为什么实系数多项式方程的虚数解总是成对出现？
实系数多项式方程的虚数解为何总是成对出现？
相信许多人在学习代数时都曾遇到过这样一个看似神秘的现象：当一个系数全是实数的（实系数）多项式方程有虚数解时，这些虚数解总是成双成对地出现，而且是一对共轭复数。例如，如果 $a+bi$ (其中 $b eq 0$) 是一个方程的解，那么 $abi$ 也一定是它的解。这究竟是为什么呢？这背后其实蕴藏着深奥而优美的数学原理。
要理解这一点，我们需要借助复数的概念以及复数运算的性质，特别是复数共轭的性质。
复数与复数共轭
我们知道，一个复数可以表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 是实部，$b$ 是虚部，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。
复数共轭（conjugate of a complex number）是指将一个复数的虚部符号改变得到的复数。如果 $z = a + bi$，那么它的共轭复数记作 $ar{z}$，$ar{z} = a bi$。
举个例子，复数 $3 + 2i$ 的共轭复数是 $3 2i$。
复数共轭的几个重要性质
在深入探讨多项式方程之前，我们先来梳理一下复数共轭的一些关键性质，这些性质将是解释现象的基石：
1. 共轭的共轭是它本身： $(ar{z}) = z$。换句话说，对一个复数进行两次共轭运算，你会回到原来的复数。
证明：如果 $z = a+bi$，那么 $ar{z} = abi$。对 $ar{z}$ 再进行共轭，就是 $(abi)$ 的共轭，即 $a (bi) = a+bi = z$。
2. 两个复数之和的共轭等于它们共轭之和： $overline{z_1 + z_2} = ar{z_1} + ar{z_2}$。
证明：设 $z_1 = a_1 + b_1i$ 且 $z_2 = a_2 + b_2i$。
$z_1 + z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$
$overline{z_1 + z_2} = (a_1+a_2) (b_1+b_2)i$
$ar{z_1} = a_1 b_1i$, $ar{z_2} = a_2 b_2i$
$ar{z_1} + ar{z_2} = (a_1 b_1i) + (a_2 b_2i) = (a_1+a_2) (b_1+b_2)i$
所以，$overline{z_1 + z_2} = ar{z_1} + ar{z_2}$。
3. 两个复数之积的共轭等于它们共轭之积： $overline{z_1 cdot z_2} = ar{z_1} cdot ar{z_2}$。
证明：设 $z_1 = a_1 + b_1i$ 且 $z_2 = a_2 + b_2i$。
$z_1 cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1a_2i + b_1b_2i^2 = (a_1a_2 b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i$
$overline{z_1 cdot z_2} = (a_1a_2 b_1b_2) (a_1b_2 + b_1a_2)i$
$ar{z_1} = a_1 b_1i$, $ar{z_2} = a_2 b_2i$
$ar{z_1} cdot ar{z_2} = (a_1 b_1i)(a_2 b_2i) = a_1a_2 a_1b_2i b_1a_2i + b_1b_2i^2 = (a_1a_2 b_1b_2) (a_1b_2 + b_1a_2)i$
所以，$overline{z_1 cdot z_2} = ar{z_1} cdot ar{z_2}$。
4. 实数的共轭是它本身： 如果 $c$ 是一个实数，那么 $ar{c} = c$。
证明：实数可以看作是虚部为零的复数，即 $c = c + 0i$。它的共轭是 $c 0i = c$。
将复数运算性质应用于多项式
现在，让我们来看一个实系数多项式方程，可以写作：
$P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0 = 0$
其中，系数 $a_n, a_{n1}, dots, a_1, a_0$ 都是实数。
假设 $z = a+bi$ (其中 $b eq 0$) 是这个多项式方程的一个解。这意味着当我们把 $z$ 代入多项式中时，结果是零：
$P(z) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0 = 0$
现在，我们对这个等式两边同时取共轭：
$overline{P(z)} = overline{0}$
我们知道零的共轭仍然是零，所以：
$overline{P(z)} = 0$
接下来，让我们运用前面提到的复数共轭的性质来处理 $overline{P(z)}$。
根据性质 2，我们可以将求和的共轭拆开：
$overline{a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0} = overline{a_n z^n} + overline{a_{n1} z^{n1}} + dots + overline{a_1 z} + overline{a_0}$
根据性质 3，我们可以将乘积的共轭拆开：
$= overline{a_n} overline{z^n} + overline{a_{n1}} overline{z^{n1}} + dots + overline{a_1} overline{z} + overline{a_0}$
再根据性质 3（多次应用），$overline{z^k} = (ar{z})^k$。
$= overline{a_n} (ar{z})^n + overline{a_{n1}} (ar{z})^{n1} + dots + overline{a_1} ar{z} + overline{a_0}$
关键来了！由于多项式的系数 $a_n, a_{n1}, dots, a_1, a_0$ 都是实数，根据性质 4，它们的共轭就是它们本身：
$overline{a_k} = a_k$ (对于所有的 $k = 0, 1, dots, n$)
所以，上面的表达式就变成了：
$= a_n (ar{z})^n + a_{n1} (ar{z})^{n1} + dots + a_1 ar{z} + a_0$
观察一下这个表达式，它正是将 $ar{z}$ 代入原多项式 $P(x)$ 所得到的结果！也就是说：
$P(ar{z}) = a_n (ar{z})^n + a_{n1} (ar{z})^{n1} + dots + a_1 ar{z} + a_0$
我们之前推导出 $overline{P(z)} = P(ar{z})$，并且知道 $overline{P(z)} = 0$。
因此，我们得到：
$P(ar{z}) = 0$
这意味着什么？这意味着 $ar{z}$ 也是多项式方程 $P(x) = 0$ 的一个解。
结论
综上所述，对于一个实系数多项式方程，如果 $z = a+bi$ (其中 $b eq 0$) 是它的一个虚数解，那么它的共轭复数 $ar{z} = abi$ 也一定是它的一个解。
这就是为什么实系数多项式方程的虚数解总是成对出现的原因。这一对解互为共轭复数，它们紧密地联系在一起，共同满足这个实系数多项式方程。这个性质在复数理论和代数方程的求解中都起着至关重要的作用。它也揭示了复数世界与实数世界之间一种深刻而优雅的对称性。
相信许多人在学习代数时都曾遇到过这样一个看似神秘的现象：当一个系数全是实数的（实系数）多项式方程有虚数解时，这些虚数解总是成双成对地出现，而且是一对共轭复数。例如，如果 $a+bi$ (其中 $b eq 0$) 是一个方程的解，那么 $abi$ 也一定是它的解。这究竟是为什么呢？这背后其实蕴藏着深奥而优美的数学原理。
要理解这一点，我们需要借助复数的概念以及复数运算的性质，特别是复数共轭的性质。
复数与复数共轭
我们知道，一个复数可以表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 是实部，$b$ 是虚部，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。
复数共轭（conjugate of a complex number）是指将一个复数的虚部符号改变得到的复数。如果 $z = a + bi$，那么它的共轭复数记作 $ar{z}$，$ar{z} = a bi$。
举个例子，复数 $3 + 2i$ 的共轭复数是 $3 2i$。
复数共轭的几个重要性质
在深入探讨多项式方程之前，我们先来梳理一下复数共轭的一些关键性质，这些性质将是解释现象的基石：
1. 共轭的共轭是它本身： $(ar{z}) = z$。换句话说，对一个复数进行两次共轭运算，你会回到原来的复数。
证明：如果 $z = a+bi$，那么 $ar{z} = abi$。对 $ar{z}$ 再进行共轭，就是 $(abi)$ 的共轭，即 $a (bi) = a+bi = z$。
2. 两个复数之和的共轭等于它们共轭之和： $overline{z_1 + z_2} = ar{z_1} + ar{z_2}$。
证明：设 $z_1 = a_1 + b_1i$ 且 $z_2 = a_2 + b_2i$。
$z_1 + z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$
$overline{z_1 + z_2} = (a_1+a_2) (b_1+b_2)i$
$ar{z_1} = a_1 b_1i$, $ar{z_2} = a_2 b_2i$
$ar{z_1} + ar{z_2} = (a_1 b_1i) + (a_2 b_2i) = (a_1+a_2) (b_1+b_2)i$
所以，$overline{z_1 + z_2} = ar{z_1} + ar{z_2}$。
3. 两个复数之积的共轭等于它们共轭之积： $overline{z_1 cdot z_2} = ar{z_1} cdot ar{z_2}$。
证明：设 $z_1 = a_1 + b_1i$ 且 $z_2 = a_2 + b_2i$。
$z_1 cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1a_2i + b_1b_2i^2 = (a_1a_2 b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i$
$overline{z_1 cdot z_2} = (a_1a_2 b_1b_2) (a_1b_2 + b_1a_2)i$
$ar{z_1} = a_1 b_1i$, $ar{z_2} = a_2 b_2i$
$ar{z_1} cdot ar{z_2} = (a_1 b_1i)(a_2 b_2i) = a_1a_2 a_1b_2i b_1a_2i + b_1b_2i^2 = (a_1a_2 b_1b_2) (a_1b_2 + b_1a_2)i$
所以，$overline{z_1 cdot z_2} = ar{z_1} cdot ar{z_2}$。
4. 实数的共轭是它本身： 如果 $c$ 是一个实数，那么 $ar{c} = c$。
证明：实数可以看作是虚部为零的复数，即 $c = c + 0i$。它的共轭是 $c 0i = c$。
将复数运算性质应用于多项式
现在，让我们来看一个实系数多项式方程，可以写作：
$P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0 = 0$
其中，系数 $a_n, a_{n1}, dots, a_1, a_0$ 都是实数。
假设 $z = a+bi$ (其中 $b eq 0$) 是这个多项式方程的一个解。这意味着当我们把 $z$ 代入多项式中时，结果是零：
$P(z) = a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0 = 0$
现在，我们对这个等式两边同时取共轭：
$overline{P(z)} = overline{0}$
我们知道零的共轭仍然是零，所以：
$overline{P(z)} = 0$
接下来，让我们运用前面提到的复数共轭的性质来处理 $overline{P(z)}$。
根据性质 2，我们可以将求和的共轭拆开：
$overline{a_n z^n + a_{n1} z^{n1} + dots + a_1 z + a_0} = overline{a_n z^n} + overline{a_{n1} z^{n1}} + dots + overline{a_1 z} + overline{a_0}$
根据性质 3，我们可以将乘积的共轭拆开：
$= overline{a_n} overline{z^n} + overline{a_{n1}} overline{z^{n1}} + dots + overline{a_1} overline{z} + overline{a_0}$
再根据性质 3（多次应用），$overline{z^k} = (ar{z})^k$。
$= overline{a_n} (ar{z})^n + overline{a_{n1}} (ar{z})^{n1} + dots + overline{a_1} ar{z} + overline{a_0}$
关键来了！由于多项式的系数 $a_n, a_{n1}, dots, a_1, a_0$ 都是实数，根据性质 4，它们的共轭就是它们本身：
$overline{a_k} = a_k$ (对于所有的 $k = 0, 1, dots, n$)
所以，上面的表达式就变成了：
$= a_n (ar{z})^n + a_{n1} (ar{z})^{n1} + dots + a_1 ar{z} + a_0$
观察一下这个表达式，它正是将 $ar{z}$ 代入原多项式 $P(x)$ 所得到的结果！也就是说：
$P(ar{z}) = a_n (ar{z})^n + a_{n1} (ar{z})^{n1} + dots + a_1 ar{z} + a_0$
我们之前推导出 $overline{P(z)} = P(ar{z})$，并且知道 $overline{P(z)} = 0$。
因此，我们得到：
$P(ar{z}) = 0$
这意味着什么？这意味着 $ar{z}$ 也是多项式方程 $P(x) = 0$ 的一个解。
结论
综上所述，对于一个实系数多项式方程，如果 $z = a+bi$ (其中 $b eq 0$) 是它的一个虚数解，那么它的共轭复数 $ar{z} = abi$ 也一定是它的一个解。
这就是为什么实系数多项式方程的虚数解总是成对出现的原因。这一对解互为共轭复数，它们紧密地联系在一起，共同满足这个实系数多项式方程。这个性质在复数理论和代数方程的求解中都起着至关重要的作用。它也揭示了复数世界与实数世界之间一种深刻而优雅的对称性。
网友意见
以前在专栏文章写过，直接搬过来了
主要Gal(C/R)={恒等变换，取共轭}
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