正三棱锥内切球的四个切点（两类）分别在三角形的什么位置？
要弄清楚正三棱锥内切球的四个切点究竟在三角形的什么位置，咱们得先理理清楚这正三棱锥是个啥，以及它的内切球是咋一回事。
正三棱锥：基础认识
首先，正三棱锥，顾名思义，它是个棱长都相等的锥体，而且底面是个正三角形。你可以想象一个正四面体，去掉一个顶点，剩下的就是我们说的正三棱锥（当然，这里特指底面是正三角形，侧面也是等边三角形，并且顶点在底面中心垂向上）。
底面： 一个正三角形。
侧面： 三个全等的等边三角形。
顶点： 位于底面正三角形的中心（也就是它的外心、内心、重心、垂心都是同一个点）。
棱长： 所有边长都相等。
内切球：接触与支撑
内切球，顾名思义，就是能够“塞”进这个正三棱锥内部，并且和它的每一个面（包括底面和三个侧面）都相切的那个球。这个球的球心，必然在整个正三棱锥的对称轴上，也就是从顶点到底面中心连的那条线上。
切点：接触的痕迹
内切球和正三棱锥的各个面接触的地方，就是切点。咱们要找的就是这几个切点，都在哪些三角形上，具体又在三角形的哪个位置。
现在，咱们就来详细分析一下这四个切点：
第一类切点：在底面上的那个
内切球和正三棱锥的底面（那个正三角形）肯定会有一个接触点。因为正三棱锥的结构是严格对称的，这个接触点最合理、也最必然的位置，就是底面这个正三角形的中心点。
为什么是中心点？ 想象一下，如果接触点不在中心，球就会往一边偏。但是，内切球的球心在正三棱锥的对称轴上，而对称轴正好穿过底面的中心。球心到任何一个面的垂直距离都是半径，这个垂直距离自然就落在了底面的中心上。
具体位置： 如果你把底面的正三角形看成一个独立的平面图形，这个切点就在这个正三角形的内心、外心、重心、垂心（这四个点在正三角形上是同一个点）的位置。
第二类切点：在侧面上的那三个
除了底面，内切球还要和三个侧面的等边三角形相切。由于这三个侧面是完全相同的，而且对称分布，所以内切球与它们切点的分布也是对称的。
这里我们要细致一点：
切点的位置： 内切球和每个侧面等边三角形的切点，会出现在这个三角形的高线的垂足上。更具体地说，是每个侧面三角形三条高线（也是中线、角平分线）的交点。
为什么是高线的垂足（或者说三线交点）？
1. 球心到面的垂直距离： 球心在正三棱锥的对称轴上。这个轴线垂直于底面。当内切球与侧面相切时，球心到侧面三角形的垂直距离就是球的半径。
2. 侧面三角形的对称性： 每个侧面都是等边三角形，非常对称。三角形的高线、中线、角平分线都汇聚在同一个点，也就是这个三角形的中心。
3. 想象一下： 球心离侧面三角形表面的最短距离，就是垂直距离。在等边三角形中，最能体现这种“中心”位置的就是它的三条高线/中线的交点。这个点到三条边的距离相等，也到三个顶点的距离相等。
4. 几何关系： 你可以想象一下，从球心向侧面三角形的三条边（也就是正三棱锥的侧棱）投影，会得到三个点。由于对称性，这三个点肯定会落在侧面三角形的三条高线上。而球心到侧面三角形的切点，就是从球心作垂直于侧面的垂线，垂足就在这个侧面三角形上。这个垂足，由于球心和侧面三角形的对称性，正好就是侧面三角形的中心点。
更详细地说：
每个侧面是个等边三角形。
每个等边三角形有三条高线。
内切球与这个侧面三角形的切点，正好是这个等边三角形的三条高线（同时也是中线和角平分线）的交点。你可以理解为，这是这个侧面三角形的“中心”位置。
如果你考虑这个侧面三角形的三个顶点和三条边，这个切点到三条边的距离是相等的（是半径），而且它正好在三角形的“正中央”。
总结一下这四类切点：
1. 一个切点： 在正三棱锥的底面上，具体位置是底面那个正三角形的中心点（内心、外心、重心、垂心重合之处）。
2. 三个切点： 分别在正三棱锥的三个侧面上。每个切点都位于其所在的那个侧面（等边三角形）的中心位置，也就是这个等边三角形三条高线（或中线、角平分线）的交点。
简单来说，内切球与底面相切于底面正三角形的中心，与三个侧面分别相切于这三个等边三角形的各自中心。
正三棱锥：基础认识
首先，正三棱锥，顾名思义，它是个棱长都相等的锥体，而且底面是个正三角形。你可以想象一个正四面体，去掉一个顶点，剩下的就是我们说的正三棱锥（当然，这里特指底面是正三角形，侧面也是等边三角形，并且顶点在底面中心垂向上）。
底面： 一个正三角形。
侧面： 三个全等的等边三角形。
顶点： 位于底面正三角形的中心（也就是它的外心、内心、重心、垂心都是同一个点）。
棱长： 所有边长都相等。
内切球：接触与支撑
内切球，顾名思义，就是能够“塞”进这个正三棱锥内部，并且和它的每一个面（包括底面和三个侧面）都相切的那个球。这个球的球心，必然在整个正三棱锥的对称轴上，也就是从顶点到底面中心连的那条线上。
切点：接触的痕迹
内切球和正三棱锥的各个面接触的地方，就是切点。咱们要找的就是这几个切点，都在哪些三角形上，具体又在三角形的哪个位置。
现在，咱们就来详细分析一下这四个切点：
第一类切点：在底面上的那个
内切球和正三棱锥的底面（那个正三角形）肯定会有一个接触点。因为正三棱锥的结构是严格对称的，这个接触点最合理、也最必然的位置，就是底面这个正三角形的中心点。
为什么是中心点？ 想象一下，如果接触点不在中心，球就会往一边偏。但是，内切球的球心在正三棱锥的对称轴上，而对称轴正好穿过底面的中心。球心到任何一个面的垂直距离都是半径，这个垂直距离自然就落在了底面的中心上。
具体位置： 如果你把底面的正三角形看成一个独立的平面图形，这个切点就在这个正三角形的内心、外心、重心、垂心（这四个点在正三角形上是同一个点）的位置。
第二类切点：在侧面上的那三个
除了底面，内切球还要和三个侧面的等边三角形相切。由于这三个侧面是完全相同的，而且对称分布，所以内切球与它们切点的分布也是对称的。
这里我们要细致一点：
切点的位置： 内切球和每个侧面等边三角形的切点，会出现在这个三角形的高线的垂足上。更具体地说，是每个侧面三角形三条高线（也是中线、角平分线）的交点。
为什么是高线的垂足（或者说三线交点）？
1. 球心到面的垂直距离： 球心在正三棱锥的对称轴上。这个轴线垂直于底面。当内切球与侧面相切时，球心到侧面三角形的垂直距离就是球的半径。
2. 侧面三角形的对称性： 每个侧面都是等边三角形，非常对称。三角形的高线、中线、角平分线都汇聚在同一个点，也就是这个三角形的中心。
3. 想象一下： 球心离侧面三角形表面的最短距离，就是垂直距离。在等边三角形中，最能体现这种“中心”位置的就是它的三条高线/中线的交点。这个点到三条边的距离相等，也到三个顶点的距离相等。
4. 几何关系： 你可以想象一下，从球心向侧面三角形的三条边（也就是正三棱锥的侧棱）投影，会得到三个点。由于对称性，这三个点肯定会落在侧面三角形的三条高线上。而球心到侧面三角形的切点，就是从球心作垂直于侧面的垂线，垂足就在这个侧面三角形上。这个垂足，由于球心和侧面三角形的对称性，正好就是侧面三角形的中心点。
更详细地说：
每个侧面是个等边三角形。
每个等边三角形有三条高线。
内切球与这个侧面三角形的切点，正好是这个等边三角形的三条高线（同时也是中线和角平分线）的交点。你可以理解为，这是这个侧面三角形的“中心”位置。
如果你考虑这个侧面三角形的三个顶点和三条边，这个切点到三条边的距离是相等的（是半径），而且它正好在三角形的“正中央”。
总结一下这四类切点：
1. 一个切点： 在正三棱锥的底面上，具体位置是底面那个正三角形的中心点（内心、外心、重心、垂心重合之处）。
2. 三个切点： 分别在正三棱锥的三个侧面上。每个切点都位于其所在的那个侧面（等边三角形）的中心位置，也就是这个等边三角形三条高线（或中线、角平分线）的交点。
简单来说，内切球与底面相切于底面正三角形的中心，与三个侧面分别相切于这三个等边三角形的各自中心。
网友意见
设正三棱锥 的高 ，底面边长 ， 为球心的内切球关于 的切点为 。各种辅助线如图。
容易计算 ， ， , , ;
由相似 , 于是有
得到了 三边，建立坐标系的时候就很好确定切点 的位置了。
最后我们看看 与 的关系。
由几何关系可知 位于 的角平分线上。于是
,
由半角公式
又
于是得到
最后给一个正四面体切点位置的证明。
引理（切线长定理） 球外一点做两条切线，切线长总相等。
这个引理有一个非常自然的推论：
推论 若球外两点到球心的距离相等，则过两点关于球面的切线长相等。
有了这个结论，证明就是很显然的事情。
命题 正四面体内切球的切点是四面体各个面上的重心。
证：对于正四面体 ，设内切球关于 的切点为 ，由于 同时为 的三个顶点关于内切球的切线长端点，并且这三个顶点到内切球心的距离相等，于是由引理推论，此三者到 的距离相等，即 ，故 是 的外心，但是 同时也是等边三角形，于是外心与重心重合。
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