对于所有的无穷小，能否把它们趋于0的速度定义为一个数，使得趋于0速度较小的一定是较低阶的无穷小？
这个问题触及了无穷小阶的本质，以及我们如何量化它们“消失”的速度。答案是肯定的，我们可以为无穷小定义一种“速度”的衡量标准，而这个标准确实能让我们区分出不同“消失”速率的无穷小。
什么是无穷小？
首先，我们要明确“无穷小”的含义。在一个极限的过程中，当自变量趋于某个值（通常是0，但也可以是其他值），而某个函数的值也同时趋于0，那么这个函数就被称为一个无穷小。
举个例子，当 $x o 0$ 时：
$x$ 是一个无穷小。
$x^2$ 是一个无穷小。
$sin(x)$ 是一个无穷小。
$e^x 1$ 是一个无穷小。
无穷小的“速度”：阶的概念
我们直观上会觉得，$x^2$ 比 $x$ 更快地趋于0。当你取一个很小的 $x$，比如 $x=0.1$：
$x = 0.1$
$x^2 = 0.01$
$x^2$ 的值比 $x$ 小了10倍。如果我们继续缩小 $x$ 到 $0.01$：
$x = 0.01$
$x^2 = 0.0001$
$x^2$ 再次比 $x$ 小了100倍。这种“更快地消失”的特性，正是我们想要量化的“速度”。
在数学上，我们通过“阶”来衡量无穷小的趋于0的速度。阶，本质上就是将一个无穷小与另一个“标准”无穷小（通常是 $x$ 或者 $(xa)$，其中 $a$ 是自变量的极限点）进行比较。
定义无穷小的阶
假设有两个无穷小 $alpha(x)$ 和 $eta(x)$，当 $x o a$ 时，它们都趋于0。我们说 $alpha(x)$ 是 $eta(x)$ 的 $p$ 阶无穷小，如果：
$$ lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(eta(x))^p} = C $$
其中 $C$ 是一个非零常数。
将 $alpha(x)$ 与标准无穷小 $(xa)$ 比较
通常，我们会将一个无穷小 $alpha(x)$ 与 $(xa)$ 比较，来定义 $alpha(x)$ 的阶。也就是说，我们看：
$$ lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = C eq 0 $$
在这种定义下，$p$ 就是 $alpha(x)$ 相对于 $(xa)$ 的阶。
低阶无穷小：指当 $x o a$ 时，它的值比 $(xa)^p$ 更快地趋于0。这意味着，如果我们要让 $frac{alpha(x)}{(xa)^p}$ 趋于0，我们需要让 $p$ 变得更大。换句话说，一个较低的 $p$ 值，代表着 $alpha(x)$ 比 $(xa)^p$ 更快地趋于0。
高阶无穷小：反之，如果 $lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = infty$（或者说，在比较时， $alpha(x)$ 比 $(xa)^p$ 慢地趋于0），则 $alpha(x)$ 是 $(xa)^p$ 的高阶无穷小。
将“速度”量化为数字：阶数 $p$
这里的阶数 $p$ 就是我们想要定义的那个“数”。
一个较低的 $p$ 值，表示 $alpha(x)$ 趋于0的速度更快。
让我再举些例子，假设 $x o 0$：
1. $alpha(x) = x^2$ vs $eta(x) = x$:
$$ lim_{x o 0} frac{x^2}{x^p} $$
如果我们取 $p=1$，得到 $lim_{x o 0} frac{x^2}{x} = lim_{x o 0} x = 0$。这说明 $x^2$ 比 $x$ 趋于0的速度快，它是 $x$ 的高阶无穷小。
如果我们取 $p=2$，得到 $lim_{x o 0} frac{x^2}{x^2} = lim_{x o 0} 1 = 1$。这是一个非零常数。
所以，我们说 $x^2$ 是 $x$ 的 2阶 无穷小。
2. $alpha(x) = x$ vs $eta(x) = x^2$:
$$ lim_{x o 0} frac{x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{1}{x} = infty $$
这说明 $x$ 比 $x^2$ 趋于0的速度慢，它是 $x^2$ 的低阶无穷小。
如果我们取 $p=1$，得到 $lim_{x o 0} frac{x}{x^1} = lim_{x o 0} 1 = 1$。
所以，我们说 $x$ 是 $x^2$ 的 1阶 无穷小（相对于 $x^2$ 自身来说）。
更正式地，我们定义 $alpha(x)$ 关于 $x$ 的阶
当 $alpha(x)$ 是一个无穷小，且：
$$ lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = C $$
其中 $C$ 是一个非零常数，$p > 0$。那么 $alpha(x)$ 就是关于 $(xa)$ 的 $p$ 阶无穷小。
$p$ 值越小，$alpha(x)$ 趋于0的速度越快。
如果 $p=1$，$alpha(x)$ 是 $(xa)$ 的一阶无穷小，它的速度与 $(xa)$ 相当。
如果 $p=2$，$alpha(x)$ 是 $(xa)$ 的二阶无穷小，它的速度比 $(xa)$ 快。
如果 $p=0.5$，$alpha(x)$ 是 $(xa)$ 的半阶无穷小，它的速度比 $(xa)$ 慢。
“趋于0的速度较小的一定是较低阶的无穷小”
这里的表述可能有点歧义。我们通常是这样理解的：
“速度较小” 指的是“消失得更慢”。
“较低阶” 指的是 $p$ 值较小。
如果“较低阶”指的是 $p$ 值较小，那么“速度较小”就与“较低阶”是矛盾的。 让我们重新梳理一下：
当 $alpha(x)$ 是关于 $(xa)$ 的 $p$ 阶无穷小，即 $lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = C eq 0$：
$p$ 值大 $implies$ $alpha(x)$ 趋于0的速度快（因为它包含更多的 $(xa)$ 因子）。
$p$ 值小 $implies$ $alpha(x)$ 趋于0的速度慢（因为它包含更少的 $(xa)$ 因子，或者说，即使是负指数 $p$，速度也比 $(xa)$ 快）。
所以，修正一下表述：
对于所有的无穷小，我们可以把它们趋于0的速度定义为一个数（即它们的阶 $p$），使得趋于0的速度较快（消失得更快）的无穷小，其对应的阶数 $p$ 值较大。反之，趋于0的速度较慢（消失得更慢）的无穷小，其对应的阶数 $p$ 值较小。
更清晰的对比：
比较 $f(x) = x$ 和 $g(x) = x^2$ 当 $x o 0$：
$f(x) = x$ 是 $x$ 的一阶无穷小（$p=1$），它关于 $x$ 的速度是“1”。
$g(x) = x^2$ 是 $x$ 的二阶无穷小（$p=2$），它关于 $x$ 的速度是“2”。
在这种情况下，$g(x)$（$x^2$）的“速度数”2大于 $f(x)$（$x$）的“速度数”1。而 $x^2$ 的确比 $x$ 消失得更快。
再比较 $h(x) = sqrt{x}$ 和 $f(x) = x$ 当 $x o 0^+$：
$f(x) = x$ 是 $x$ 的一阶无穷小（$p=1$）。
$h(x) = sqrt{x} = x^{1/2}$。我们来计算它的阶：
$$ lim_{x o 0^+} frac{sqrt{x}}{x^p} $$
如果我们取 $p=1/2$，得到 $lim_{x o 0^+} frac{x^{1/2}}{x^{1/2}} = 1$。
所以 $h(x) = sqrt{x}$ 是 $x$ 的半阶无穷小（$p=1/2$）。
在这里，$h(x)$（$sqrt{x}$）的“速度数”1/2小于 $f(x)$（$x$）的“速度数”1。而 $sqrt{x}$ 的确比 $x$ 消失得更慢。
结论：
是的，我们可以把无穷小趋于0的速度量化为一个数，这个数就是它们的“阶” $p$。这个 $p$ 值直接反映了它们相对于一个基准无穷小（如 $(xa)$）的“消失”速率：
$p$ 值越大，该无穷小趋于0的速度越快。
$p$ 值越小，该无穷小趋于0的速度越慢。
因此，“趋于0的速度较慢”的无穷小，对应的是“较低的阶数 $p$”。 我们的定义非常清晰地捕捉到了这一点。这种阶的定义是理解和处理无穷小、简化极限计算（例如洛必达法则的替代思想）以及分析函数渐进行为的重要工具。
什么是无穷小？
首先，我们要明确“无穷小”的含义。在一个极限的过程中，当自变量趋于某个值（通常是0，但也可以是其他值），而某个函数的值也同时趋于0，那么这个函数就被称为一个无穷小。
举个例子，当 $x o 0$ 时：
$x$ 是一个无穷小。
$x^2$ 是一个无穷小。
$sin(x)$ 是一个无穷小。
$e^x 1$ 是一个无穷小。
无穷小的“速度”：阶的概念
我们直观上会觉得，$x^2$ 比 $x$ 更快地趋于0。当你取一个很小的 $x$，比如 $x=0.1$：
$x = 0.1$
$x^2 = 0.01$
$x^2$ 的值比 $x$ 小了10倍。如果我们继续缩小 $x$ 到 $0.01$：
$x = 0.01$
$x^2 = 0.0001$
$x^2$ 再次比 $x$ 小了100倍。这种“更快地消失”的特性，正是我们想要量化的“速度”。
在数学上，我们通过“阶”来衡量无穷小的趋于0的速度。阶，本质上就是将一个无穷小与另一个“标准”无穷小（通常是 $x$ 或者 $(xa)$，其中 $a$ 是自变量的极限点）进行比较。
定义无穷小的阶
假设有两个无穷小 $alpha(x)$ 和 $eta(x)$，当 $x o a$ 时，它们都趋于0。我们说 $alpha(x)$ 是 $eta(x)$ 的 $p$ 阶无穷小，如果：
$$ lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(eta(x))^p} = C $$
其中 $C$ 是一个非零常数。
将 $alpha(x)$ 与标准无穷小 $(xa)$ 比较
通常，我们会将一个无穷小 $alpha(x)$ 与 $(xa)$ 比较，来定义 $alpha(x)$ 的阶。也就是说，我们看：
$$ lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = C eq 0 $$
在这种定义下，$p$ 就是 $alpha(x)$ 相对于 $(xa)$ 的阶。
低阶无穷小：指当 $x o a$ 时，它的值比 $(xa)^p$ 更快地趋于0。这意味着，如果我们要让 $frac{alpha(x)}{(xa)^p}$ 趋于0，我们需要让 $p$ 变得更大。换句话说，一个较低的 $p$ 值，代表着 $alpha(x)$ 比 $(xa)^p$ 更快地趋于0。
高阶无穷小：反之，如果 $lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = infty$（或者说，在比较时， $alpha(x)$ 比 $(xa)^p$ 慢地趋于0），则 $alpha(x)$ 是 $(xa)^p$ 的高阶无穷小。
将“速度”量化为数字：阶数 $p$
这里的阶数 $p$ 就是我们想要定义的那个“数”。
一个较低的 $p$ 值，表示 $alpha(x)$ 趋于0的速度更快。
让我再举些例子，假设 $x o 0$：
1. $alpha(x) = x^2$ vs $eta(x) = x$:
$$ lim_{x o 0} frac{x^2}{x^p} $$
如果我们取 $p=1$，得到 $lim_{x o 0} frac{x^2}{x} = lim_{x o 0} x = 0$。这说明 $x^2$ 比 $x$ 趋于0的速度快，它是 $x$ 的高阶无穷小。
如果我们取 $p=2$，得到 $lim_{x o 0} frac{x^2}{x^2} = lim_{x o 0} 1 = 1$。这是一个非零常数。
所以，我们说 $x^2$ 是 $x$ 的 2阶 无穷小。
2. $alpha(x) = x$ vs $eta(x) = x^2$:
$$ lim_{x o 0} frac{x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{1}{x} = infty $$
这说明 $x$ 比 $x^2$ 趋于0的速度慢，它是 $x^2$ 的低阶无穷小。
如果我们取 $p=1$，得到 $lim_{x o 0} frac{x}{x^1} = lim_{x o 0} 1 = 1$。
所以，我们说 $x$ 是 $x^2$ 的 1阶 无穷小（相对于 $x^2$ 自身来说）。
更正式地，我们定义 $alpha(x)$ 关于 $x$ 的阶
当 $alpha(x)$ 是一个无穷小，且：
$$ lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = C $$
其中 $C$ 是一个非零常数，$p > 0$。那么 $alpha(x)$ 就是关于 $(xa)$ 的 $p$ 阶无穷小。
$p$ 值越小，$alpha(x)$ 趋于0的速度越快。
如果 $p=1$，$alpha(x)$ 是 $(xa)$ 的一阶无穷小，它的速度与 $(xa)$ 相当。
如果 $p=2$，$alpha(x)$ 是 $(xa)$ 的二阶无穷小，它的速度比 $(xa)$ 快。
如果 $p=0.5$，$alpha(x)$ 是 $(xa)$ 的半阶无穷小，它的速度比 $(xa)$ 慢。
“趋于0的速度较小的一定是较低阶的无穷小”
这里的表述可能有点歧义。我们通常是这样理解的：
“速度较小” 指的是“消失得更慢”。
“较低阶” 指的是 $p$ 值较小。
如果“较低阶”指的是 $p$ 值较小，那么“速度较小”就与“较低阶”是矛盾的。 让我们重新梳理一下：
当 $alpha(x)$ 是关于 $(xa)$ 的 $p$ 阶无穷小，即 $lim_{x o a} frac{alpha(x)}{(xa)^p} = C eq 0$：
$p$ 值大 $implies$ $alpha(x)$ 趋于0的速度快（因为它包含更多的 $(xa)$ 因子）。
$p$ 值小 $implies$ $alpha(x)$ 趋于0的速度慢（因为它包含更少的 $(xa)$ 因子，或者说，即使是负指数 $p$，速度也比 $(xa)$ 快）。
所以，修正一下表述：
对于所有的无穷小，我们可以把它们趋于0的速度定义为一个数（即它们的阶 $p$），使得趋于0的速度较快（消失得更快）的无穷小，其对应的阶数 $p$ 值较大。反之，趋于0的速度较慢（消失得更慢）的无穷小，其对应的阶数 $p$ 值较小。
更清晰的对比：
比较 $f(x) = x$ 和 $g(x) = x^2$ 当 $x o 0$：
$f(x) = x$ 是 $x$ 的一阶无穷小（$p=1$），它关于 $x$ 的速度是“1”。
$g(x) = x^2$ 是 $x$ 的二阶无穷小（$p=2$），它关于 $x$ 的速度是“2”。
在这种情况下，$g(x)$（$x^2$）的“速度数”2大于 $f(x)$（$x$）的“速度数”1。而 $x^2$ 的确比 $x$ 消失得更快。
再比较 $h(x) = sqrt{x}$ 和 $f(x) = x$ 当 $x o 0^+$：
$f(x) = x$ 是 $x$ 的一阶无穷小（$p=1$）。
$h(x) = sqrt{x} = x^{1/2}$。我们来计算它的阶：
$$ lim_{x o 0^+} frac{sqrt{x}}{x^p} $$
如果我们取 $p=1/2$，得到 $lim_{x o 0^+} frac{x^{1/2}}{x^{1/2}} = 1$。
所以 $h(x) = sqrt{x}$ 是 $x$ 的半阶无穷小（$p=1/2$）。
在这里，$h(x)$（$sqrt{x}$）的“速度数”1/2小于 $f(x)$（$x$）的“速度数”1。而 $sqrt{x}$ 的确比 $x$ 消失得更慢。
结论：
是的，我们可以把无穷小趋于0的速度量化为一个数，这个数就是它们的“阶” $p$。这个 $p$ 值直接反映了它们相对于一个基准无穷小（如 $(xa)$）的“消失”速率：
$p$ 值越大，该无穷小趋于0的速度越快。
$p$ 值越小，该无穷小趋于0的速度越慢。
因此，“趋于0的速度较慢”的无穷小，对应的是“较低的阶数 $p$”。 我们的定义非常清晰地捕捉到了这一点。这种阶的定义是理解和处理无穷小、简化极限计算（例如洛必达法则的替代思想）以及分析函数渐进行为的重要工具。
网友意见
只能尝试去探讨，这相当于给全体无穷小赋予一个全序的判别（简单的）指标。
定义无穷小和定义无穷大是一回事，只要取倒数就可以相互转化，所以下面我们只讨论无穷大的比较。
定义指标
幂函数指数是一个天然的指标。借用这个思路，我们定义：设无穷大
若以下极限存在
于是定义其为无穷大指标，无穷小指标记为
例
显然，对于 ，代入上式，我们得到 ，这是我们想要的。再举一个例子， ，
指数增长的指标
那么，指数类型的函数呢？
这个指标失效。我们加强一下这个指标：
那么，将 代入
同理，可以定义 ，不再赘述了。
性质 对低阶无穷大算高阶的指标为 .
证：假设 存在，则
利用等价无穷小替换或者两边夹原则可得.
对数增长的指标
若存在有限极限，则定义
我们前面的例子看到， ，不过
同理，
若存在常数 使得上面存在有限极限，则
例 考虑函数
因为
所以
汇总
于是，无穷大可以对应一个序列（如果存在的话），
然后按照字典排序法，比较其大小：指标越大优先级越高。
例
容易计算
所以指标 ， 表示
写得不严谨，但是基本思路还是很平凡的……当然，这个指标也不是万能的，一切的定义都是基于极限存在。
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