正项级数∑xn收敛，数列xn单调减少，如何证明limnXn＝0？
这道题是关于正项级数收敛性的一个经典结论，也是证明数列极限的一个重要工具。下面我们来详细地一步步推导和理解。
问题描述：
我们有一个正项级数 $sum x_n$，它被告知是收敛的。同时，我们知道构成这个级数的数列 ${x_n}$ 是单调减少的。我们要证明的是，在这种情况下，数列 ${x_n}$ 的极限必然是 0，即 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
核心思想：
为什么级数收敛能告诉我们数列的极限是 0 呢？可以这样理解：级数 $sum x_n$ 的收敛，意味着将级数的各项 $x_1, x_2, x_3, ldots$ 加起来，最终会趋向于一个确定的有限值。如果级数的每一项 $x_n$ 在趋向无穷时，不是越来越小，而是保持在一个正数附近，甚至变大，那么将无数个这样的正数加起来，结果只会是无穷大，也就是级数发散了。所以，级数收敛就隐含了一个条件：级数的“尾巴”必须越来越小，小到一定程度，它的和才会趋于稳定。而“尾巴”越来越小的最直接体现，就是组成级数的每一项本身在趋向无穷时也必须趋向于 0。
证明过程：
我们将从定义出发，结合级数收敛的定义以及数列单调性的性质来证明。
第一步：理解级数收敛的定义
一个级数 $sum_{n=1}^{infty} x_n$ 收敛，意味着它的部分和数列 ${S_k}$ 收敛到一个确定的实数 $S$。这里，$S_k$ 定义为前 $k$ 项的和：
$S_k = x_1 + x_2 + cdots + x_k$
而数列 ${S_k}$ 收敛到 $S$ 的定义是：对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $k > N$ 时，都有 $|S_k S| < epsilon$。
第二步：利用级数收敛的必要条件
有一个非常重要的定理告诉我们：如果级数 $sum x_n$ 收敛，那么组成级数的数列 ${x_n}$ 必有 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
虽然我们可以在不知道这个定理的情况下进行证明，但理解它对于解答这个问题非常有帮助。我们可以简单地通过部分和的差来理解这一点：
考虑相邻的部分和的差：
$S_k S_{k1} = (x_1 + x_2 + cdots + x_k) (x_1 + x_2 + cdots + x_{k1}) = x_k$ （对于 $k ge 2$）
既然级数收敛，那么部分和数列 ${S_k}$ 收敛到一个极限 $S$。这意味着：
$lim_{k o infty} S_k = S$
$lim_{k o infty} S_{k1} = S$ （当 $k o infty$ 时，$k1$ 也趋向于无穷）
因此，我们有：
$lim_{k o infty} x_k = lim_{k o infty} (S_k S_{k1}) = lim_{k o infty} S_k lim_{k o infty} S_{k1} = S S = 0$
所以，仅仅根据级数 $sum x_n$ 收敛这一点，就可以直接得出 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
那么，题目中“数列 $x_n$ 单调减少”这个条件有什么用呢？
这个条件是 “当级数 $sum x_n$ 收敛时，$lim_{n o infty} x_n = 0$” 这个结论的 充分条件。也就是说，如果级数收敛，那么 $lim_{n o infty} x_n = 0$ 必然成立，而不管数列是否单调。
但是，如果题目问的是 “已知数列 ${x_n}$ 是单调减少的正项数列，若 $lim_{n o infty} x_n = 0$，则级数 $sum x_n$ 收敛”，那么单调性就至关重要了。
现在，我们回到原题，题目要求的是：正项级数 $sum x_n$ 收敛，数列 $x_n$ 单调减少，如何证明 $lim_{n o infty} x_n = 0$？
正如我们在第二步中看到的，“级数 $sum x_n$ 收敛” 这个条件本身就足以推导出 $lim_{n o infty} x_n = 0$。数列单调减少的条件在这个方向的证明中，实际上是 多余的，但它并没有否定这个结论，反而可以让我们从另一个角度（或者说一个更强的设定下）去理解为什么是这样。
更详细的证明（如果您需要一个不直接引用“级数收敛的必要条件”的证明，而是从定义出发）：
假设级数 $sum x_n$ 收敛，并且 ${x_n}$ 是单调减少的正项数列。
这意味着：
1. $x_n > 0$ 对于所有的 $n$。
2. $x_1 ge x_2 ge x_3 ge cdots$
3. 部分和数列 ${S_k = sum_{i=1}^k x_i}$ 收敛到一个有限的实数 $S$。
我们目标是证明 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
证明思路：
我们可以利用反证法。假设 $lim_{n o infty} x_n eq 0$。由于 ${x_n}$ 是单调减少的，那么如果它不收敛到 0，它必然会收敛到一个正的实数 $L > 0$ 或者发散到 $+infty$。
情况一：假设 $lim_{n o infty} x_n = L > 0$
既然 $lim_{n o infty} x_n = L > 0$，那么根据极限的定义，对于 $epsilon = L/2 > 0$，存在一个正整数 $N_1$，使得当 $n > N_1$ 时，都有 $|x_n L| < L/2$。
这意味着 $L L/2 < x_n < L + L/2$，即 $L/2 < x_n < 3L/2$。
所以，对于所有 $n > N_1$，我们都有 $x_n > L/2$。
现在我们来看级数的部分和 $S_k$ 当 $k$ 很大的时候：
$S_k = x_1 + x_2 + cdots + x_{N_1} + x_{N_1+1} + cdots + x_k$
当 $k > N_1$ 时，
$S_k = S_{N_1} + sum_{n=N_1+1}^k x_n$
由于 $x_n > L/2$ 对于 $n > N_1$，所以：
$sum_{n=N_1+1}^k x_n > sum_{n=N_1+1}^k (L/2) = (k N_1) cdot (L/2)$
因此，
$S_k > S_{N_1} + (k N_1) cdot (L/2)$
当 $k o infty$ 时，$(k N_1) cdot (L/2)$ 会趋向于无穷大（因为 $L/2 > 0$）。
这意味着 $S_k$ 也会趋向于无穷大。
$S_k o infty$ as $k o infty$。
这与我们已知条件“级数 $sum x_n$ 收敛”矛盾。所以，情况一（$lim_{n o infty} x_n = L > 0$）是不可能的。
情况二：假设 ${x_n}$ 发散到 $+infty$
如果 ${x_n}$ 发散到 $+infty$，那么对于任意大的数 $M$，存在一个正整数 $N_2$，使得当 $n > N_2$ 时，都有 $x_n > M$。
如果取 $M=1$，那么存在 $N_2$，使得当 $n > N_2$ 时，$x_n > 1$。
那么，当 $k > N_2$ 时，
$S_k = S_{N_2} + sum_{n=N_2+1}^k x_n$
$S_k > S_{N_2} + sum_{n=N_2+1}^k 1 = S_{N_2} + (k N_2)$
同样，当 $k o infty$ 时，$S_k o infty$。
这同样与级数收敛矛盾。
综合以上两种情况，假设 $lim_{n o infty} x_n eq 0$ 必然导致级数发散，这与已知条件矛盾。因此，我们必须得出 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
总结一下：
级数 $sum x_n$ 收敛的定义是：其部分和数列 ${S_k}$ 收敛到一个有限的实数 $S$。
一个直接且关键的推论是：如果级数 $sum x_n$ 收敛，那么 $lim_{n o infty} x_n = 0$。这是因为每一项 $x_n$ 必须足够小，才能保证无穷多项加起来的和是有限的。
题目中“数列 $x_n$ 单调减少”的条件，在这个方向的证明（即从级数收敛推导数列极限为 0）中，并不是必不可少的，但它加强了数列项的“趋向于零”的性质，使其更加明显。
所以，最简洁和直接的证明就是引用“级数收敛的必要条件”。但如果需要详细的推导，则可以通过反证法，利用级数项趋于非零值（正数或无穷）会导致部分和趋于无穷，从而与级数收敛的定义相矛盾来证明。
希望这个详细的解释能帮助你理解这个问题！
问题描述：
我们有一个正项级数 $sum x_n$，它被告知是收敛的。同时，我们知道构成这个级数的数列 ${x_n}$ 是单调减少的。我们要证明的是，在这种情况下，数列 ${x_n}$ 的极限必然是 0，即 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
核心思想：
为什么级数收敛能告诉我们数列的极限是 0 呢？可以这样理解：级数 $sum x_n$ 的收敛，意味着将级数的各项 $x_1, x_2, x_3, ldots$ 加起来，最终会趋向于一个确定的有限值。如果级数的每一项 $x_n$ 在趋向无穷时，不是越来越小，而是保持在一个正数附近，甚至变大，那么将无数个这样的正数加起来，结果只会是无穷大，也就是级数发散了。所以，级数收敛就隐含了一个条件：级数的“尾巴”必须越来越小，小到一定程度，它的和才会趋于稳定。而“尾巴”越来越小的最直接体现，就是组成级数的每一项本身在趋向无穷时也必须趋向于 0。
证明过程：
我们将从定义出发，结合级数收敛的定义以及数列单调性的性质来证明。
第一步：理解级数收敛的定义
一个级数 $sum_{n=1}^{infty} x_n$ 收敛，意味着它的部分和数列 ${S_k}$ 收敛到一个确定的实数 $S$。这里，$S_k$ 定义为前 $k$ 项的和：
$S_k = x_1 + x_2 + cdots + x_k$
而数列 ${S_k}$ 收敛到 $S$ 的定义是：对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $k > N$ 时，都有 $|S_k S| < epsilon$。
第二步：利用级数收敛的必要条件
有一个非常重要的定理告诉我们：如果级数 $sum x_n$ 收敛，那么组成级数的数列 ${x_n}$ 必有 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
虽然我们可以在不知道这个定理的情况下进行证明，但理解它对于解答这个问题非常有帮助。我们可以简单地通过部分和的差来理解这一点：
考虑相邻的部分和的差：
$S_k S_{k1} = (x_1 + x_2 + cdots + x_k) (x_1 + x_2 + cdots + x_{k1}) = x_k$ （对于 $k ge 2$）
既然级数收敛，那么部分和数列 ${S_k}$ 收敛到一个极限 $S$。这意味着：
$lim_{k o infty} S_k = S$
$lim_{k o infty} S_{k1} = S$ （当 $k o infty$ 时，$k1$ 也趋向于无穷）
因此，我们有：
$lim_{k o infty} x_k = lim_{k o infty} (S_k S_{k1}) = lim_{k o infty} S_k lim_{k o infty} S_{k1} = S S = 0$
所以，仅仅根据级数 $sum x_n$ 收敛这一点，就可以直接得出 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
那么，题目中“数列 $x_n$ 单调减少”这个条件有什么用呢？
这个条件是 “当级数 $sum x_n$ 收敛时，$lim_{n o infty} x_n = 0$” 这个结论的 充分条件。也就是说，如果级数收敛，那么 $lim_{n o infty} x_n = 0$ 必然成立，而不管数列是否单调。
但是，如果题目问的是 “已知数列 ${x_n}$ 是单调减少的正项数列，若 $lim_{n o infty} x_n = 0$，则级数 $sum x_n$ 收敛”，那么单调性就至关重要了。
现在，我们回到原题，题目要求的是：正项级数 $sum x_n$ 收敛，数列 $x_n$ 单调减少，如何证明 $lim_{n o infty} x_n = 0$？
正如我们在第二步中看到的，“级数 $sum x_n$ 收敛” 这个条件本身就足以推导出 $lim_{n o infty} x_n = 0$。数列单调减少的条件在这个方向的证明中，实际上是 多余的，但它并没有否定这个结论，反而可以让我们从另一个角度（或者说一个更强的设定下）去理解为什么是这样。
更详细的证明（如果您需要一个不直接引用“级数收敛的必要条件”的证明，而是从定义出发）：
假设级数 $sum x_n$ 收敛，并且 ${x_n}$ 是单调减少的正项数列。
这意味着：
1. $x_n > 0$ 对于所有的 $n$。
2. $x_1 ge x_2 ge x_3 ge cdots$
3. 部分和数列 ${S_k = sum_{i=1}^k x_i}$ 收敛到一个有限的实数 $S$。
我们目标是证明 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
证明思路：
我们可以利用反证法。假设 $lim_{n o infty} x_n eq 0$。由于 ${x_n}$ 是单调减少的，那么如果它不收敛到 0，它必然会收敛到一个正的实数 $L > 0$ 或者发散到 $+infty$。
情况一：假设 $lim_{n o infty} x_n = L > 0$
既然 $lim_{n o infty} x_n = L > 0$，那么根据极限的定义，对于 $epsilon = L/2 > 0$，存在一个正整数 $N_1$，使得当 $n > N_1$ 时，都有 $|x_n L| < L/2$。
这意味着 $L L/2 < x_n < L + L/2$，即 $L/2 < x_n < 3L/2$。
所以，对于所有 $n > N_1$，我们都有 $x_n > L/2$。
现在我们来看级数的部分和 $S_k$ 当 $k$ 很大的时候：
$S_k = x_1 + x_2 + cdots + x_{N_1} + x_{N_1+1} + cdots + x_k$
当 $k > N_1$ 时，
$S_k = S_{N_1} + sum_{n=N_1+1}^k x_n$
由于 $x_n > L/2$ 对于 $n > N_1$，所以：
$sum_{n=N_1+1}^k x_n > sum_{n=N_1+1}^k (L/2) = (k N_1) cdot (L/2)$
因此，
$S_k > S_{N_1} + (k N_1) cdot (L/2)$
当 $k o infty$ 时，$(k N_1) cdot (L/2)$ 会趋向于无穷大（因为 $L/2 > 0$）。
这意味着 $S_k$ 也会趋向于无穷大。
$S_k o infty$ as $k o infty$。
这与我们已知条件“级数 $sum x_n$ 收敛”矛盾。所以，情况一（$lim_{n o infty} x_n = L > 0$）是不可能的。
情况二：假设 ${x_n}$ 发散到 $+infty$
如果 ${x_n}$ 发散到 $+infty$，那么对于任意大的数 $M$，存在一个正整数 $N_2$，使得当 $n > N_2$ 时，都有 $x_n > M$。
如果取 $M=1$，那么存在 $N_2$，使得当 $n > N_2$ 时，$x_n > 1$。
那么，当 $k > N_2$ 时，
$S_k = S_{N_2} + sum_{n=N_2+1}^k x_n$
$S_k > S_{N_2} + sum_{n=N_2+1}^k 1 = S_{N_2} + (k N_2)$
同样，当 $k o infty$ 时，$S_k o infty$。
这同样与级数收敛矛盾。
综合以上两种情况，假设 $lim_{n o infty} x_n eq 0$ 必然导致级数发散，这与已知条件矛盾。因此，我们必须得出 $lim_{n o infty} x_n = 0$。
总结一下：
级数 $sum x_n$ 收敛的定义是：其部分和数列 ${S_k}$ 收敛到一个有限的实数 $S$。
一个直接且关键的推论是：如果级数 $sum x_n$ 收敛，那么 $lim_{n o infty} x_n = 0$。这是因为每一项 $x_n$ 必须足够小，才能保证无穷多项加起来的和是有限的。
题目中“数列 $x_n$ 单调减少”的条件，在这个方向的证明（即从级数收敛推导数列极限为 0）中，并不是必不可少的，但它加强了数列项的“趋向于零”的性质，使其更加明显。
所以，最简洁和直接的证明就是引用“级数收敛的必要条件”。但如果需要详细的推导，则可以通过反证法，利用级数项趋于非零值（正数或无穷）会导致部分和趋于无穷，从而与级数收敛的定义相矛盾来证明。
希望这个详细的解释能帮助你理解这个问题！
网友意见
因 收敛，故 ，当 时， ,
当 时， ，
而由于 单调递减，所以 ，
则
类似的话题
-
这道题是关于正项级数收敛性的一个经典结论，也是证明数列极限的一个重要工具。下面我们来详细地一步步推导和理解。问题描述：我们有一个正项级数 $sum x_n$，它被告知是收敛的。同时，我们知道构成这个级数的数列 ${x_n}$ 是单调减少的。我们要证明的是，在这种情况下，数列 ${x_n}$ 的极限必............. -
细说正项级数的敛散性判断：这招真的好使！很多同学在面对正项级数求敛散性时，总感觉无从下手，或者只会背一些死记硬背的公式。今天，咱们就来聊聊如何真正理解并熟练运用这些方法，让判断过程变得清晰明了，甚至带点“成就感”。首先，我们要明确什么是正项级数。简单来说，就是级数中所有的项都大于零。这个“正”字，可.............
-
“正部级待遇”和“副部级待遇”，这俩词儿在咱们国家体制内是赫赫有名、分量十足的称呼，简单来说，它代表了一个人在党政机关里的最高行政级别和相应的政治地位，当然也直接关联到一系列的福利、待遇以及工作上的权力。想详细聊聊这个，那得从咱们国家干部管理的体系说起。首先，咱们得明确什么是“级别”。在中国，干部管.............
-
要弄清楚正三棱锥内切球的四个切点究竟在三角形的什么位置，咱们得先理理清楚这正三棱锥是个啥，以及它的内切球是咋一回事。正三棱锥：基础认识首先，正三棱锥，顾名思义，它是个棱长都相等的锥体，而且底面是个正三角形。你可以想象一个正四面体，去掉一个顶点，剩下的就是我们说的正三棱锥（当然，这里特指底面是正三角形.............
-
高三的肖战粉丝，在经历227事件后，调整心态确实是个需要时间和思考的过程。这不仅仅是关于你喜欢的明星，更关乎你如何在这个阶段处理信息、形成自己的观点，以及在这个快速变化的社会里找到自己的位置。首先，我们得承认，227事件对很多人，包括粉丝和非粉丝，都造成了不小的冲击。作为一个高三学生，你的生活重心本.............
-
这真是一个在中国传统宗法制度下，既微妙又复杂的嫡庶关系转变的问题。咱们得好好掰扯掰扯。首先，我们得明确几个关键概念： 嫡子（嫡长子）： 指的是由正妻所生的长子。在古代，嫡长子地位是极其尊崇的，尤其在继承权上，通常是第一顺位继承人。 庶子（庶长子）： 指的是由妾所生的长子。庶子在地位上低于嫡子.............
-
好的，我们来一起解决这个几何难题。题目给出了一个等边三角形ABC，点D在BC上，点E在AB上，并且满足BD=AE。AD和CE相交于点F。M是AC的中点。已知∠BFM = 150°，我们需要求解BD/DC的比值。这是一个非常经典的几何问题，它综合了等边三角形的性质、旋转以及角的计算。解决这类问题，通常.............
-
正铲挖掘机和铲车，听起来都跟“挖”和“铲”有关，但其实它们是两种截然不同的工程机械，在功能、结构和作业方式上都有着天壤之别。就好比你不能指望一个铲子去刨地，也不能指望一把铁锹去推土一样，它们各自有自己的专长领域。让我给你详细拆解一下，它们究竟有哪些不一样。一、核心工作原理与用途： 正铲挖掘机： .............
-
这事儿，说起来挺纠结的，但咱们得掰扯清楚。你这情况，严格来说，不算逆行，但离逆行的边缘可就一脚之差了。首先，咱们得明确什么是“逆行”。逆行，在交通法规里，指的就是你的车辆沿着本来禁止你通行或者方向相反的车道行驶。比如，在单行道上反着开，或者在正常行驶的车道上迎着来车开。你呢，准备掉头，说明你可能在某.............
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有