怎么推导这个公式。等比数列通项公式，求和公式。？
好的，我们来详细推导等比数列的通项公式和求和公式。我会尽量用一种非常贴近人思考过程的方式来讲解，避免那些生硬的“AI体”表达。
第一部分：等比数列的通项公式
首先，我们得明白什么是等比数列。简单来说，就是一个数列，从第二项开始，每一项都等于前一项乘以一个固定的非零常数。这个固定的常数，我们给它一个名字，叫做“公比”，通常用字母 $q$ 来表示。
我们来举个例子，更容易理解：
3, 6, 12, 24, 48, ... 这是一个等比数列。这里的公比 $q$ 就是 6 / 3 = 2，或者 12 / 6 = 2，以此类推。
10, 5, 2.5, 1.25, ... 这是一个等比数列。这里的公比 $q$ 就是 5 / 10 = 0.5，或者 2.5 / 5 = 0.5。
2, 4, 8, 16, ... 这是一个等比数列。这里的公比 $q$ 就是 4 / 2 = 2，或者 8 / 4 = 2。
有了这个概念，我们就可以开始推导通项公式了。通项公式的意思是，不管你想知道这个数列的第几项，只要你把项数代进去，就能直接算出那个值。
我们用 $a_n$ 来表示等比数列的第 $n$ 项。
第一项：我们通常用 $a_1$ 来表示等比数列的第一个数。
第二项：根据定义，第二项是第一项乘以公比 $q$。所以，$a_2 = a_1 imes q$。
第三项：第三项是第二项乘以公比 $q$。所以，$a_3 = a_2 imes q$。但我们知道 $a_2 = a_1 imes q$，所以把这个代进去，$a_3 = (a_1 imes q) imes q = a_1 imes q^2$。
第四项：第四项是第三项乘以公比 $q$。所以，$a_4 = a_3 imes q$。我们知道 $a_3 = a_1 imes q^2$，代进去，$a_4 = (a_1 imes q^2) imes q = a_1 imes q^3$。
我们来观察一下规律：
$a_1 = a_1 imes q^0$ (任何非零数的0次方都是1，所以 $q^0=1$)
$a_2 = a_1 imes q^1$
$a_3 = a_1 imes q^2$
$a_4 = a_1 imes q^3$
你有没有发现一个模式？等比数列的第 $n$ 项 $a_n$ 是由第一项 $a_1$ 乘以公比 $q$ 的一个幂次得到的。这个幂次跟项数 $n$ 有关。我们看看这个幂次和项数有什么关系：
$a_1$ 的幂次是 0
$a_2$ 的幂次是 1
$a_3$ 的幂次是 2
$a_4$ 的幂次是 3
看起来，这个幂次总是比项数小 1。所以，对于第 $n$ 项 $a_n$，公比 $q$ 的幂次应该是 $n1$。
那么，等比数列的通项公式就推导出来了：
$a_n = a_1 imes q^{n1}$
这个公式非常有用，它告诉我们，只要知道了等比数列的第一个数 ($a_1$) 和公比 ($q$)，我们就能算出任意一项的值。
重要提醒： 这个公式在 $q=1$ 的时候也成立。如果 $q=1$，那么 $a_n = a_1 imes 1^{n1} = a_1 imes 1 = a_1$。这符合等比数列的定义，因为每一项都乘以 1，所以每一项都等于第一项，就是一个常数数列。另外，如果 $a_1=0$，那么无论公比是多少，数列的每一项都是0，公式也依然成立。
第二部分：等比数列的求和公式
现在我们知道了如何求任意一项，那如果我们想把等比数列的前 $n$ 项加起来，得到一个总和呢？这就是等比数列的求和公式要解决的问题。
我们设等比数列前 $n$ 项的和为 $S_n$。也就是说：
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + dots + a_{n1} + a_n$
把每一项用通项公式表示出来：
$S_n = a_1 + (a_1 q) + (a_1 q^2) + dots + (a_1 q^{n2}) + (a_1 q^{n1})$
现在，我们要玩一个“数学把戏”，让这个复杂的式子变简单。这个把戏是，我们将整个式子都乘以公比 $q$。
$q S_n = q (a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1})$
将 $q$ 分配到括号里的每一项：
$q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n$
好，现在我们有了两个式子：
1. $S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1}$
2. $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n$
我们来做减法运算，用第二个式子减去第一个式子。仔细看，你会发现很多项是相同的，它们会“抵消”掉。
$q S_n S_n =$
$(a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n) $
$(a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1})$
让我们把式子对齐，更容易看清楚：
$q S_n = quad quad a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n$
$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1}$
相减后：
$q S_n S_n = (a_1 q a_1 q) + (a_1 q^2 a_1 q^2) + dots + (a_1 q^{n1} a_1 q^{n1}) + a_1 q^n a_1$
注意到，从 $a_1 q$ 到 $a_1 q^{n1}$ 的每一项，在第一个式子中都有，在第二个式子中也有，所以它们相减后都变成了0。
所以，剩下的就只有第一项 $a_1$（它只在 $S_n$ 的式子里，前面是负号）和最后一项 $a_1 q^n$（它只在 $q S_n$ 的式子里，前面是正号）。
$q S_n S_n = a_1 q^n a_1$
现在，我们来整理左边的式子。可以把 $S_n$ 提出来：
$S_n (q 1) = a_1 q^n a_1$
我们还可以把右边的式子也整理一下，提个公因数 $a_1$：
$S_n (q 1) = a_1 (q^n 1)$
现在，我们想得到 $S_n$ 的表达式。如果 $q1$ 不是零（也就是 $q eq 1$ 的时候），我们就可以用等式两边同时除以 $q1$。
$S_n = frac{a_1 (q^n 1)}{q 1}$
这就是等比数列求和公式最常见的形式。
一个重要情况：当 $q = 1$ 时
我们刚才推导过程中，除以了 $q1$。如果 $q=1$，那么 $q1=0$，我们就不能这样做了。
我们回想一下，如果 $q=1$，等比数列是什么样的？
$a_1, a_1 imes 1, a_1 imes 1^2, dots, a_1 imes 1^{n1}$
也就是
$a_1, a_1, a_1, dots, a_1$
这是不是一个简单到极致的数列？就是 $n$ 个相同的数 $a_1$ 相加。
所以，当 $q=1$ 时，前 $n$ 项的和 $S_n$ 就是：
$S_n = a_1 + a_1 + a_1 + dots + a_1$ （一共 $n$ 个 $a_1$）
$S_n = n imes a_1$
这个形式和上面的公式是不同的，所以我们需要单独列出来。
另一种形式的求和公式
我们还可以对公式 $S_n = frac{a_1 (q^n 1)}{q 1}$ 做一些变形。如果分子分母都乘以 $1$，会变成什么样？
$S_n = frac{a_1 ((1 q^n))}{(1 q)}$
$S_n = frac{a_1 (1 q^n)}{1 q}$
这个形式在使用时和前一种形式效果一样，只是在处理公比小于1的时候可能更方便一些，避免出现负数。
公式的总结
到这里，我们就把等比数列的通项公式和求和公式都推导出来了。
等比数列通项公式：
$a_n = a_1 cdot q^{n1}$
其中，$a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$q$ 是公比。
等比数列求和公式：
当 $q eq 1$ 时：
$S_n = frac{a_1 (q^n 1)}{q 1}$ 或 $S_n = frac{a_1 (1 q^n)}{1 q}$
当 $q = 1$ 时：
$S_n = n cdot a_1$
希望这样详细的推导过程，能让你清楚地理解这两个公式是怎么来的！这其实就是数学的魅力所在，从最基本的定义出发，通过一步步的逻辑推理，最终得到简洁而强大的工具。
第一部分：等比数列的通项公式
首先，我们得明白什么是等比数列。简单来说，就是一个数列，从第二项开始，每一项都等于前一项乘以一个固定的非零常数。这个固定的常数，我们给它一个名字，叫做“公比”，通常用字母 $q$ 来表示。
我们来举个例子，更容易理解：
3, 6, 12, 24, 48, ... 这是一个等比数列。这里的公比 $q$ 就是 6 / 3 = 2，或者 12 / 6 = 2，以此类推。
10, 5, 2.5, 1.25, ... 这是一个等比数列。这里的公比 $q$ 就是 5 / 10 = 0.5，或者 2.5 / 5 = 0.5。
2, 4, 8, 16, ... 这是一个等比数列。这里的公比 $q$ 就是 4 / 2 = 2，或者 8 / 4 = 2。
有了这个概念，我们就可以开始推导通项公式了。通项公式的意思是，不管你想知道这个数列的第几项，只要你把项数代进去，就能直接算出那个值。
我们用 $a_n$ 来表示等比数列的第 $n$ 项。
第一项：我们通常用 $a_1$ 来表示等比数列的第一个数。
第二项：根据定义，第二项是第一项乘以公比 $q$。所以，$a_2 = a_1 imes q$。
第三项：第三项是第二项乘以公比 $q$。所以，$a_3 = a_2 imes q$。但我们知道 $a_2 = a_1 imes q$，所以把这个代进去，$a_3 = (a_1 imes q) imes q = a_1 imes q^2$。
第四项：第四项是第三项乘以公比 $q$。所以，$a_4 = a_3 imes q$。我们知道 $a_3 = a_1 imes q^2$，代进去，$a_4 = (a_1 imes q^2) imes q = a_1 imes q^3$。
我们来观察一下规律：
$a_1 = a_1 imes q^0$ (任何非零数的0次方都是1，所以 $q^0=1$)
$a_2 = a_1 imes q^1$
$a_3 = a_1 imes q^2$
$a_4 = a_1 imes q^3$
你有没有发现一个模式？等比数列的第 $n$ 项 $a_n$ 是由第一项 $a_1$ 乘以公比 $q$ 的一个幂次得到的。这个幂次跟项数 $n$ 有关。我们看看这个幂次和项数有什么关系：
$a_1$ 的幂次是 0
$a_2$ 的幂次是 1
$a_3$ 的幂次是 2
$a_4$ 的幂次是 3
看起来，这个幂次总是比项数小 1。所以，对于第 $n$ 项 $a_n$，公比 $q$ 的幂次应该是 $n1$。
那么，等比数列的通项公式就推导出来了：
$a_n = a_1 imes q^{n1}$
这个公式非常有用，它告诉我们，只要知道了等比数列的第一个数 ($a_1$) 和公比 ($q$)，我们就能算出任意一项的值。
重要提醒： 这个公式在 $q=1$ 的时候也成立。如果 $q=1$，那么 $a_n = a_1 imes 1^{n1} = a_1 imes 1 = a_1$。这符合等比数列的定义，因为每一项都乘以 1，所以每一项都等于第一项，就是一个常数数列。另外，如果 $a_1=0$，那么无论公比是多少，数列的每一项都是0，公式也依然成立。
第二部分：等比数列的求和公式
现在我们知道了如何求任意一项，那如果我们想把等比数列的前 $n$ 项加起来，得到一个总和呢？这就是等比数列的求和公式要解决的问题。
我们设等比数列前 $n$ 项的和为 $S_n$。也就是说：
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + dots + a_{n1} + a_n$
把每一项用通项公式表示出来：
$S_n = a_1 + (a_1 q) + (a_1 q^2) + dots + (a_1 q^{n2}) + (a_1 q^{n1})$
现在，我们要玩一个“数学把戏”，让这个复杂的式子变简单。这个把戏是，我们将整个式子都乘以公比 $q$。
$q S_n = q (a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1})$
将 $q$ 分配到括号里的每一项：
$q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n$
好，现在我们有了两个式子：
1. $S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1}$
2. $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n$
我们来做减法运算，用第二个式子减去第一个式子。仔细看，你会发现很多项是相同的，它们会“抵消”掉。
$q S_n S_n =$
$(a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n) $
$(a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1})$
让我们把式子对齐，更容易看清楚：
$q S_n = quad quad a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n1} + a_1 q^n$
$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + dots + a_1 q^{n2} + a_1 q^{n1}$
相减后：
$q S_n S_n = (a_1 q a_1 q) + (a_1 q^2 a_1 q^2) + dots + (a_1 q^{n1} a_1 q^{n1}) + a_1 q^n a_1$
注意到，从 $a_1 q$ 到 $a_1 q^{n1}$ 的每一项，在第一个式子中都有，在第二个式子中也有，所以它们相减后都变成了0。
所以，剩下的就只有第一项 $a_1$（它只在 $S_n$ 的式子里，前面是负号）和最后一项 $a_1 q^n$（它只在 $q S_n$ 的式子里，前面是正号）。
$q S_n S_n = a_1 q^n a_1$
现在，我们来整理左边的式子。可以把 $S_n$ 提出来：
$S_n (q 1) = a_1 q^n a_1$
我们还可以把右边的式子也整理一下，提个公因数 $a_1$：
$S_n (q 1) = a_1 (q^n 1)$
现在，我们想得到 $S_n$ 的表达式。如果 $q1$ 不是零（也就是 $q eq 1$ 的时候），我们就可以用等式两边同时除以 $q1$。
$S_n = frac{a_1 (q^n 1)}{q 1}$
这就是等比数列求和公式最常见的形式。
一个重要情况：当 $q = 1$ 时
我们刚才推导过程中，除以了 $q1$。如果 $q=1$，那么 $q1=0$，我们就不能这样做了。
我们回想一下，如果 $q=1$，等比数列是什么样的？
$a_1, a_1 imes 1, a_1 imes 1^2, dots, a_1 imes 1^{n1}$
也就是
$a_1, a_1, a_1, dots, a_1$
这是不是一个简单到极致的数列？就是 $n$ 个相同的数 $a_1$ 相加。
所以，当 $q=1$ 时，前 $n$ 项的和 $S_n$ 就是：
$S_n = a_1 + a_1 + a_1 + dots + a_1$ （一共 $n$ 个 $a_1$）
$S_n = n imes a_1$
这个形式和上面的公式是不同的，所以我们需要单独列出来。
另一种形式的求和公式
我们还可以对公式 $S_n = frac{a_1 (q^n 1)}{q 1}$ 做一些变形。如果分子分母都乘以 $1$，会变成什么样？
$S_n = frac{a_1 ((1 q^n))}{(1 q)}$
$S_n = frac{a_1 (1 q^n)}{1 q}$
这个形式在使用时和前一种形式效果一样，只是在处理公比小于1的时候可能更方便一些，避免出现负数。
公式的总结
到这里，我们就把等比数列的通项公式和求和公式都推导出来了。
等比数列通项公式：
$a_n = a_1 cdot q^{n1}$
其中，$a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$q$ 是公比。
等比数列求和公式：
当 $q eq 1$ 时：
$S_n = frac{a_1 (q^n 1)}{q 1}$ 或 $S_n = frac{a_1 (1 q^n)}{1 q}$
当 $q = 1$ 时：
$S_n = n cdot a_1$
希望这样详细的推导过程，能让你清楚地理解这两个公式是怎么来的！这其实就是数学的魅力所在，从最基本的定义出发，通过一步步的逻辑推理，最终得到简洁而强大的工具。
网友意见
可以观察到Sn和qSn重复项极多
如1，2，4，8，16，……和2，4，8，16，32，……
可知qSn-Sn=32-1(中间雷同数列已经抵消)=q*a1*q^(n-1)-a1=a1*(q^n-1)，这是EXCEL的计算式写法，抵消雷同数列是借鉴高斯大佬等差数列的思路，至于为什么要大数列减小数列，只能说我是凡人，就是觉得大数列-小数列看着顺眼……
可以推出Sn*(q-1)=a1*(q^n-1)
也就是Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)
【除号上下各乘-1，得到教科书的公式】
补充：
昨天推错了一个点，不好意思，今天修正了。
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