n)$。

让我们重新检查一下 $cos(frac{pi}{2} (n2))$ 的计算：
$n=1: cos(pi/2) = 0$
$n=2: cos(0) = 1$
$n=3: cos(pi/2) = 0$
$n=4: cos(pi) = 1$
这没错。

再检查 $sin(frac{pi}{2}((n1)pmod 4))$：
$n=1: sin(0) = 0$
$n=2: sin(pi/2) = 1$
$n=3: sin(pi) = 0$
$n=4: sin(3pi/2) = 1$
这也没错。

这两个公式确实都表示了同一个数列。选择哪一个，更多的是看个人偏好或者应用场景的需要。在多数情况下，人们会更倾向于用三角函数来表达这种周期性，因为它在物理、工程等领域应用广泛，并且通常更容易进行数学分析。

所以，给出的数列 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1... 的通项公式，我们可以选择写成：

$a_n = cosleft(frac{pi}{2}(n2) ight)$

或者

$a_n = sinleft(frac{pi}{2}((n1) pmod 4) ight)$

这两个公式都能准确地描述这个数列的规律。

你看这样行吗？

PS：我一向喜欢原始和朴素。

这种周期数列，最好写通项的办法就是：先做DFT（离散傅里叶变换），再做IDFT（逆离散傅里叶变换）。

由于

可以看出来这个结果中得到的数列是原先的 的以 为周期的周期延拓，这从

就可以得到。

而

所以其IDFT为：

进一步的化简可自行完成（注意我这里的n从0开始，如果从1开始只需要把n换成n-1）。

这个方法从本质上可以解决任何有限长数列的周期延拓问题。

---

觉得麻烦的可以直接去看 @酱紫君 的代码……他的做法就是在

的基础上进行的，因为：

所以， ，只有在 的（相差整数个延拓周期）位置为1，从而：

即为直接延拓的公式。觉得矩阵计算麻烦的话，可以直接用这个算出N个延拓后系数，直接乘在原来0到N-1的数列上即可。