为什么多项式的根是系数的连续函数？
要理解为什么多项式的根是系数的连续函数，我们得从几个核心概念入手：微积分里的连续性、代数基本定理以及隐函数定理。这三者结合，就能勾勒出这个性质的来龙去脉。
一、 首先，什么是“连续函数”？
在数学里，一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处是连续的，意味着如果 $x$ 非常接近 $x_0$，那么 $f(x)$ 的值也会非常接近 $f(x_0)$。更严谨地说，对于任何一个小的正数 $epsilon$，总能找到一个正数 $delta$，使得只要 $|x x_0| < delta$，就有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。
对于多项式的根来说，我们关注的不是函数值 $f(x)$ 的连续性，而是根本身作为系数的函数时的连续性。也就是说，如果我们考虑一个多项式 $P(z) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0$，它的根是 $z_1, z_2, dots, z_n$。我们想知道的是，如果系数 $a_0, a_1, dots, a_n$ 发生一点微小的变化，那么这些根 $z_i$ 会如何变化。我们期望的是，系数的微小变化只会导致根发生微小的变化，而不是“跳跃式”的变化。
二、 代数基本定理与根的存在性
为什么多项式总是有根的？这正是代数基本定理告诉我们的。它指出，任何一个次数大于等于1的复系数多项式在复数域内至少有一个根。更进一步，一个 $n$ 次多项式恰好有 $n$ 个复根（计入重根）。
这个定理保证了我们有根可言。但它并没有直接说明根和系数之间的“连续性”。
三、 隐函数定理：连接方程与函数
现在，让我们引入一个关键的工具：隐函数定理。这个定理是多变量微积分里的一个强大工具，它能帮助我们处理由方程隐式定义的关系。
想象一下，我们有一个方程组，它定义了变量之间的关系。例如，考虑一个方程 $F(x, y) = 0$。如果我们知道在 $(x_0, y_0)$ 这一点满足方程，并且在这一点上，$frac{partial F}{partial y} eq 0$，那么隐函数定理告诉我们，在 $x_0$ 的一个邻域内，存在一个唯一的函数 $y = g(x)$，使得 $F(x, g(x)) = 0$ 恒成立，并且这个函数 $g(x)$ 是连续可微的。
我们怎么把多项式的根和这个联系起来呢？
考虑一个 $n$ 次多项式：
$P(z; a_0, a_1, dots, a_n) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0 = 0$
这里，我们将多项式的系数 $a_0, dots, a_n$ 看作是独立的变量。多项式的根 $z$ 就是满足这个方程的解。
我们可以将这个问题看作是一个隐函数问题。假设我们有一个特定的多项式 $P_0(z) = a_{n,0} z^n + dots + a_{0,0}$，它有一个根 $z_0$（假设是单根，这一点很重要）。这意味着 $P_0(z_0) = 0$。
现在，如果我们稍微改变多项式的系数，比如变成 $P_1(z) = (a_{n,0}+Delta a_n) z^n + dots + (a_{0,0} + Delta a_0)$。我们想知道，这会导致根 $z_0$ 变成什么新的根 $z_0 + Delta z$？
我们可以定义一个更广泛的函数：
$F(z; a_0, a_1, dots, a_n) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0$
我们关心的方程是 $F(z; a_0, dots, a_n) = 0$。这里的变量是 $z$ 和系数 $a_0, dots, a_n$。
根据隐函数定理的推广（可以处理多个参数），如果我们在一个特定系数组合 $(a_0^, dots, a_n^)$ 和一个根 $z^$ 处，$P(z^) = 0$，并且偏导数 $frac{partial P}{partial z}$ 在 $(z^, a_0^, dots, a_n^)$ 处非零，那么根 $z^$ 就是系数 $a_0, dots, a_n$ 的一个连续函数。
关键在于 $frac{partial P}{partial z}$ 在根处的非零性。
$frac{partial P}{partial z} = n a_n z^{n1} + (n1) a_{n1} z^{n2} + dots + a_1$
如果某个根 $z^$ 是一个单根，这意味着 $P(z^) = 0$ 并且 $P'(z^) eq 0$（其中 $P'(z) = frac{partial P}{partial z}$）。在单根的情况下，隐函数定理的条件得到满足。系数的微小变化 $Delta a_i$ 会导致根的微小变化 $Delta z$，并且 $Delta z$ 可以表示为系数变化的线性组合，这正是连续性的体现。
四、 重根是问题所在
那么，如果多项式有重根呢？
如果一个根 $z^$ 是多项式 $P(z)$ 的 $k$ 重根，那么 $P(z^) = 0$, $P'(z^) = 0, dots, P^{(k1)}(z^) = 0$, 但 $P^{(k)}(z^) eq 0$。
在重根处，$P'(z) = frac{partial P}{partial z} = 0$。这恰恰是隐函数定理应用时所要求的偏导数非零条件的失败。
当系数发生微小变化时，一个原来是重根的根可能会“分裂”成多个不同的根。这就像一个本来是完美的球体，在表面上受到轻微的扰动，可能会出现小的凹凸不平。
举个例子：
考虑多项式 $P(z) = z^2$。它在 $z=0$ 处有一个二重根。系数是 $a_2=1, a_1=0, a_0=0$。
如果我们将其变成 $P(z) = z^2 epsilon$（令 $a_0 = epsilon$），那么根是 $z = pm sqrt{epsilon}$。
当 $epsilon o 0$ 时，这两个根都趋向于 0。看起来似乎是连续的。
但问题在于，如果我们将多项式写成 $P(z) = (zr_1)(zr_2) dots (zr_n)$，其中 $r_i$ 是根。
展开后，$P(z) = z^n (r_1+dots+r_n)z^{n1} + dots + (1)^n r_1 r_2 dots r_n$。
系数与根之间存在着明确的代数关系（韦达定理）。
考虑一个 $n$ 次多项式。我们可以将其系数看作一个向量 $(a_n, dots, a_0)$。这是一个 $n+1$ 维空间中的一个点。这个点唯一地决定了多项式。多项式的根是这个点的一个“函数”。
我们不能简单地认为，一个 $n$ 次多项式“总是有” $n$ 个根，并且这些根会随着系数的变化而连续地移动。这是因为根的“身份”会随着系数的变化而改变，特别是在重根附近。
五、 如何严谨地表述？——根的“连续性”的复杂性
通常我们说多项式的根是系数的连续函数，是在排除重根的特定情况下，或者是在一个特定的根的“分支”上谈论连续性。
更准确地说，我们可以考虑系数空间的一个区域，在这个区域内，所有的多项式都恰好有 $n$ 个不同的根。在这个区域内，我们可以为每一个根指定一个“连续的”路径，使其依赖于系数。
想象一下，我们将系数从 $(a_n^0, dots, a_0^0)$ 沿着一条路径 $(a_n(t), dots, a_0(t))$ 变化，其中 $t$ 是参数。如果在这个过程中，多项式始终保持 $n$ 个互不相同的根，那么我们可以找到 $n$ 个连续的函数 $z_1(t), dots, z_n(t)$，使得 $P(z_i(t); a_0(t), dots, a_n(t)) = 0$。
这个“分支”的概念来自于复变函数理论。可以证明，在系数空间中，重根处是“奇点”。当系数绕过这些奇点时，根的标记可能会发生交换。
一个更直观的比喻：
想象一个地图，地图上的每个点代表一个多项式（由其系数决定）。地图上的“标签”是这个多项式的根。在大多数地方（系数远离导致重根的奇点），标签（根）会随着地图点的微小移动而平滑地移动。但是，在某些特殊的地方（系数导致重根），标签可能会发生突然的重组，一个根可能分成两个，或者两个根合并成一个。
总结一下：
1. 隐函数定理是关键理论基础： 它说明了在满足特定条件（特别是导数非零）下，方程的解（即根）是方程参数（即系数）的连续函数。
2. 单根是连续性的保证： 对于多项式的单根，其导数在该根处非零，因此隐函数定理保证了该根是系数的连续函数。
3. 重根是潜在的“不连续点”： 在重根处，导数为零，隐函数定理的条件不满足。系数的微小变化可能导致根的分裂或合并，使得根的“标识”发生剧烈变化，从这个意义上说，根不是所有系数的全局连续函数。
4. “根的连续性”通常指的是在特定的“分支”上，或者在不包含重根的系数区域内。 更严谨的说法是，多项式的根是系数的解析函数（在复系数域内），这意味着它们在非重根处是无限可微的，并且可以用泰勒级数展开。解析性比连续性要强得多。
所以，更准确的说法是：在远离产生重根的系数配置时，多项式的根可以被看作是系数的连续函数。在重根处，根的行为会变得复杂，它们会分裂成新的根，或者合并，使得连续性显得不那么明显，或者需要重新定义根的“顺序”和“标识”。
一、 首先，什么是“连续函数”？
在数学里，一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处是连续的，意味着如果 $x$ 非常接近 $x_0$，那么 $f(x)$ 的值也会非常接近 $f(x_0)$。更严谨地说，对于任何一个小的正数 $epsilon$，总能找到一个正数 $delta$，使得只要 $|x x_0| < delta$，就有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。
对于多项式的根来说，我们关注的不是函数值 $f(x)$ 的连续性，而是根本身作为系数的函数时的连续性。也就是说，如果我们考虑一个多项式 $P(z) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0$，它的根是 $z_1, z_2, dots, z_n$。我们想知道的是，如果系数 $a_0, a_1, dots, a_n$ 发生一点微小的变化，那么这些根 $z_i$ 会如何变化。我们期望的是，系数的微小变化只会导致根发生微小的变化，而不是“跳跃式”的变化。
二、 代数基本定理与根的存在性
为什么多项式总是有根的？这正是代数基本定理告诉我们的。它指出，任何一个次数大于等于1的复系数多项式在复数域内至少有一个根。更进一步，一个 $n$ 次多项式恰好有 $n$ 个复根（计入重根）。
这个定理保证了我们有根可言。但它并没有直接说明根和系数之间的“连续性”。
三、 隐函数定理：连接方程与函数
现在，让我们引入一个关键的工具：隐函数定理。这个定理是多变量微积分里的一个强大工具，它能帮助我们处理由方程隐式定义的关系。
想象一下，我们有一个方程组，它定义了变量之间的关系。例如，考虑一个方程 $F(x, y) = 0$。如果我们知道在 $(x_0, y_0)$ 这一点满足方程，并且在这一点上，$frac{partial F}{partial y} eq 0$，那么隐函数定理告诉我们，在 $x_0$ 的一个邻域内，存在一个唯一的函数 $y = g(x)$，使得 $F(x, g(x)) = 0$ 恒成立，并且这个函数 $g(x)$ 是连续可微的。
我们怎么把多项式的根和这个联系起来呢？
考虑一个 $n$ 次多项式：
$P(z; a_0, a_1, dots, a_n) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0 = 0$
这里，我们将多项式的系数 $a_0, dots, a_n$ 看作是独立的变量。多项式的根 $z$ 就是满足这个方程的解。
我们可以将这个问题看作是一个隐函数问题。假设我们有一个特定的多项式 $P_0(z) = a_{n,0} z^n + dots + a_{0,0}$，它有一个根 $z_0$（假设是单根，这一点很重要）。这意味着 $P_0(z_0) = 0$。
现在，如果我们稍微改变多项式的系数，比如变成 $P_1(z) = (a_{n,0}+Delta a_n) z^n + dots + (a_{0,0} + Delta a_0)$。我们想知道，这会导致根 $z_0$ 变成什么新的根 $z_0 + Delta z$？
我们可以定义一个更广泛的函数：
$F(z; a_0, a_1, dots, a_n) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0$
我们关心的方程是 $F(z; a_0, dots, a_n) = 0$。这里的变量是 $z$ 和系数 $a_0, dots, a_n$。
根据隐函数定理的推广（可以处理多个参数），如果我们在一个特定系数组合 $(a_0^, dots, a_n^)$ 和一个根 $z^$ 处，$P(z^) = 0$，并且偏导数 $frac{partial P}{partial z}$ 在 $(z^, a_0^, dots, a_n^)$ 处非零，那么根 $z^$ 就是系数 $a_0, dots, a_n$ 的一个连续函数。
关键在于 $frac{partial P}{partial z}$ 在根处的非零性。
$frac{partial P}{partial z} = n a_n z^{n1} + (n1) a_{n1} z^{n2} + dots + a_1$
如果某个根 $z^$ 是一个单根，这意味着 $P(z^) = 0$ 并且 $P'(z^) eq 0$（其中 $P'(z) = frac{partial P}{partial z}$）。在单根的情况下，隐函数定理的条件得到满足。系数的微小变化 $Delta a_i$ 会导致根的微小变化 $Delta z$，并且 $Delta z$ 可以表示为系数变化的线性组合，这正是连续性的体现。
四、 重根是问题所在
那么，如果多项式有重根呢？
如果一个根 $z^$ 是多项式 $P(z)$ 的 $k$ 重根，那么 $P(z^) = 0$, $P'(z^) = 0, dots, P^{(k1)}(z^) = 0$, 但 $P^{(k)}(z^) eq 0$。
在重根处，$P'(z) = frac{partial P}{partial z} = 0$。这恰恰是隐函数定理应用时所要求的偏导数非零条件的失败。
当系数发生微小变化时，一个原来是重根的根可能会“分裂”成多个不同的根。这就像一个本来是完美的球体，在表面上受到轻微的扰动，可能会出现小的凹凸不平。
举个例子：
考虑多项式 $P(z) = z^2$。它在 $z=0$ 处有一个二重根。系数是 $a_2=1, a_1=0, a_0=0$。
如果我们将其变成 $P(z) = z^2 epsilon$（令 $a_0 = epsilon$），那么根是 $z = pm sqrt{epsilon}$。
当 $epsilon o 0$ 时，这两个根都趋向于 0。看起来似乎是连续的。
但问题在于，如果我们将多项式写成 $P(z) = (zr_1)(zr_2) dots (zr_n)$，其中 $r_i$ 是根。
展开后，$P(z) = z^n (r_1+dots+r_n)z^{n1} + dots + (1)^n r_1 r_2 dots r_n$。
系数与根之间存在着明确的代数关系（韦达定理）。
考虑一个 $n$ 次多项式。我们可以将其系数看作一个向量 $(a_n, dots, a_0)$。这是一个 $n+1$ 维空间中的一个点。这个点唯一地决定了多项式。多项式的根是这个点的一个“函数”。
我们不能简单地认为，一个 $n$ 次多项式“总是有” $n$ 个根，并且这些根会随着系数的变化而连续地移动。这是因为根的“身份”会随着系数的变化而改变，特别是在重根附近。
五、 如何严谨地表述？——根的“连续性”的复杂性
通常我们说多项式的根是系数的连续函数，是在排除重根的特定情况下，或者是在一个特定的根的“分支”上谈论连续性。
更准确地说，我们可以考虑系数空间的一个区域，在这个区域内，所有的多项式都恰好有 $n$ 个不同的根。在这个区域内，我们可以为每一个根指定一个“连续的”路径，使其依赖于系数。
想象一下，我们将系数从 $(a_n^0, dots, a_0^0)$ 沿着一条路径 $(a_n(t), dots, a_0(t))$ 变化，其中 $t$ 是参数。如果在这个过程中，多项式始终保持 $n$ 个互不相同的根，那么我们可以找到 $n$ 个连续的函数 $z_1(t), dots, z_n(t)$，使得 $P(z_i(t); a_0(t), dots, a_n(t)) = 0$。
这个“分支”的概念来自于复变函数理论。可以证明，在系数空间中，重根处是“奇点”。当系数绕过这些奇点时，根的标记可能会发生交换。
一个更直观的比喻：
想象一个地图，地图上的每个点代表一个多项式（由其系数决定）。地图上的“标签”是这个多项式的根。在大多数地方（系数远离导致重根的奇点），标签（根）会随着地图点的微小移动而平滑地移动。但是，在某些特殊的地方（系数导致重根），标签可能会发生突然的重组，一个根可能分成两个，或者两个根合并成一个。
总结一下：
1. 隐函数定理是关键理论基础： 它说明了在满足特定条件（特别是导数非零）下，方程的解（即根）是方程参数（即系数）的连续函数。
2. 单根是连续性的保证： 对于多项式的单根，其导数在该根处非零，因此隐函数定理保证了该根是系数的连续函数。
3. 重根是潜在的“不连续点”： 在重根处，导数为零，隐函数定理的条件不满足。系数的微小变化可能导致根的分裂或合并，使得根的“标识”发生剧烈变化，从这个意义上说，根不是所有系数的全局连续函数。
4. “根的连续性”通常指的是在特定的“分支”上，或者在不包含重根的系数区域内。 更严谨的说法是，多项式的根是系数的解析函数（在复系数域内），这意味着它们在非重根处是无限可微的，并且可以用泰勒级数展开。解析性比连续性要强得多。
所以，更准确的说法是：在远离产生重根的系数配置时，多项式的根可以被看作是系数的连续函数。在重根处，根的行为会变得复杂，它们会分裂成新的根，或者合并，使得连续性显得不那么明显，或者需要重新定义根的“顺序”和“标识”。
网友意见
首先需要指出的是多项式的系数到根的映射并不是定义良好的，因为它可能是多值的。 具体地说，代数基本定理告诉我们 次多项式 在复数域 上有 个根 。用 表示多项式的系数到根的映射。如果直接将 定义成多项式的系数映射到根的序列，那么比如说 的值可能是 或 或 任一排列。这里的原因是没有一个简单的顺序来排列多项式的根（还保持连续性），当然你可以强行定义一个顺序，但这样不一定能保证 是连续的。事实上，不能可能存在连续的映射 将多项式的根映到系数。比如考虑多项式 ， 是复数，当 单位圆上变化时，我们看到这个多项式的两个根(即使允许排列)也不可能连续变化，感谢评论@王筝指出。但我们可以模掉排列这个等价关系，将多项式的系数到根的映射看成 到 的映射，即定义
这里 表示 元对称群。这样定义的 可以是连续映射。
下面我们来证明映射 是连续的。首先可以验证 上的商拓扑可以由下面度量诱导
这里 是 上的标准范数。将这个度量下函数 的连续性翻译成 语言就是对于给定的 ，存在 ，对于多项式
满足 ，存在排列 使得 ，这里 和 分别是 和 的零点。
映射 的连续性可以使用Rouche定理，回忆一下复分析中Rouche定理说的是
(Rouche 定理) 如果复函数 和 在一个闭曲线 内部及边界全纯，满足
那么 和 在 内部零点个数相同，这里零点按重数计算
现在考虑多项式
设 是它的一个零点 ，要说明 是连续的，我们需要证明对于 ，存在 ，对于多项式
满足 ，在以 为圆心半径为 的圆 内， 和 的零点个数相同。
我们可以假设 小于 到 其他零点的距离，这样使得 在 上没有零点。因为 是紧的，因此 在上面存在最小值 。
另一方面，令 ，那么在 上，我们有
如果选择 ，那么在上， 。因此根据Rouche定理 和 在中零点个数相同，这样就完成了证明。
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