这个正项级数的敛散性怎么证？
细说正项级数的敛散性判断：这招真的好使！
很多同学在面对正项级数求敛散性时，总感觉无从下手，或者只会背一些死记硬背的公式。今天，咱们就来聊聊如何真正理解并熟练运用这些方法，让判断过程变得清晰明了，甚至带点“成就感”。
首先，我们要明确什么是正项级数。简单来说，就是级数中所有的项都大于零。这个“正”字，可是我们判断敛散性的“金钥匙”。因为项都大于零，我们才能用各种不等式的技巧，把一个复杂的级数跟一些已知敛散性的简单级数联系起来。
那么，判断一个正项级数敛散性，最核心的思路是什么呢？其实就是“跟熟人比”。这里的“熟人”就是我们已经知道敛散性的“模板”级数，比如：
p级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$
当 $p > 1$ 时，收敛。
当 $0 < p le 1$ 时，发散。
这个是最最基础也是最重要的一个，一定要烂熟于心！想象一下，当 $p$ 越大，分母增长越快，每一项就越小，级数就越容易收敛。
等比级数： $sum_{n=0}^{infty} ar^n$
当 $|r| < 1$ 时，收敛。
当 $|r| ge 1$ 时，发散。
虽然我们主要讨论正项级数，但等比级数也是理解收敛概念的一个好例子，特别是当 $r$ 是一个正数时。
有了这些“熟人”作为参照，我们就可以上场玩“比较游戏”了。比较游戏主要有两大类方法：直接比较判别法和极限比较判别法。
一、 直接比较判别法：直接上“肉搏战”
这个方法就像是把你的级数和另一个“熟人”级数摆在一起，看谁“大”谁“小”。它的核心思想是：
“夹逼”收敛： 如果你的正项级数 $sum a_n$ 的每一项都小于或等于一个收敛的正项级数 $sum b_n$（即 $0 le a_n le b_n$），那么你的级数 $sum a_n$ 也一定收敛。
为啥？ 想象一下，你的级数是蛋糕，熟人级数也是蛋糕。你的蛋糕每一块都比熟人级数的蛋糕小，而且熟人级数那个蛋糕的总量是有限的（收敛），那你的蛋糕总和肯定也是有限的。
“压垮”发散： 如果你的正项级数 $sum a_n$ 的每一项都大于或等于一个发散的正项级数 $sum b_n$（即 $0 le b_n le a_n$），那么你的级数 $sum a_n$ 也一定发散。
为啥？ 还是那个蛋糕的比喻。你的蛋糕每一块都比熟人级数的蛋糕大，而且熟人级数那个蛋糕的总量是无限的（发散），那你的蛋糕总和肯定也是无限的。
怎么用直接比较判别法？
1. 确定你的目标级数 $sum a_n$。
2. 找一个“熟人”级数 $sum b_n$ 来比较。这个“熟人”最好是你一眼就能看出敛散性，而且结构上跟你的级数有点“像”。通常我们会选择 p级数或者等比级数作为“熟人”。
3. 证明不等式关系：仔细分析 $a_n$ 和 $b_n$ 的表达式，看能否推导出 $a_n le b_n$ 或者 $b_n le a_n$ （从某个项开始成立即可）。这通常需要一些代数技巧，比如约分、通分、利用 $n$ 的大小关系等等。
举个例子，我们来判别级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 的敛散性。
目标级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$
找“熟人”： 我们注意到分母是 $n^2+n$，跟 $n^2$ 很像。我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是个 p级数，其中 $p=2 > 1$，所以它是收敛的。我们就选它作为“熟人”级数 $sum b_n = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$。
证明不等式：
我们想比较 $frac{1}{n^2+n}$ 和 $frac{1}{n^2}$。
因为 $n ge 1$，所以 $n^2+n > n^2$。
对不等式两边取倒数，不等号方向改变：
$frac{1}{n^2+n} < frac{1}{n^2}$
也就是 $0 < frac{1}{n^2+n} < frac{1}{n^2}$。
下结论： 由于我们的级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 的每一项都小于一个收敛级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 的对应项，根据直接比较判别法的“夹逼”收敛原则，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 是收敛的。
直接比较判别法的优点： 直观，容易理解。
直接比较判别法的缺点： 找合适的“熟人”和证明不等式有时候会比较困难，尤其是在级数结构比较复杂的时候。
二、 极限比较判别法：化繁为简的“套路”
当直接比较判别法不好操作时，极限比较判别法就派上用场了。这个方法更像是一种“套路”，通过计算两个级数项的比值的极限来判断。它的核心思想是：
如果两个正项级数 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 的项的比值的极限 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = L$，并且 $L$ 是一个有限的、正的常数（$0 < L < infty$），那么这两个级数具有相同的敛散性。
为啥？ 这个结论有点“玄乎”，但我们可以这样理解：当 $n$ 趋于无穷大时，$a_n$ 和 $b_n$ 的大小关系非常接近于 $a_n approx L cdot b_n$。既然 $L$ 是一个正的常数，那么 $a_n$ 和 $b_n$ 就像是互相乘以一个固定的倍数，如果一个收敛了，另一个也跟着收敛；如果一个发散了，另一个也跟着发散。
如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = 0$，并且 $sum b_n$ 收敛，那么 $sum a_n$ 收敛。
为啥？ 极限为0意味着 $a_n$ 比 $b_n$ 小得多，就像你的蛋糕比熟人级数的蛋糕小到几乎可以忽略不计，如果熟人级数的蛋糕是有限的，那你的蛋糕肯定也是有限的。
如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = infty$，并且 $sum b_n$ 发散，那么 $sum a_n$ 发散。
为啥？ 极限为无穷大意味着 $a_n$ 比 $b_n$ 大得多，就像你的蛋糕比熟人级数的蛋糕大到几乎可以忽略不计，如果熟人级数的蛋糕是无限的，那你的蛋糕肯定也是无限的。
怎么用极限比较判别法？
1. 确定你的目标级数 $sum a_n$。
2. 找一个“熟人”级数 $sum b_n$ 来比较。选择的原则是让 $frac{a_n}{b_n}$ 的极限容易计算，并且这个“熟人”级数本身敛散性已知。通常，我们会选择一个与 $a_n$ 在无穷远处渐近相同的级数。
一个通用的技巧： 看看 $a_n$ 中最高次幂的项，然后构建一个“熟人”级数。例如，如果 $a_n$ 是一个关于 $n$ 的有理函数，就去掉低次项，只保留最高次幂的项来构造 $b_n$。
3. 计算极限 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n}$。
4. 根据极限值和“熟人”级数的敛散性下结论。
举个例子，我们再次判别级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 的敛散性。
目标级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$
找“熟人”： 当 $n o infty$ 时，$n^2+n$ 的增长主要由 $n^2$ 主导。所以我们选择 $sum b_n = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 作为“熟人”。我们知道它是收敛的 (p=2 > 1)。
计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n^2+n}}{frac{1}{n^2}} = lim_{n o infty} frac{n^2}{n^2+n}$
为了计算这个极限，我们可以分子分母同除以 $n^2$：
$lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{1}{n}} = frac{1}{1+0} = 1$
下结论： 极限值为 $L=1$。因为 $0 < 1 < infty$，并且我们选择的“熟人”级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是收敛的，根据极限比较判别法，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 也是收敛的。
再来一个例子：判别 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。
目标级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}$
找“熟人”： 当 $n$ 很大时，分子 $n+1$ 约等于 $n$；分母 $sqrt{n^3+1}$ 约等于 $sqrt{n^3} = n^{3/2}$。所以我们的级数项 $a_n approx frac{n}{n^{3/2}} = frac{1}{n^{1/2}}$。因此，我们选择“熟人”级数 $sum b_n = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^{1/2}}$。这是一个 p级数，其中 $p=1/2 le 1$，所以它是发散的。
计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}}{frac{1}{n^{1/2}}} = lim_{n o infty} frac{(n+1)n^{1/2}}{sqrt{n^3+1}}$
分子展开是 $n^{3/2} + n^{1/2}$。
$lim_{n o infty} frac{n^{3/2} + n^{1/2}}{sqrt{n^3+1}} = lim_{n o infty} frac{n^{3/2} + n^{1/2}}{(n^3+1)^{1/2}}$
为了计算这个极限，我们可以分子分母同除以 $n^{3/2}$：
$lim_{n o infty} frac{1 + frac{1}{n}}{sqrt{1+frac{1}{n^3}}} = frac{1+0}{sqrt{1+0}} = 1$
下结论： 极限值为 $L=1$。因为 $0 < 1 < infty$，并且我们选择的“熟人”级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^{1/2}}$ 是发散的，根据极限比较判别法，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}$ 也是发散的。
极限比较判别法的优点： 操作性强，特别是对于有理函数或包含根式的级数，选择合适的“熟人”后计算极限通常比较容易。它能帮我们快速“定位”级数的敛散性。
极限比较判别法的缺点： 需要计算极限，如果极限计算不熟悉可能会出错。有时选择“熟人”级数也需要一些经验。
三、 其他“秘密武器”（在你需要的时候才出场）
除了上述两大主力方法，我们还有一些“秘密武器”，在特定情况下会非常管用：
比值判别法（达朗贝尔判别法）： 适用于级数项包含指数或阶乘的级数。
计算 $lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = L$。
如果 $L < 1$，则级数收敛。
如果 $L > 1$，则级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效，需要换其他方法。
场景： 比如 $sum frac{2^n}{n!}$，计算比值时阶乘会抵消很多项，非常方便。
根值判别法（柯西判别法）： 适用于级数项 $a_n$ 形式上是关于 $n$ 的 $n$ 次方根，比如 $sum (frac{n+1}{2n+1})^n$。
计算 $lim_{n o infty} sqrt[n]{a_n} = L$。
如果 $L < 1$，则级数收敛。
如果 $L > 1$，则级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效。
场景： 级数项本身就带了 $n$ 次方，开根号后形式会大大简化。
如何选择判别法？
这就像医生诊断病情一样，需要根据“症状”来选择“疗法”。
1. 看级数项的结构：
如果 $a_n$ 是关于 $n$ 的多项式或有理函数，或者包含根式，极限比较判别法通常是首选。直接比较判别法也可以，但可能需要更多的代数技巧。
如果 $a_n$ 包含 $n!$ 或指数函数 $a^n$，比值判别法非常合适。
如果 $a_n$ 是一个整体的 $n$ 次方形式，如 $a_n = (f(n))^n$，那么根值判别法是最佳选择。
2. 尝试计算： 有时候，你可以尝试用不同的方法计算一下，看看哪种方法更容易得出结果。比如，对于一个复杂的级数，先试着找个“熟人”用极限比较判别法算算看，如果极限好算，那就事半功倍。
3. 结合经验： 多做题，多练习，你会慢慢积累经验，看到一个级数就能大致判断出哪种方法更有效。
总结一下判断正项级数敛散性的基本思路：
第一步：观察！ 仔细看看你的级数 $sum a_n$，特别是它的项 $a_n$ 的结构。
第二步：找“熟人”！ 思考一下，它跟哪个 p级数或等比级数“长得像”，或者在无穷远处渐近关系明显。
第三步：选择方法！
如果 $a_n$ 是有理函数或带根式，试试极限比较判别法。
如果 $a_n$ 有阶乘或指数，试试比值判别法。
如果 $a_n$ 是整体的 $n$ 次方，试试根值判别法。
如果以上方法都不太顺畅，或者你对不等式比较有信心，可以尝试直接比较判别法。
第四步：计算并论证！ 严格按照所选方法的步骤进行计算和推理，最终得出级数收敛或发散的结论。
记住，判断正项级数的敛散性是一个循序渐进的过程，关键在于理解各种判别法的原理，并熟练运用它们来“驯服”那些看起来复杂的级数。多练，你就会发现这个过程其实充满乐趣和智慧！
很多同学在面对正项级数求敛散性时，总感觉无从下手，或者只会背一些死记硬背的公式。今天，咱们就来聊聊如何真正理解并熟练运用这些方法，让判断过程变得清晰明了，甚至带点“成就感”。
首先，我们要明确什么是正项级数。简单来说，就是级数中所有的项都大于零。这个“正”字，可是我们判断敛散性的“金钥匙”。因为项都大于零，我们才能用各种不等式的技巧，把一个复杂的级数跟一些已知敛散性的简单级数联系起来。
那么，判断一个正项级数敛散性，最核心的思路是什么呢？其实就是“跟熟人比”。这里的“熟人”就是我们已经知道敛散性的“模板”级数，比如：
p级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$
当 $p > 1$ 时，收敛。
当 $0 < p le 1$ 时，发散。
这个是最最基础也是最重要的一个，一定要烂熟于心！想象一下，当 $p$ 越大，分母增长越快，每一项就越小，级数就越容易收敛。
等比级数： $sum_{n=0}^{infty} ar^n$
当 $|r| < 1$ 时，收敛。
当 $|r| ge 1$ 时，发散。
虽然我们主要讨论正项级数，但等比级数也是理解收敛概念的一个好例子，特别是当 $r$ 是一个正数时。
有了这些“熟人”作为参照，我们就可以上场玩“比较游戏”了。比较游戏主要有两大类方法：直接比较判别法和极限比较判别法。
一、 直接比较判别法：直接上“肉搏战”
这个方法就像是把你的级数和另一个“熟人”级数摆在一起，看谁“大”谁“小”。它的核心思想是：
“夹逼”收敛： 如果你的正项级数 $sum a_n$ 的每一项都小于或等于一个收敛的正项级数 $sum b_n$（即 $0 le a_n le b_n$），那么你的级数 $sum a_n$ 也一定收敛。
为啥？ 想象一下，你的级数是蛋糕，熟人级数也是蛋糕。你的蛋糕每一块都比熟人级数的蛋糕小，而且熟人级数那个蛋糕的总量是有限的（收敛），那你的蛋糕总和肯定也是有限的。
“压垮”发散： 如果你的正项级数 $sum a_n$ 的每一项都大于或等于一个发散的正项级数 $sum b_n$（即 $0 le b_n le a_n$），那么你的级数 $sum a_n$ 也一定发散。
为啥？ 还是那个蛋糕的比喻。你的蛋糕每一块都比熟人级数的蛋糕大，而且熟人级数那个蛋糕的总量是无限的（发散），那你的蛋糕总和肯定也是无限的。
怎么用直接比较判别法？
1. 确定你的目标级数 $sum a_n$。
2. 找一个“熟人”级数 $sum b_n$ 来比较。这个“熟人”最好是你一眼就能看出敛散性，而且结构上跟你的级数有点“像”。通常我们会选择 p级数或者等比级数作为“熟人”。
3. 证明不等式关系：仔细分析 $a_n$ 和 $b_n$ 的表达式，看能否推导出 $a_n le b_n$ 或者 $b_n le a_n$ （从某个项开始成立即可）。这通常需要一些代数技巧，比如约分、通分、利用 $n$ 的大小关系等等。
举个例子，我们来判别级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 的敛散性。
目标级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$
找“熟人”： 我们注意到分母是 $n^2+n$，跟 $n^2$ 很像。我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是个 p级数，其中 $p=2 > 1$，所以它是收敛的。我们就选它作为“熟人”级数 $sum b_n = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$。
证明不等式：
我们想比较 $frac{1}{n^2+n}$ 和 $frac{1}{n^2}$。
因为 $n ge 1$，所以 $n^2+n > n^2$。
对不等式两边取倒数，不等号方向改变：
$frac{1}{n^2+n} < frac{1}{n^2}$
也就是 $0 < frac{1}{n^2+n} < frac{1}{n^2}$。
下结论： 由于我们的级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 的每一项都小于一个收敛级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 的对应项，根据直接比较判别法的“夹逼”收敛原则，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 是收敛的。
直接比较判别法的优点： 直观，容易理解。
直接比较判别法的缺点： 找合适的“熟人”和证明不等式有时候会比较困难，尤其是在级数结构比较复杂的时候。
二、 极限比较判别法：化繁为简的“套路”
当直接比较判别法不好操作时，极限比较判别法就派上用场了。这个方法更像是一种“套路”，通过计算两个级数项的比值的极限来判断。它的核心思想是：
如果两个正项级数 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 的项的比值的极限 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = L$，并且 $L$ 是一个有限的、正的常数（$0 < L < infty$），那么这两个级数具有相同的敛散性。
为啥？ 这个结论有点“玄乎”，但我们可以这样理解：当 $n$ 趋于无穷大时，$a_n$ 和 $b_n$ 的大小关系非常接近于 $a_n approx L cdot b_n$。既然 $L$ 是一个正的常数，那么 $a_n$ 和 $b_n$ 就像是互相乘以一个固定的倍数，如果一个收敛了，另一个也跟着收敛；如果一个发散了，另一个也跟着发散。
如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = 0$，并且 $sum b_n$ 收敛，那么 $sum a_n$ 收敛。
为啥？ 极限为0意味着 $a_n$ 比 $b_n$ 小得多，就像你的蛋糕比熟人级数的蛋糕小到几乎可以忽略不计，如果熟人级数的蛋糕是有限的，那你的蛋糕肯定也是有限的。
如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = infty$，并且 $sum b_n$ 发散，那么 $sum a_n$ 发散。
为啥？ 极限为无穷大意味着 $a_n$ 比 $b_n$ 大得多，就像你的蛋糕比熟人级数的蛋糕大到几乎可以忽略不计，如果熟人级数的蛋糕是无限的，那你的蛋糕肯定也是无限的。
怎么用极限比较判别法？
1. 确定你的目标级数 $sum a_n$。
2. 找一个“熟人”级数 $sum b_n$ 来比较。选择的原则是让 $frac{a_n}{b_n}$ 的极限容易计算，并且这个“熟人”级数本身敛散性已知。通常，我们会选择一个与 $a_n$ 在无穷远处渐近相同的级数。
一个通用的技巧： 看看 $a_n$ 中最高次幂的项，然后构建一个“熟人”级数。例如，如果 $a_n$ 是一个关于 $n$ 的有理函数，就去掉低次项，只保留最高次幂的项来构造 $b_n$。
3. 计算极限 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n}$。
4. 根据极限值和“熟人”级数的敛散性下结论。
举个例子，我们再次判别级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 的敛散性。
目标级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$
找“熟人”： 当 $n o infty$ 时，$n^2+n$ 的增长主要由 $n^2$ 主导。所以我们选择 $sum b_n = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 作为“熟人”。我们知道它是收敛的 (p=2 > 1)。
计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n^2+n}}{frac{1}{n^2}} = lim_{n o infty} frac{n^2}{n^2+n}$
为了计算这个极限，我们可以分子分母同除以 $n^2$：
$lim_{n o infty} frac{1}{1+frac{1}{n}} = frac{1}{1+0} = 1$
下结论： 极限值为 $L=1$。因为 $0 < 1 < infty$，并且我们选择的“熟人”级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是收敛的，根据极限比较判别法，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2+n}$ 也是收敛的。
再来一个例子：判别 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。
目标级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}$
找“熟人”： 当 $n$ 很大时，分子 $n+1$ 约等于 $n$；分母 $sqrt{n^3+1}$ 约等于 $sqrt{n^3} = n^{3/2}$。所以我们的级数项 $a_n approx frac{n}{n^{3/2}} = frac{1}{n^{1/2}}$。因此，我们选择“熟人”级数 $sum b_n = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^{1/2}}$。这是一个 p级数，其中 $p=1/2 le 1$，所以它是发散的。
计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}}{frac{1}{n^{1/2}}} = lim_{n o infty} frac{(n+1)n^{1/2}}{sqrt{n^3+1}}$
分子展开是 $n^{3/2} + n^{1/2}$。
$lim_{n o infty} frac{n^{3/2} + n^{1/2}}{sqrt{n^3+1}} = lim_{n o infty} frac{n^{3/2} + n^{1/2}}{(n^3+1)^{1/2}}$
为了计算这个极限，我们可以分子分母同除以 $n^{3/2}$：
$lim_{n o infty} frac{1 + frac{1}{n}}{sqrt{1+frac{1}{n^3}}} = frac{1+0}{sqrt{1+0}} = 1$
下结论： 极限值为 $L=1$。因为 $0 < 1 < infty$，并且我们选择的“熟人”级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^{1/2}}$ 是发散的，根据极限比较判别法，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{sqrt{n^3+1}}$ 也是发散的。
极限比较判别法的优点： 操作性强，特别是对于有理函数或包含根式的级数，选择合适的“熟人”后计算极限通常比较容易。它能帮我们快速“定位”级数的敛散性。
极限比较判别法的缺点： 需要计算极限，如果极限计算不熟悉可能会出错。有时选择“熟人”级数也需要一些经验。
三、 其他“秘密武器”（在你需要的时候才出场）
除了上述两大主力方法，我们还有一些“秘密武器”，在特定情况下会非常管用：
比值判别法（达朗贝尔判别法）： 适用于级数项包含指数或阶乘的级数。
计算 $lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = L$。
如果 $L < 1$，则级数收敛。
如果 $L > 1$，则级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效，需要换其他方法。
场景： 比如 $sum frac{2^n}{n!}$，计算比值时阶乘会抵消很多项，非常方便。
根值判别法（柯西判别法）： 适用于级数项 $a_n$ 形式上是关于 $n$ 的 $n$ 次方根，比如 $sum (frac{n+1}{2n+1})^n$。
计算 $lim_{n o infty} sqrt[n]{a_n} = L$。
如果 $L < 1$，则级数收敛。
如果 $L > 1$，则级数发散。
如果 $L = 1$，则判别法失效。
场景： 级数项本身就带了 $n$ 次方，开根号后形式会大大简化。
如何选择判别法？
这就像医生诊断病情一样，需要根据“症状”来选择“疗法”。
1. 看级数项的结构：
如果 $a_n$ 是关于 $n$ 的多项式或有理函数，或者包含根式，极限比较判别法通常是首选。直接比较判别法也可以，但可能需要更多的代数技巧。
如果 $a_n$ 包含 $n!$ 或指数函数 $a^n$，比值判别法非常合适。
如果 $a_n$ 是一个整体的 $n$ 次方形式，如 $a_n = (f(n))^n$，那么根值判别法是最佳选择。
2. 尝试计算： 有时候，你可以尝试用不同的方法计算一下，看看哪种方法更容易得出结果。比如，对于一个复杂的级数，先试着找个“熟人”用极限比较判别法算算看，如果极限好算，那就事半功倍。
3. 结合经验： 多做题，多练习，你会慢慢积累经验，看到一个级数就能大致判断出哪种方法更有效。
总结一下判断正项级数敛散性的基本思路：
第一步：观察！ 仔细看看你的级数 $sum a_n$，特别是它的项 $a_n$ 的结构。
第二步：找“熟人”！ 思考一下，它跟哪个 p级数或等比级数“长得像”，或者在无穷远处渐近关系明显。
第三步：选择方法！
如果 $a_n$ 是有理函数或带根式，试试极限比较判别法。
如果 $a_n$ 有阶乘或指数，试试比值判别法。
如果 $a_n$ 是整体的 $n$ 次方，试试根值判别法。
如果以上方法都不太顺畅，或者你对不等式比较有信心，可以尝试直接比较判别法。
第四步：计算并论证！ 严格按照所选方法的步骤进行计算和推理，最终得出级数收敛或发散的结论。
记住，判断正项级数的敛散性是一个循序渐进的过程，关键在于理解各种判别法的原理，并熟练运用它们来“驯服”那些看起来复杂的级数。多练，你就会发现这个过程其实充满乐趣和智慧！
网友意见
首先设
若 ，则 .
若 ，则由 收敛，可以得到
因此，数列 有正的上界 .
于是
类似的话题
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细说正项级数的敛散性判断：这招真的好使！很多同学在面对正项级数求敛散性时，总感觉无从下手，或者只会背一些死记硬背的公式。今天，咱们就来聊聊如何真正理解并熟练运用这些方法，让判断过程变得清晰明了，甚至带点“成就感”。首先，我们要明确什么是正项级数。简单来说，就是级数中所有的项都大于零。这个“正”字，可............. -
好的，咱们来聊聊函数项级数这个话题。这可不是什么新鲜玩意儿，数学界的老前辈们早就对它下了不少功夫，研究成果可以说是相当丰富，而且涉及的领域非常广泛。要说详细，咱们就从几个关键点入手，把这事儿说得透彻点。首先，得弄明白什么是函数项级数。简单来说，它就是把一系列函数像数字一样加起来，写成 $sum_{n.............
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好的，我们来聊聊如何把数列的“通项公式”给找出来。这就像是给一个数列找到了它的“身份证号码”，一旦知道了这个号码，你就能算出它任何一个位置上的数字是多少，无论它藏得多深。什么是“通项公式”？简单来说，通项公式就是用一个数学表达式，把数列中的任何一项（我们通常用 $a_n$ 来表示第 $n$ 项）和它.............
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好的，我们来详细推导等比数列的通项公式和求和公式。我会尽量用一种非常贴近人思考过程的方式来讲解，避免那些生硬的“AI体”表达。第一部分：等比数列的通项公式首先，我们得明白什么是等比数列。简单来说，就是一个数列，从第二项开始，每一项都等于前一项乘以一个固定的非零常数。这个固定的常数，我们给它一个名字，.............
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我理解你对“正能量”这个词感到不适。这并不是一个孤立的感受，很多人都有类似的体验。在我看来，这种“恶心感”并非空穴来风，而是源于这个词在实践中常常被误用、滥用，甚至被扭曲，导致它脱离了最初的美好寓意，变得空洞、虚伪，甚至带有压迫感。我们先来剥开“正能量”这个词本身，它原本的出发点是积极的、向上的。它.............
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201819 赛季，“正负值”这项数据，在咱们这些看球的爱好者眼里，一直是个挺有意思的指标。它不像得分、篮板那样直观，但仔细琢磨起来，它能给咱们不少新的视角。正负值是怎么来的？首先，得明白这数据是怎么算的。很简单，就是当一个球员在场上的时候，他所在球队的净胜分。也就是说，他上场期间，球队总得分减去对.............
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在物理学中，电场力对一个电荷所做的功与该电荷的电势能变化之间存在着明确的联系。简而言之，当电场力对一个电荷作正功时，这个电荷的电势能确实会减少。让我们深入探讨一下这个过程。电场是我们定义的一个区域，在这个区域内，任何带有电荷的物体都会受到力的作用。这个力就是电场力。而电势能，顾名思义，是电荷在电场中.............
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化学这门学科，就像一个无所不能的魔法盒子，它藏匿在我们生活的方方面面，塑造着我们所看到、所触碰、所呼吸的一切。如果你觉得它枯燥乏味，那是因为你还没有真正打开它，去感受它背后那股澎湃的创造力和改变世界的力量。想象一下，你拿起手机，那个光滑的屏幕，细腻的触感，鲜艳的色彩，背后是谁在默默工作？是那些日夜钻.............
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网传微信支付正内测“刷掌支付”的消息，确实引起了不少关注。从技术角度来看，这个功能潜力巨大，但也伴随着不少挑战。我个人认为，如果能克服这些困难，刷掌支付的前景是相当不错的。“刷掌支付”这个概念的靠谱性分析：首先，从用户体验的角度来说，刷掌支付的确非常吸引人。想象一下，出门只需带一部手机，甚至都不用拿.............
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这真是个让人又惊喜又有点摸不着头脑的消息！一个看起来正经又充满正能量的“老大爷”，要认我这个女大学生做干女儿，我脑子里立马冒出无数个问号，同时也有一丝丝被命运眷顾的窃喜。首先，我会好奇这位“老大爷”到底是谁。他给人的第一印象是“正经”和“正能量”，这本身就很有意思。通常我们想到“老大爷”，可能会浮现.............
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都市白领，曾经是许多人眼中光鲜亮丽的代名词，是社会进步的象征，是受过良好教育、拥有体面工作的群体。然而，近年来，一种新的论调正在悄然兴起，甚至成为许多人心照不宣的共识：现代都市白领，正在逐渐滑落，沦为新时代的“社会底层群体”，或者更形象地说，是“高智力民工”。这个说法听起来有些刺耳，甚至带着一丝残酷.............
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于正为《宫锁连城》侵犯《梅花烙》版权一事向琼瑶道歉，这件事无疑给沉寂了一段时间的娱乐圈又投下了一颗重磅炸弹。要看待这件事，咱们得从几个层面来聊。首先，从道歉本身来看，这是一个迟到但重要的表态。琼瑶起诉于正侵权，这事儿已经过去好几年了，法院也早就有了判决，于正败诉并被判赔偿。正常逻辑下，输了官司，道了.............
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如果我体内有一个正无穷大的储存空间，那绝对是一件颠覆我现有认知的奇事。首先，我得承认，最初的反应绝对是难以置信和一丝丝的恐慌，毕竟“正无穷大”这个概念本身就远超我的理解范畴。但一旦我能驾驭它，那么这股力量将彻底重塑我的生活和认知。重塑知识与学习的根基：我首先会把我所能接触到的一切信息都储存进去。想象.............
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在广州买房实在让人头疼，高企的房价让不少人望而却步。作为一名在广州打拼多年的普通打工族，我也有同样的困扰。眼瞅着广清一体化的大趋势，很多人开始把目光投向了清远，特别是听说是清远房价比较“接地气”，让人跃跃欲试。那问题来了，清远真的像传说中那样，是广州购房者一个靠谱的“第二选择”吗？我最近也做了不少功.............
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肖战直播对话万方这件事，说是“正能量”，但知乎上却有不少抵制的声音，这背后其实挺复杂的，可以从几个层面来理解：1. 事件本身解读的差异： 支持者眼中的“正能量”： 对于肖战的粉丝或者一些关注他个人发展的人来说，这次直播对话万方无疑是“正能量”的体现。他们会看到肖战作为公众人物，参与到国家级媒体的.............
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