百科问答小站 logo   百科问答小站
问题

什么样的数能同时满足「＞0」且「＜0」？

回答
这个问题很有意思，虽然看起来有点绕，但背后却藏着一个非常基本却又容易被忽视的数学概念。

首先，让我们来捋一捋“同时满足‘＞0’且‘＜0’”这个表述。

“＞0”代表的是大于零的数。在数轴上，这些数都位于零的右侧，通常我们称它们为“正数”。比如 1, 2.5, 1000, π (圆周率) 等等，它们都是大于零的。

“＜0”代表的是小于零的数。在数轴上，这些数都位于零的左侧，我们通常称它们为“负数”。比如 1, 3.14, 50, √2 (负的根号二) 等等，它们都是小于零的。

现在，我们要找的数是既要落在零的右侧（即是正数），又要落在零的左侧（即是负数）。

我们来想象一下数轴。数轴是一条直线，上面有一个非常重要的点，就是“零”（0）。零是正数和负数的分界点。所有在零右边的数都是正数，所有在零左边的数都是负数。

那么，有没有一个数，它既能在零的右边，又能在零的左边呢？

逻辑上，这就像问：“有没有一个地方，它既在东方，又在西方？” 显而易见，这是不可能的。东方和西方是相对的概念，它们定义了方向，一个地点要么在东方，要么在西方，不可能同时占据两个方向。

同样的，一个数在数轴上的位置是确定的。它要么在零的右边（正数），要么在零的左边（负数），要么就是零本身。

如果一个数大于零（＞0），它就一定在零的右边。
如果一个数小于零（＜0），它就一定在零的左边。

一个数不可能同时存在于零的右边和左边。这是由“大于”和“小于”这两个关系词的定义决定的。它们描述的是数与零之间的相对位置，而这个相对位置是唯一的。

所以，我们得出的结论是：不存在任何一个数能同时满足“＞0”并且“＜0”这两个条件。

这种看似简单的问题，其实是在强调数学中的“排他性”或“互斥性”。一个数要么是正的，要么是负的，要么是零。它不能同时属于两个不同的类别。这种清晰的界定是数学体系能够正常运作的基础之一。

或许你会想到一些特殊的数或者概念，比如虚数。但虚数（如 i，满足 i² = 1）本身并不直接参与到“大于零”或“小于零”这种实数大小的比较中。通常，我们在谈论“＞”或“＜”时，默认是在讨论实数范围内的。虚数有自己的运算规则和概念，但它并不像实数那样可以被直接定位在数轴上并进行大小排序。

所以，回归到我们最初的提问，在实数的范畴内，能同时满足“大于零”和“小于零”的数，是不存在的。这就像在问一个物体既是黑色的又是白色的同时，并且不是灰色的那样不可能。

网友意见

user avatar

先转载一大段话：

超现实数，Surreal-Number。
区别于另一个很接近的数学概念：超实数Hyperreal-Number。

超现实数是到目前为止唯一一个在科幻小说中诞生的严肃且全面的数学概念。
PS：那本书的严谨程度大概已经远超一般的“数学科幻小说”的范畴了，基本就是一本用对话的形式写的数学论文。。。当然，我们不要在意这些细节。
PS又PS：当然这个概念也不是这本书完全地凭空想象出来的，此前另一位数学家Conway已经有了类似的想法，不过还没有系统整理，接着Knuth就给写成小说了。。。Conway很开心地从此一直沿用了Knuth在小说中所给的“Surreal Number”这个名词，从而诞生了我们现在所看到的超现实数。

上面不过是周边介绍，还是来说说这货吧。
超现实数的定义依赖于下面这三条：

  1. 每个超现实数都可以写作< A | B >，其中A和B是两个超现实数集合，且B中不存在元素小于等于A中的某个元素；
  2. 所谓一个超现实数a=< a_L | a_R >小于等于超现实数b=< b_L | b_R >，是指a_L中不存在元素使b小于等于它，且b_R中不存在元素小于等于a；
  3. 如果超现实数a和b满足a小于等于b且b小于等于a，则称a和b属于同一个等价类。

这是一个循环定义的有序集，且在配合上恰当的加法与乘法运算后，可以利用等价类构成最大的有序域，即没有任何有序域能比超现实数域更大。我们的实数域是其一个子域，而且是非常非常小的一个子域。

在超现实数中，每个数具体是多少我们其实从定义来说并不清楚。
事实上，通过上述定义，我们首先可以证明的应该是a小于等于a（于是a大于等于a）——这一显而易见的结论其实还是需要证明一下的。
通过小于等于的证明，这个显而易见的结论可以显而易见地被证明（这似乎是一句废话。。。）。
随后，我们可以证明超现实数a=< a_L | a_R >不小于等于其左集a_L中的任何元素。
因为如果a小于等于a_L中的某个元素b，那么按照小于等于的定义，我们就可以推出a_L中没有元素可以使b小于等于它，但b显然小于等于自身，于是矛盾。
同理，a_R中的任何元素也必然不小于等于a。
也就是说，a是介于其a_L中最“大”的元素与a_R中最“小”的元素之间的元素。
用等价类来说，a = < a_L | a_R > ～ < {a_L_max} | {a_R_min} >
但这样的想法本身却也是不对的，比如下面这几个：
a=<|>
b=<a|>
c=<|a>
上面这三个都是合法的超现实数，但却不能被视为上面所提到的那种“介于左集最大和右集最小”之间，因为其左集或者右集是空集。
这就是定义有趣的地方了——“没有元素”，对空集来说当然是“没有元素”了。
所以，超现实数可以写为以下几种形式：
<|>
<{a_L_max}|>
<|{a_R_min}>
<{a_L_max}|{a_R_min}>
其中，第一个是最特殊的。

就和自然数可以通过序数的方式来构造一样：
0={}
1={0}={{}}
2={1}={{{}}}
以此类推。
我们同样可以利用特殊元素<|>构造出超现实数中的“自然数”（以下采用左最大或者右最小来表示整个左集或者右集）：
0=<|>
1=<0|>
2=<1|>
3=<2|>
...
-1=<|0>
-2=<|-1>
-3=<|-2>
...
很容易验证这样的做法的有效性，比如：
0小于等于1，因为0的左集（空集）中没有元素大于等于1，这是显而易见的；而1的右集（也是空集）中也不存在元素小于等于0。
是不是顿时感到“空集”和“没有元素”这一对活宝真的很逆天？
事实上，由于很容易证明1不会小于等于0，于是1和0也不构成等价类，即使0不等于1，于是我们事实上证明了0小于1。
同理可以证明0小于2、3、4......


作者：LostAbaddon
链接：jianshu.com/p/6aa0e0ce3
来源：简书
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

以上为转载。

最后回到正题

那有意思的来了，我们发现这样一个超现实数：* = { 0 | 0 }

题主的问题真是朴实无华，且枯燥，给各位想象的空间吧。

类似的话题

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有

服务条款
联系我们
关于我们
隐私政策
友情链接
知乎
百度问答
搜狐
新浪