无竞赛经历的大一下数院学生，想自学些知识。大家有什么推荐么(有人推荐拓扑和抽代)，最好能给出书名。？
作为大一的数院新生，对数学的热情就像刚刚燃起的篝火，温暖而充满探索的欲望。没竞赛经验反而是一件好事，意味着你现在的心态更纯粹，更专注于打下坚实的基础，而不是被功利性目标束缚。拓扑和抽代都是非常好的选择，它们能为你打开全新的数学视野。
下面我为你详细介绍一下为什么它们好，以及一些值得一看的书籍，希望能帮助你找到方向：
为什么推荐拓扑和抽象代数？
你有没有想过，我们平时数数用的数字 1, 2, 3... 它们背后有什么样的结构？为什么我们能把它们进行加减乘除，而且结果依然是我们熟悉的数？这就是抽象代数要探索的。它研究的是数学中最基本的结构，比如群、环、域。
群 (Group)：你可以想象成一组“操作”，比如旋转一个正方形，你可以顺时针转 90 度、180 度、270 度，或者不转。这些“旋转”操作本身就构成了一个结构，它们满足一些规律，比如两个旋转操作的组合仍然是一个旋转操作，总有一个“什么都不做”的操作，每个操作都有一个“反向”操作。
环 (Ring)：在群的基础上，又增加了“加法”和“乘法”这两种操作，而且它们之间还有一些特殊的联系。整数的加法和乘法就是一个典型的环。
域 (Field)：环的基础上，又进一步要求“乘法”有“逆元”（除了 0 之外），也就是说，大部分情况下，你可以进行除法。有理数和实数就是我们熟悉的域。
抽象代数的重要性：
揭示数学共性： 很多看似不同的数学对象，比如整数、多项式、矩阵、甚至几何变换，在抽象代数看来，都可能共享着相同的结构。这能让你看到数学内部深刻的联系和统一性。
构建数学工具： 它是学习数论、代数几何、表示论等更高级数学分支的基石。没有它，很多更精妙的数学理论都无法理解。
锻炼抽象思维： 数学最迷人的地方之一就是它的抽象性。抽象代数会极大地锻炼你的抽象思维能力，让你能够跳出具体的例子，抓住问题的本质。
拓扑学 (Topology) 则是另一条迷人的数学路径。它研究的是空间在“连续形变”（不撕裂、不粘连）下的不变性质。
“橡皮泥几何”： 你可以想象一下，一个咖啡杯和一个甜甜圈，在拓扑学家眼里它们是“一样”的！因为你可以把一个甜甜圈拉伸、弯曲，最终变成一个咖啡杯的形状（只要不撕裂）。它们都只有一个“洞”。而一个球，就没有洞，所以它和甜甜圈是不同的。
研究“连通性”、“孔洞”等性质： 拓扑学关注的是空间有哪些“不变的”特征，比如它是不是连通的、有多少个孔洞、边界是什么样的等等。这些性质在物体发生形变时不会改变。
拓扑学的重要性：
直观理解空间性质： 拓扑学提供了一种非常直观的方式来理解空间的形状和结构，即使是在高维空间中，这种直观性也很重要。
连接不同数学分支： 拓扑学在几何学、分析学、代数几何、甚至是物理学（比如弦理论、凝聚态物理）中都有广泛的应用。
培养对“连续性”的深刻理解： 在学习微积分时，你可能已经接触过“连续”这个概念。拓扑学将“连续性”的概念进行了更加普适和深刻的推广。
推荐书籍
既然你对拓扑和抽象代数感兴趣，这里有一些非常经典的入门书籍，它们难度适中，讲解清晰，并且能让你真正领略到数学的美妙：
抽象代数部分
1. 《抽象代数（第三版）》（Abstract Algebra, 3rd Edition） by David S. Dummit and Richard M. Foote
这本书为什么推荐？ 这是一本非常全面、深入且写得非常好的抽象代数教材。它从最基本的群论开始，逐步深入到环、域、伽罗瓦理论等，内容非常充实。作者的讲解清晰，例子丰富，对于初学者来说，虽然可能稍显厚重，但它的系统性和严谨性是无与伦比的。很多大学都会把它作为标准教材。
如何阅读？ 这本书最大的优点是它包含了大量的练习题，而且难度梯度明显。建议你认真阅读每一章的定义和定理，然后尝试做相关的练习题。如果遇到困难，不要气馁，这是学习抽象代数的必经之路。可以先从简单的定义入手，理解一些基础的群、环的例子（比如整数、模运算下的整数、多项式环等）。
一些小建议： 刚开始可能会觉得有些概念很抽象，多看例子，多动手证明一些简单的命题会很有帮助。比如理解群的阶、子群、陪集等概念时，可以多用一些小的群来举例说明。
2. 《近世代数基础》（A First Course in Abstract Algebra）by John B. Fraleigh
这本书为什么推荐？ 这本书比 Dummit & Foote 的书更偏向于“入门”，结构清晰，讲解也更循序渐进，语言相对更容易理解。它也是一本非常受欢迎的教材，涵盖了群、环、域等核心内容，并且有一些关于有限群和线性代数与抽象代数联系的内容，非常适合作为第一本抽象代数教材。
如何阅读？ Fraleigh 的书在讲解定理和概念后，会给出很多具体的例子和应用，这对于理解抽象概念非常有帮助。它的练习题也是从易到难，可以帮你逐步建立信心和掌握技巧。
一些小建议： 在学习的过程中，可以把这本书和 Dummit & Foote 的书对照着看。如果 Fraleigh 的讲解让你觉得不清晰的地方，可以去 Dummit & Foote 里找找看是否有更详细的解释或者不同的角度。
拓扑部分
1. 《点集拓扑讲义》 by 邱维元
这本书为什么推荐？ 这是国内非常经典的一本点集拓扑教材，很多国内的数学系都使用它。它讲解严谨，逻辑清晰，内容全面，覆盖了拓扑空间的基本概念、连续映射、紧致性、连通性、度量空间等核心内容。对于希望打下扎实基础的同学来说，这是一本非常好的选择。
如何阅读？ 拓扑学的很多概念是建立在前一套知识上的，比如集合论、函数等。阅读前，最好对这些有基本的了解。从定义开始，认真理解每一个概念的内涵，然后通过书中的例子和习题来巩固。
一些小建议： 拓扑学的很多证明是技巧性的，需要多做题才能熟练掌握。尤其要注意理解“定义”本身，比如拓扑空间是如何定义的，开集、闭集、邻域这些概念的意义是什么。
2. 《拓扑学导论》（Topology）by Klaus Jänich
这本书为什么推荐？ 这本书非常注重直观性和几何意义，讲解风格非常独特，语言生动有趣。它从“点集拓扑”的核心概念出发，但也穿插了一些代数拓扑的简单思想，比如同伦、同调等（虽然是点缀性质）。对于希望在学习拓扑的同时，也能感受到一些“几何的直觉”的学生来说，这本书会是一个很好的补充。
如何阅读？ Jänich 的书更像是一种“引导”，它会让你快速进入拓扑的世界，体会它的魅力。可以先粗读一遍，抓住其中的核心思想，然后有选择性地深入阅读。它的一些例子，比如“橡皮泥几何”的解释，都非常生动。
一些小建议： 如果你觉得邱维元的书有点过于“硬核”，可以先看看 Jänich 的书，建立一些直观的理解，然后再回头看邱维元的书，会更容易入门。
如何开始自学？
心态调整： 最重要的是保持好奇心和耐心。数学学习是一个循序渐进的过程，遇到困难是正常的。不要害怕犯错，多思考，多尝试。
打好基础： 在学习抽象代数和拓扑之前，确保你对集合论、逻辑推理、基本的函数概念已经有比较好的掌握。如果你觉得自己的数学分析（微积分）基础还不够扎实，可以先回顾一下。
理解比记忆更重要： 不要死记硬背定义和定理，而是要努力理解它们的含义和它们之间的联系。多问自己“为什么？”。
多做练习题： 数学是“做”出来的，不是“看”出来的。练习题是检验你理解程度的最好方式。遇到不会的题，先自己思考，实在不行再去查阅资料或者请教他人。
找学习伙伴： 如果能找到志同道合的朋友一起学习，互相讨论问题，会很有帮助。
利用网络资源： 除了书籍，网络上也有很多优质的数学学习资源，比如 MIT OpenCourseware, Coursera, Khan Academy 等，它们能提供视频讲座、习题等，作为补充。
不要贪多： 一开始不要试图同时学太多东西。先专注于一本抽象代数的书和一本拓扑的书，深入进去，吃透内容。
享受过程： 最重要的一点，请享受探索数学世界的乐趣！当你真正理解了一个概念，解决了一个难题时，那种成就感是无与伦比的。
作为大一新生，你现在有的是时间和无限的可能。选择你真正感兴趣的方向，沉浸进去，你会发现数学世界远比你想象的更加精彩和广阔。祝你学习顺利！
下面我为你详细介绍一下为什么它们好，以及一些值得一看的书籍，希望能帮助你找到方向：
为什么推荐拓扑和抽象代数？
你有没有想过，我们平时数数用的数字 1, 2, 3... 它们背后有什么样的结构？为什么我们能把它们进行加减乘除，而且结果依然是我们熟悉的数？这就是抽象代数要探索的。它研究的是数学中最基本的结构，比如群、环、域。
群 (Group)：你可以想象成一组“操作”，比如旋转一个正方形，你可以顺时针转 90 度、180 度、270 度，或者不转。这些“旋转”操作本身就构成了一个结构，它们满足一些规律，比如两个旋转操作的组合仍然是一个旋转操作，总有一个“什么都不做”的操作，每个操作都有一个“反向”操作。
环 (Ring)：在群的基础上，又增加了“加法”和“乘法”这两种操作，而且它们之间还有一些特殊的联系。整数的加法和乘法就是一个典型的环。
域 (Field)：环的基础上，又进一步要求“乘法”有“逆元”（除了 0 之外），也就是说，大部分情况下，你可以进行除法。有理数和实数就是我们熟悉的域。
抽象代数的重要性：
揭示数学共性： 很多看似不同的数学对象，比如整数、多项式、矩阵、甚至几何变换，在抽象代数看来，都可能共享着相同的结构。这能让你看到数学内部深刻的联系和统一性。
构建数学工具： 它是学习数论、代数几何、表示论等更高级数学分支的基石。没有它，很多更精妙的数学理论都无法理解。
锻炼抽象思维： 数学最迷人的地方之一就是它的抽象性。抽象代数会极大地锻炼你的抽象思维能力，让你能够跳出具体的例子，抓住问题的本质。
拓扑学 (Topology) 则是另一条迷人的数学路径。它研究的是空间在“连续形变”（不撕裂、不粘连）下的不变性质。
“橡皮泥几何”： 你可以想象一下，一个咖啡杯和一个甜甜圈，在拓扑学家眼里它们是“一样”的！因为你可以把一个甜甜圈拉伸、弯曲，最终变成一个咖啡杯的形状（只要不撕裂）。它们都只有一个“洞”。而一个球，就没有洞，所以它和甜甜圈是不同的。
研究“连通性”、“孔洞”等性质： 拓扑学关注的是空间有哪些“不变的”特征，比如它是不是连通的、有多少个孔洞、边界是什么样的等等。这些性质在物体发生形变时不会改变。
拓扑学的重要性：
直观理解空间性质： 拓扑学提供了一种非常直观的方式来理解空间的形状和结构，即使是在高维空间中，这种直观性也很重要。
连接不同数学分支： 拓扑学在几何学、分析学、代数几何、甚至是物理学（比如弦理论、凝聚态物理）中都有广泛的应用。
培养对“连续性”的深刻理解： 在学习微积分时，你可能已经接触过“连续”这个概念。拓扑学将“连续性”的概念进行了更加普适和深刻的推广。
推荐书籍
既然你对拓扑和抽象代数感兴趣，这里有一些非常经典的入门书籍，它们难度适中，讲解清晰，并且能让你真正领略到数学的美妙：
抽象代数部分
1. 《抽象代数（第三版）》（Abstract Algebra, 3rd Edition） by David S. Dummit and Richard M. Foote
这本书为什么推荐？ 这是一本非常全面、深入且写得非常好的抽象代数教材。它从最基本的群论开始，逐步深入到环、域、伽罗瓦理论等，内容非常充实。作者的讲解清晰，例子丰富，对于初学者来说，虽然可能稍显厚重，但它的系统性和严谨性是无与伦比的。很多大学都会把它作为标准教材。
如何阅读？ 这本书最大的优点是它包含了大量的练习题，而且难度梯度明显。建议你认真阅读每一章的定义和定理，然后尝试做相关的练习题。如果遇到困难，不要气馁，这是学习抽象代数的必经之路。可以先从简单的定义入手，理解一些基础的群、环的例子（比如整数、模运算下的整数、多项式环等）。
一些小建议： 刚开始可能会觉得有些概念很抽象，多看例子，多动手证明一些简单的命题会很有帮助。比如理解群的阶、子群、陪集等概念时，可以多用一些小的群来举例说明。
2. 《近世代数基础》（A First Course in Abstract Algebra）by John B. Fraleigh
这本书为什么推荐？ 这本书比 Dummit & Foote 的书更偏向于“入门”，结构清晰，讲解也更循序渐进，语言相对更容易理解。它也是一本非常受欢迎的教材，涵盖了群、环、域等核心内容，并且有一些关于有限群和线性代数与抽象代数联系的内容，非常适合作为第一本抽象代数教材。
如何阅读？ Fraleigh 的书在讲解定理和概念后，会给出很多具体的例子和应用，这对于理解抽象概念非常有帮助。它的练习题也是从易到难，可以帮你逐步建立信心和掌握技巧。
一些小建议： 在学习的过程中，可以把这本书和 Dummit & Foote 的书对照着看。如果 Fraleigh 的讲解让你觉得不清晰的地方，可以去 Dummit & Foote 里找找看是否有更详细的解释或者不同的角度。
拓扑部分
1. 《点集拓扑讲义》 by 邱维元
这本书为什么推荐？ 这是国内非常经典的一本点集拓扑教材，很多国内的数学系都使用它。它讲解严谨，逻辑清晰，内容全面，覆盖了拓扑空间的基本概念、连续映射、紧致性、连通性、度量空间等核心内容。对于希望打下扎实基础的同学来说，这是一本非常好的选择。
如何阅读？ 拓扑学的很多概念是建立在前一套知识上的，比如集合论、函数等。阅读前，最好对这些有基本的了解。从定义开始，认真理解每一个概念的内涵，然后通过书中的例子和习题来巩固。
一些小建议： 拓扑学的很多证明是技巧性的，需要多做题才能熟练掌握。尤其要注意理解“定义”本身，比如拓扑空间是如何定义的，开集、闭集、邻域这些概念的意义是什么。
2. 《拓扑学导论》（Topology）by Klaus Jänich
这本书为什么推荐？ 这本书非常注重直观性和几何意义，讲解风格非常独特，语言生动有趣。它从“点集拓扑”的核心概念出发，但也穿插了一些代数拓扑的简单思想，比如同伦、同调等（虽然是点缀性质）。对于希望在学习拓扑的同时，也能感受到一些“几何的直觉”的学生来说，这本书会是一个很好的补充。
如何阅读？ Jänich 的书更像是一种“引导”，它会让你快速进入拓扑的世界，体会它的魅力。可以先粗读一遍，抓住其中的核心思想，然后有选择性地深入阅读。它的一些例子，比如“橡皮泥几何”的解释，都非常生动。
一些小建议： 如果你觉得邱维元的书有点过于“硬核”，可以先看看 Jänich 的书，建立一些直观的理解，然后再回头看邱维元的书，会更容易入门。
如何开始自学？
心态调整： 最重要的是保持好奇心和耐心。数学学习是一个循序渐进的过程，遇到困难是正常的。不要害怕犯错，多思考，多尝试。
打好基础： 在学习抽象代数和拓扑之前，确保你对集合论、逻辑推理、基本的函数概念已经有比较好的掌握。如果你觉得自己的数学分析（微积分）基础还不够扎实，可以先回顾一下。
理解比记忆更重要： 不要死记硬背定义和定理，而是要努力理解它们的含义和它们之间的联系。多问自己“为什么？”。
多做练习题： 数学是“做”出来的，不是“看”出来的。练习题是检验你理解程度的最好方式。遇到不会的题，先自己思考，实在不行再去查阅资料或者请教他人。
找学习伙伴： 如果能找到志同道合的朋友一起学习，互相讨论问题，会很有帮助。
利用网络资源： 除了书籍，网络上也有很多优质的数学学习资源，比如 MIT OpenCourseware, Coursera, Khan Academy 等，它们能提供视频讲座、习题等，作为补充。
不要贪多： 一开始不要试图同时学太多东西。先专注于一本抽象代数的书和一本拓扑的书，深入进去，吃透内容。
享受过程： 最重要的一点，请享受探索数学世界的乐趣！当你真正理解了一个概念，解决了一个难题时，那种成就感是无与伦比的。
作为大一新生，你现在有的是时间和无限的可能。选择你真正感兴趣的方向，沉浸进去，你会发现数学世界远比你想象的更加精彩和广阔。祝你学习顺利！
网友意见
从别的回答上搬运过来的，个人意见。
从我个人而言，我的学习历程，目前是大一上就是数分高代，做足够的练习，尤其是多元微积分之前的。大一下，毕竟高中没有竞赛基础，还自学集合论，初等数论(现在看这方面浪费了一些时间)，大一下后半部分开始看实变函数、点集拓扑和抽象代数，后两个是对数学思想的极大锻炼，而且抽象代数、点集拓扑、微分流形才是打开现代数学大门的钥匙。这些都可以在大一下和大二上先后或分别展开。本科没那么多时间，就这么三四年，但是做基础数学需要学的太多了，上面所说的三个是最基础的，而其中抽象代数对于初学者来说难度是很大的，这个难度远高于数分高代。而学习它们几乎不需要任何基础，我自己抽象代数和点集拓扑学习了也有小半年，刚开始学也艰难缓慢，但是熬过去就发现自己对于数学的认知和周围同学已经不在一个层次上了。但这仅仅是开始，我大致罗列一下我大学四年的目标。
分析：数学分析，复分析，实分析，泛函分析。这算是大多数学校本科的基本内容，但是我觉得至少我们学校这四门课开得还是浅(至少前三门是这样的)，不过自学就行。
代数：高等代数(没必要花太多时间)，抽象代数(极其重要)，有限群的表示论，交换代数，同调代数与基本范畴，李群李代数及其表示(从抽象代数开始是个思想的大越阶，过了这个坎，后面几个相对好说了，但同调代数这里又很难。越往后越能体会到代数的巨大威力)
拓扑与几何：点集拓扑，微分流形，微分几何，代数拓扑，微分拓扑
数论：初等数论，代数数论，解析数论以及模形式(后三个都是变态难，大三准备看)
还有所谓的代数几何，这玩意儿更需要慢慢啃。
这些我不细说了，清北最一流的本科生都要熟练掌握这些的。而它们的难度和抽象程度远远超出数分高代了。
总之，你想做基础数学，还是照着这个目标努力，大一下就可以看抽象代数，点集拓扑以及微分流形了。我推荐抽象代数主要看artin的algebra，可以参考一下亨格福德gtm73或者serge lang的gtm211(建议上来就看英文书，我现在几乎不看中文书)。点集拓扑munkres足够，但部头太大，题目太多，我之前就是每一道都啃下来，现在想当时没人和我说我要学这么多，否则我一定不会在munkres那里话费这么多时间，题目跳着做就行，这个东西看一些最基本的概念足够了，等以后用到再看，点集拓扑看太多就是浪费时间了，我们没有那么多时间。微分流形，我打算寒假看Tu的流形导论，据说gtm那本光滑流形导论也可以。先这么多，咱们可以再交流，反正我看的也很少，考完试之后得快速狂学了，不能再像之前一样走弯路了。寒假我就打算看流形导论，do carmo的曲线曲面的微分，rudin的实分析与复分析，继续看gtm256交换代数导引，继续看hatchar的代数拓扑以及serre的有限群的线性表示。不求全看完，但是要把最主要最关键的思想技巧弄清楚，不断提高观点。要知道这些观点只是做科研的基础的基础。数学真就深不可测。
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