为什么由连续整数的行列式（三阶及以上）数值为0？
“为什么由连续整数的行列式（三阶及以上）数值为0？” 这是一个非常好的问题，它涉及到线性代数中关于行向量（或列向量）的线性相关性的一个核心概念。简单来说，当矩阵的行（或列）向量之间存在线性关系时，其行列式就为0。对于由连续整数组成的矩阵，尤其是在三阶及以上时，这种线性关系是必然存在的。
让我们来详细解释一下。
1. 行列式的几何意义：体积（或面积）与线性变换
在二维情况下，一个 $2 imes 2$ 矩阵的行列式表示由其行向量（或列向量）张成的平行四边形的面积。如果这两个向量是线性相关的，它们会落在同一条直线上，此时面积为0。
在三维情况下，一个 $3 imes 3$ 矩阵的行列式表示由其行向量（或列向量）张成的平行六面体的体积。如果这三个向量是线性相关的，它们会落在同一个平面上，此时体积为0。
对于高维矩阵，行列式代表了由其行向量（或列向量）张成的“高维平行多面体”的“体积”。当向量线性相关时，这个“体积”为0。
2. 线性相关性：向量的“冗余”
一组向量是线性相关的，意味着其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。换句话说，这组向量中存在“冗余”，它们并没有提供新的“独立”信息。
3. 构建连续整数矩阵：必然的线性关系
让我们考虑一个 $n imes n$ 的矩阵，其元素是连续整数。例如，一个三阶矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
a & a+1 & a+2 \
a+3 & a+4 & a+5 \
a+6 & a+7 & a+8
end{pmatrix}
$$
我们这里以一个通用的形式来表示，其中第一行的第一个元素是 $a$。你可以选择任何整数作为 $a$ 的起始值。
现在，我们来分析这个矩阵的行向量：
第一行向量: $r_1 = (a, a+1, a+2)$
第二行向量: $r_2 = (a+3, a+4, a+5)$
第三行向量: $r_3 = (a+6, a+7, a+8)$
我们尝试找出这些行向量之间的线性关系。观察行向量之间的差值：
$r_2 r_1 = ((a+3)a, (a+4)(a+1), (a+5)(a+2)) = (3, 3, 3)$
$r_3 r_2 = ((a+6)(a+3), (a+7)(a+4), (a+8)(a+5)) = (3, 3, 3)$
我们发现：
$r_2 r_1 = r_3 r_2$
通过简单的代数移项，我们可以得到：
$r_2 r_1 r_3 + r_2 = 0$
$2r_2 r_1 r_3 = 0$
这意味着，第三行向量 ($r_3$) 可以表示为第一行向量 ($r_1$) 和第二行向量 ($r_2$) 的线性组合：
$r_3 = 2r_2 r_1$
例如，如果 $a=1$：
$$
A = egin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
end{pmatrix}
$$
$r_1 = (1, 2, 3)$
$r_2 = (4, 5, 6)$
$r_3 = (7, 8, 9)$
$r_2 r_1 = (3, 3, 3)$
$r_3 r_2 = (3, 3, 3)$
所以，$r_2 r_1 = r_3 r_2$。
这表明 $r_3 = 2r_2 r_1$。
$2r_2 r_1 = 2(4, 5, 6) (1, 2, 3) = (8, 10, 12) (1, 2, 3) = (7, 8, 9) = r_3$。
因此，行向量是线性相关的。
4. 更一般化的证明（对于 $n imes n$ 连续整数矩阵，$n ge 3$）
考虑一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$，其中 $A_{ij} = a + (i1)n + (j1)$，或者更通用的形式，使得每一行的元素是连续整数，并且相邻行的元素也存在系统性的递增关系。
一个更简单的表示方式是：
$$
A = egin{pmatrix}
x & x+1 & x+2 & dots & x+n1 \
x+n & x+n+1 & x+n+2 & dots & x+2n1 \
x+2n & x+2n+1 & x+2n+2 & dots & x+3n1 \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
x+(n1)n & x+(n1)n+1 & x+(n1)n+2 & dots & x+n^21
end{pmatrix}
$$
其中 $x$ 是一个整数。
我们来看行向量的差：
设 $r_i$ 是矩阵的第 $i$ 行向量。
$r_i = (x+(i1)n, x+(i1)n+1, dots, x+(i1)n+n1)$
$r_{i+1} = (x+in, x+in+1, dots, x+in+n1)$
那么，$r_{i+1} r_i = (in (i1)n, (in+1) ((i1)n+1), dots, (in+n1) ((i1)n+n1))$
$r_{i+1} r_i = (n, n, dots, n)$ （这是一个由 $n$ 个 $n$ 组成的向量）
现在我们看相邻两行的差向量：
$r_2 r_1 = (n, n, dots, n)$
$r_3 r_2 = (n, n, dots, n)$
...
$r_n r_{n1} = (n, n, dots, n)$
这就意味着：
$r_2 r_1 = r_3 r_2$ （对于 $n ge 3$，我们有至少三行）
$r_3 r_2 = r_4 r_3$
...
$r_{n1} r_{n2} = r_n r_{n1}$
从 $r_2 r_1 = r_3 r_2$ 开始，我们可以推导出：
$r_2 r_1 r_3 + r_2 = 0$
$2r_2 r_1 r_3 = 0$
这是一个非零的线性组合，其中系数分别为 1, 2, 1，等于零向量。这证明了行向量 $r_1, r_2, r_3$ 是线性相关的。
如果 $n > 3$，我们可以继续利用这个规律。例如，我们还可以证明：
$r_3 r_2 = r_4 r_3 implies 2r_3 r_2 r_4 = 0$
这证明了 $r_2, r_3, r_4$ 也是线性相关的。
更普遍地，对于任意连续整数构成的 $n imes n$ 矩阵（只要行与行之间存在固定的整数差），存在一个线性关系 $c_1 r_1 + c_2 r_2 + dots + c_n r_n = 0$，其中 $c_i$ 不是全为零。
关键在于： 当矩阵的行（或列）的元素是连续整数时，每一行内部的元素间隔是1，而相邻行之间的元素值也存在一个固定的、相同的递增量（例如，上面的例子中是 $n$）。这个固定的差值导致了行向量之间的线性关系。
5. 列向量也存在同样的线性关系
同样地，我们也可以分析列向量。设 $c_j$ 是矩阵的第 $j$ 列向量。
$c_j = (A_{1j}, A_{2j}, dots, A_{nj})^T$
在上面的通用例子中：
$c_j = (x+j1, x+n+j1, x+2n+j1, dots, x+(n1)n+j1)^T$
观察相邻列向量的差：
$c_{j+1} c_j = (A_{1,j+1}A_{1j}, A_{2,j+1}A_{2j}, dots, A_{n,j+1}A_{nj})^T$
对于每一行，列元素都递增1：
$A_{i,j+1} A_{ij} = (x+(i1)n+j) (x+(i1)n+j1) = 1$
所以：
$c_{j+1} c_j = (1, 1, dots, 1)^T$
这就意味着：
$c_2 c_1 = (1, 1, dots, 1)^T$
$c_3 c_2 = (1, 1, dots, 1)^T$
...
$c_n c_{n1} = (1, 1, dots, 1)^T$
同理，对于 $n ge 3$：
$c_2 c_1 = c_3 c_2 implies 2c_2 c_1 c_3 = 0$
这表明列向量 $c_1, c_2, c_3$ 也是线性相关的。
6. 总结
行列式为零的充要条件是矩阵的行向量（或列向量）线性相关。
由连续整数构成的 $n imes n$ 矩阵（$n ge 3$）具有固定的结构：
行内部： 元素递增1。
行之间： 相邻行的元素值存在一个恒定的递增量（例如，上面例子中的 $n$）。
这种固定的结构必然导致行向量之间存在线性关系。 具体来说，例如 $r_3 = 2r_2 r_1$（或者其他形式的线性组合），这意味着其中一个行向量可以被其他行向量表示，因此行向量组不是线性无关的。
同样，这种结构也导致列向量之间存在线性关系，例如 $c_3 = 2c_2 c_1$。
因为存在线性相关的行（或列）向量，所以矩阵的行列式值为0。
这个性质在很多数学领域都有应用，它突显了线性代数中向量空间和线性变换的深刻联系。简单地说，连续整数的排列方式本身就蕴含了“冗余”的结构，使得它们无法在数学空间中“独立”地张成一个非零体积的区域。
让我们来详细解释一下。
1. 行列式的几何意义：体积（或面积）与线性变换
在二维情况下，一个 $2 imes 2$ 矩阵的行列式表示由其行向量（或列向量）张成的平行四边形的面积。如果这两个向量是线性相关的，它们会落在同一条直线上，此时面积为0。
在三维情况下，一个 $3 imes 3$ 矩阵的行列式表示由其行向量（或列向量）张成的平行六面体的体积。如果这三个向量是线性相关的，它们会落在同一个平面上，此时体积为0。
对于高维矩阵，行列式代表了由其行向量（或列向量）张成的“高维平行多面体”的“体积”。当向量线性相关时，这个“体积”为0。
2. 线性相关性：向量的“冗余”
一组向量是线性相关的，意味着其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。换句话说，这组向量中存在“冗余”，它们并没有提供新的“独立”信息。
3. 构建连续整数矩阵：必然的线性关系
让我们考虑一个 $n imes n$ 的矩阵，其元素是连续整数。例如，一个三阶矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
a & a+1 & a+2 \
a+3 & a+4 & a+5 \
a+6 & a+7 & a+8
end{pmatrix}
$$
我们这里以一个通用的形式来表示，其中第一行的第一个元素是 $a$。你可以选择任何整数作为 $a$ 的起始值。
现在，我们来分析这个矩阵的行向量：
第一行向量: $r_1 = (a, a+1, a+2)$
第二行向量: $r_2 = (a+3, a+4, a+5)$
第三行向量: $r_3 = (a+6, a+7, a+8)$
我们尝试找出这些行向量之间的线性关系。观察行向量之间的差值：
$r_2 r_1 = ((a+3)a, (a+4)(a+1), (a+5)(a+2)) = (3, 3, 3)$
$r_3 r_2 = ((a+6)(a+3), (a+7)(a+4), (a+8)(a+5)) = (3, 3, 3)$
我们发现：
$r_2 r_1 = r_3 r_2$
通过简单的代数移项，我们可以得到：
$r_2 r_1 r_3 + r_2 = 0$
$2r_2 r_1 r_3 = 0$
这意味着，第三行向量 ($r_3$) 可以表示为第一行向量 ($r_1$) 和第二行向量 ($r_2$) 的线性组合：
$r_3 = 2r_2 r_1$
例如，如果 $a=1$：
$$
A = egin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
end{pmatrix}
$$
$r_1 = (1, 2, 3)$
$r_2 = (4, 5, 6)$
$r_3 = (7, 8, 9)$
$r_2 r_1 = (3, 3, 3)$
$r_3 r_2 = (3, 3, 3)$
所以，$r_2 r_1 = r_3 r_2$。
这表明 $r_3 = 2r_2 r_1$。
$2r_2 r_1 = 2(4, 5, 6) (1, 2, 3) = (8, 10, 12) (1, 2, 3) = (7, 8, 9) = r_3$。
因此，行向量是线性相关的。
4. 更一般化的证明（对于 $n imes n$ 连续整数矩阵，$n ge 3$）
考虑一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$，其中 $A_{ij} = a + (i1)n + (j1)$，或者更通用的形式，使得每一行的元素是连续整数，并且相邻行的元素也存在系统性的递增关系。
一个更简单的表示方式是：
$$
A = egin{pmatrix}
x & x+1 & x+2 & dots & x+n1 \
x+n & x+n+1 & x+n+2 & dots & x+2n1 \
x+2n & x+2n+1 & x+2n+2 & dots & x+3n1 \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
x+(n1)n & x+(n1)n+1 & x+(n1)n+2 & dots & x+n^21
end{pmatrix}
$$
其中 $x$ 是一个整数。
我们来看行向量的差：
设 $r_i$ 是矩阵的第 $i$ 行向量。
$r_i = (x+(i1)n, x+(i1)n+1, dots, x+(i1)n+n1)$
$r_{i+1} = (x+in, x+in+1, dots, x+in+n1)$
那么，$r_{i+1} r_i = (in (i1)n, (in+1) ((i1)n+1), dots, (in+n1) ((i1)n+n1))$
$r_{i+1} r_i = (n, n, dots, n)$ （这是一个由 $n$ 个 $n$ 组成的向量）
现在我们看相邻两行的差向量：
$r_2 r_1 = (n, n, dots, n)$
$r_3 r_2 = (n, n, dots, n)$
...
$r_n r_{n1} = (n, n, dots, n)$
这就意味着：
$r_2 r_1 = r_3 r_2$ （对于 $n ge 3$，我们有至少三行）
$r_3 r_2 = r_4 r_3$
...
$r_{n1} r_{n2} = r_n r_{n1}$
从 $r_2 r_1 = r_3 r_2$ 开始，我们可以推导出：
$r_2 r_1 r_3 + r_2 = 0$
$2r_2 r_1 r_3 = 0$
这是一个非零的线性组合，其中系数分别为 1, 2, 1，等于零向量。这证明了行向量 $r_1, r_2, r_3$ 是线性相关的。
如果 $n > 3$，我们可以继续利用这个规律。例如，我们还可以证明：
$r_3 r_2 = r_4 r_3 implies 2r_3 r_2 r_4 = 0$
这证明了 $r_2, r_3, r_4$ 也是线性相关的。
更普遍地，对于任意连续整数构成的 $n imes n$ 矩阵（只要行与行之间存在固定的整数差），存在一个线性关系 $c_1 r_1 + c_2 r_2 + dots + c_n r_n = 0$，其中 $c_i$ 不是全为零。
关键在于： 当矩阵的行（或列）的元素是连续整数时，每一行内部的元素间隔是1，而相邻行之间的元素值也存在一个固定的、相同的递增量（例如，上面的例子中是 $n$）。这个固定的差值导致了行向量之间的线性关系。
5. 列向量也存在同样的线性关系
同样地，我们也可以分析列向量。设 $c_j$ 是矩阵的第 $j$ 列向量。
$c_j = (A_{1j}, A_{2j}, dots, A_{nj})^T$
在上面的通用例子中：
$c_j = (x+j1, x+n+j1, x+2n+j1, dots, x+(n1)n+j1)^T$
观察相邻列向量的差：
$c_{j+1} c_j = (A_{1,j+1}A_{1j}, A_{2,j+1}A_{2j}, dots, A_{n,j+1}A_{nj})^T$
对于每一行，列元素都递增1：
$A_{i,j+1} A_{ij} = (x+(i1)n+j) (x+(i1)n+j1) = 1$
所以：
$c_{j+1} c_j = (1, 1, dots, 1)^T$
这就意味着：
$c_2 c_1 = (1, 1, dots, 1)^T$
$c_3 c_2 = (1, 1, dots, 1)^T$
...
$c_n c_{n1} = (1, 1, dots, 1)^T$
同理，对于 $n ge 3$：
$c_2 c_1 = c_3 c_2 implies 2c_2 c_1 c_3 = 0$
这表明列向量 $c_1, c_2, c_3$ 也是线性相关的。
6. 总结
行列式为零的充要条件是矩阵的行向量（或列向量）线性相关。
由连续整数构成的 $n imes n$ 矩阵（$n ge 3$）具有固定的结构：
行内部： 元素递增1。
行之间： 相邻行的元素值存在一个恒定的递增量（例如，上面例子中的 $n$）。
这种固定的结构必然导致行向量之间存在线性关系。 具体来说，例如 $r_3 = 2r_2 r_1$（或者其他形式的线性组合），这意味着其中一个行向量可以被其他行向量表示，因此行向量组不是线性无关的。
同样，这种结构也导致列向量之间存在线性关系，例如 $c_3 = 2c_2 c_1$。
因为存在线性相关的行（或列）向量，所以矩阵的行列式值为0。
这个性质在很多数学领域都有应用，它突显了线性代数中向量空间和线性变换的深刻联系。简单地说，连续整数的排列方式本身就蕴含了“冗余”的结构，使得它们无法在数学空间中“独立”地张成一个非零体积的区域。
网友意见
我本科的时候学C++玩了半天行列式det，也输过连续自然数，我想题主是不是也是类似的情景。
由按行排列连续自然数组成的矩阵，以列的方式看也是等差数列。
5 6 7
8 9 10
11 12 13
5，8，11公差是3；6，9，12公差也是3……这样的话，做行变换：先第三减第二行，后第二行减第一行，
5 6 7
3 3 3
3 3 3
第二、三行相等……
那么四阶五阶的道理是一样的。
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