一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7整除，这个数是多少？
这道题很有意思，它涉及到中国剩余定理的思路，但又比直接套用定理要稍微灵活一些。我们一步一步来分析，看看这个神秘的数字到底是什么。
题目分析：
我们有一个未知数，我们姑且称它为“N”。题目告诉我们关于N的几个关键信息：
1. N ÷ 2 余 1：这意味着 N 是一个奇数。
2. N ÷ 3 余 2：N 比3的倍数多2。
3. N ÷ 4 余 3：N 比4的倍数多3。
4. N ÷ 5 余 4：N 比5的倍数多4。
5. N ÷ 6 余 5：N 比6的倍数多5。
6. N ÷ 7 余 0：N 是7的倍数。
寻找规律，简化问题：
注意到前五个条件有一个非常相似的规律：N 除以某个数，余数总是比除数小1。
N ÷ 2 余 1
N ÷ 3 余 2
N ÷ 4 余 3
N ÷ 5 余 4
N ÷ 6 余 5
我们可以将这些条件改写一下：
N = 2k₁ + 1 => N + 1 = 2k₁ + 2 = 2(k₁ + 1) => N+1 是 2 的倍数。
N = 3k₂ + 2 => N + 1 = 3k₂ + 3 = 3(k₂ + 1) => N+1 是 3 的倍数。
N = 4k₃ + 3 => N + 1 = 4k₃ + 4 = 4(k₃ + 1) => N+1 是 4 的倍数。
N = 5k₄ + 4 => N + 1 = 5k₄ + 5 = 5(k₄ + 1) => N+1 是 5 的倍数。
N = 6k₅ + 5 => N + 1 = 6k₅ + 6 = 6(k₅ + 1) => N+1 是 6 的倍数。
惊人的发现！
从上面的改写中，我们可以看到，N+1 这个数，同时是 2, 3, 4, 5, 6 的倍数！
要找同时是多个数的倍数的最小的数，就是找这些数的最小公倍数 (LCM)。
计算最小公倍数 (LCM)：
我们来计算 2, 3, 4, 5, 6 的最小公倍数。
2 = 2
3 = 3
4 = 2²
5 = 5
6 = 2 × 3
LCM(2, 3, 4, 5, 6) = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60
这意味着，N+1 必须是 60 的倍数。所以，N+1 可以是 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, ...
那么，N 就可以是 59, 119, 179, 239, 299, 359, 419, ...
结合最后一个条件：N 被 7 整除
现在我们把最后一个条件“N 被 7 整除”带入我们刚刚找到的 N 的可能值中。我们需要从 59, 119, 179, 239, 299, 359, 419, ... 中找到一个能被 7 整除的数。
我们逐个检查：
59 ÷ 7 = 8 余 3 (不行)
119 ÷ 7 = 17 余 0 ( Bingo! 找到了！)
验证答案：
让我们来验证一下 N = 119 是否满足所有条件：
1. 119 ÷ 2 = 59 余 1 (对)
2. 119 ÷ 3 = 39 余 2 (对)
3. 119 ÷ 4 = 29 余 3 (对)
4. 119 ÷ 5 = 23 余 4 (对)
5. 119 ÷ 6 = 19 余 5 (对)
6. 119 ÷ 7 = 17 余 0 (对)
结论：
所有条件都满足！所以，这个数是 119。
更进一步的思考（如果题目要求最小的正整数）：
我们找到的 119 是符合条件的最小正整数。如果题目没有指定是最小的正整数，那么符合条件的数还有很多。因为 N+1 是 60 的倍数，而且 N 必须是 7 的倍数。
设 N = 7m (m 是整数)。
那么 N+1 = 7m + 1。
我们知道 N+1 必须是 60 的倍数，所以 7m + 1 = 60k (k 是整数)。
7m = 60k 1
我们需要找一对整数 m 和 k，使得这个等式成立。
将 k 取不同的值，看看 60k 1 是否能被 7 整除：
k = 1: 60(1) 1 = 59 (不能被 7 整除)
k = 2: 60(2) 1 = 119 (119 ÷ 7 = 17，可以！此时 m = 17)
k = 3: 60(3) 1 = 179 (不能被 7 整除)
k = 4: 60(4) 1 = 239 (不能被 7 整除)
k = 5: 60(5) 1 = 299 (299 ÷ 7 = 42 余 5，不行)
k = 6: 60(6) 1 = 359 (不能被 7 整除)
k = 7: 60(7) 1 = 419 (不能被 7 整除)
k = 8: 60(8) 1 = 479 (不能被 7 整除)
k = 9: 60(9) 1 = 539 (539 ÷ 7 = 77，可以！此时 m = 77)
当 k=2 时，m=17，N = 7m = 7 × 17 = 119。
当 k=9 时，m=77，N = 7m = 7 × 77 = 539。
所以，符合条件的数有 119, 539, ... 它们之间的差是 LCM(60, 7) = 420。
119 + 420 = 539。
而题目问的是“这个数是多少”，通常意味着是最小的正整数解，所以 119 是我们最终的答案。
整个过程就是通过观察余数与除数之间的固定差值，将问题转化为求一个数的倍数，再结合最后一个整除的条件，一步步锁定目标数字。
题目分析：
我们有一个未知数，我们姑且称它为“N”。题目告诉我们关于N的几个关键信息：
1. N ÷ 2 余 1：这意味着 N 是一个奇数。
2. N ÷ 3 余 2：N 比3的倍数多2。
3. N ÷ 4 余 3：N 比4的倍数多3。
4. N ÷ 5 余 4：N 比5的倍数多4。
5. N ÷ 6 余 5：N 比6的倍数多5。
6. N ÷ 7 余 0：N 是7的倍数。
寻找规律，简化问题：
注意到前五个条件有一个非常相似的规律：N 除以某个数，余数总是比除数小1。
N ÷ 2 余 1
N ÷ 3 余 2
N ÷ 4 余 3
N ÷ 5 余 4
N ÷ 6 余 5
我们可以将这些条件改写一下：
N = 2k₁ + 1 => N + 1 = 2k₁ + 2 = 2(k₁ + 1) => N+1 是 2 的倍数。
N = 3k₂ + 2 => N + 1 = 3k₂ + 3 = 3(k₂ + 1) => N+1 是 3 的倍数。
N = 4k₃ + 3 => N + 1 = 4k₃ + 4 = 4(k₃ + 1) => N+1 是 4 的倍数。
N = 5k₄ + 4 => N + 1 = 5k₄ + 5 = 5(k₄ + 1) => N+1 是 5 的倍数。
N = 6k₅ + 5 => N + 1 = 6k₅ + 6 = 6(k₅ + 1) => N+1 是 6 的倍数。
惊人的发现！
从上面的改写中，我们可以看到，N+1 这个数，同时是 2, 3, 4, 5, 6 的倍数！
要找同时是多个数的倍数的最小的数，就是找这些数的最小公倍数 (LCM)。
计算最小公倍数 (LCM)：
我们来计算 2, 3, 4, 5, 6 的最小公倍数。
2 = 2
3 = 3
4 = 2²
5 = 5
6 = 2 × 3
LCM(2, 3, 4, 5, 6) = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60
这意味着，N+1 必须是 60 的倍数。所以，N+1 可以是 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, ...
那么，N 就可以是 59, 119, 179, 239, 299, 359, 419, ...
结合最后一个条件：N 被 7 整除
现在我们把最后一个条件“N 被 7 整除”带入我们刚刚找到的 N 的可能值中。我们需要从 59, 119, 179, 239, 299, 359, 419, ... 中找到一个能被 7 整除的数。
我们逐个检查：
59 ÷ 7 = 8 余 3 (不行)
119 ÷ 7 = 17 余 0 ( Bingo! 找到了！)
验证答案：
让我们来验证一下 N = 119 是否满足所有条件：
1. 119 ÷ 2 = 59 余 1 (对)
2. 119 ÷ 3 = 39 余 2 (对)
3. 119 ÷ 4 = 29 余 3 (对)
4. 119 ÷ 5 = 23 余 4 (对)
5. 119 ÷ 6 = 19 余 5 (对)
6. 119 ÷ 7 = 17 余 0 (对)
结论：
所有条件都满足！所以，这个数是 119。
更进一步的思考（如果题目要求最小的正整数）：
我们找到的 119 是符合条件的最小正整数。如果题目没有指定是最小的正整数，那么符合条件的数还有很多。因为 N+1 是 60 的倍数，而且 N 必须是 7 的倍数。
设 N = 7m (m 是整数)。
那么 N+1 = 7m + 1。
我们知道 N+1 必须是 60 的倍数，所以 7m + 1 = 60k (k 是整数)。
7m = 60k 1
我们需要找一对整数 m 和 k，使得这个等式成立。
将 k 取不同的值，看看 60k 1 是否能被 7 整除：
k = 1: 60(1) 1 = 59 (不能被 7 整除)
k = 2: 60(2) 1 = 119 (119 ÷ 7 = 17，可以！此时 m = 17)
k = 3: 60(3) 1 = 179 (不能被 7 整除)
k = 4: 60(4) 1 = 239 (不能被 7 整除)
k = 5: 60(5) 1 = 299 (299 ÷ 7 = 42 余 5，不行)
k = 6: 60(6) 1 = 359 (不能被 7 整除)
k = 7: 60(7) 1 = 419 (不能被 7 整除)
k = 8: 60(8) 1 = 479 (不能被 7 整除)
k = 9: 60(9) 1 = 539 (539 ÷ 7 = 77，可以！此时 m = 77)
当 k=2 时，m=17，N = 7m = 7 × 17 = 119。
当 k=9 时，m=77，N = 7m = 7 × 77 = 539。
所以，符合条件的数有 119, 539, ... 它们之间的差是 LCM(60, 7) = 420。
119 + 420 = 539。
而题目问的是“这个数是多少”，通常意味着是最小的正整数解，所以 119 是我们最终的答案。
整个过程就是通过观察余数与除数之间的固定差值，将问题转化为求一个数的倍数，再结合最后一个整除的条件，一步步锁定目标数字。
网友意见
哈哈，我来细细地讲一讲下吧，不套公式那种：
“①除2余1，②除3余2，③除4余3，④除5余4，⑤除6余5，⑥被7整除”
这六个条件，分别可以翻译成这样6个数列：
①：an=2n-1(n∈N*) ②：bn=3n-1(n∈N*) ③：cn=4n-1(n∈N*)
④：dn=5n-1(n∈N*) ⑤：en=6n-1(n∈N*) ⑥：fn=7n(n∈N*)
那么对于任意n，有：e(n)=d(6n/5)=c(3n/2)=b(2n)=a(3n)
因为项数只能为整数，所以6n/5，3n/2，都必须是整数。
也就是说，n必须是5、2的公倍数，即10的倍数。
所以，en=6n-1(n=10x，x∈N*)，
也就是ex=60x-1(x∈N*)，同时满足①~⑤
最后引入⑥
60x-1要是7的倍数，那么x怎么取值？
设这个倍数为z
60x-1，尾数一定是9，7*z尾数为9，那么z的尾数一定是7，z=10y+7（y∈N*）
60x-1=70y+49。变换一下，60x-70y-50=0，即 6x-7y-5=0
这样x，y就变成了能画下来的一条直线。
我们发现，直线过点(2,1)。
如果只用找出一个数的话，就已经有了，那就是60×2-1=119
如果想找出所有数，怎么办呢？
我们如果平移坐标轴，使点（2,1）变成原点（0,0）
那么需要令x=x'+2，y=y'+1
方程就应该变成 6×(x'+2)-7×(y'+1)-5=0，即6x'-7y'=0，
说明，若想使 y'为整数，x'必须是7的倍数。
我们令 x'=7α(α∈N)，此时6x'-7y'=0有整数点（包括原点）。
那么当x=7α+2(α∈N)的时候，方程6x-7y-5=0有整数点。
所以，当ex=60x-1 (x=7α+2，α∈N) 时，ex可以同时满足①~⑥
即 e(α)=420α+119（α∈N），e(α)同时满足“被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7整除”的所有条件。
哈哈哈哈，这样解也很有意思
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