如何快速判断一个数可被 7 整除？
快速判断一个数能否被 7 整除，虽然不像被 2、5、10 整除那样有简单的个位数规则，但确实有一些相对快捷的方法。这些方法的核心思想都是将原数转化为一个更小的数，同时保持整除性的不变。
下面我将详细介绍几种常见且有效的方法：
方法一：加倍减法（最常用且易于记忆）
这是最经典也最常用的方法，适用于各种位数大小的数字。
原理：
我们知道 $10x + y$ 要被 7 整除，那么 $10x + y equiv 0 pmod{7}$。
如果我们能找到一个整数 $k$，使得 $10x + y$ 整除与 $kx + ly$ 整除等价，并且 $kx + ly$ 是一个更小的数，那我们就可以递归地进行判断。
观察以下关系：
$10 imes 1 = 10 equiv 3 pmod{7}$
$10 imes 2 = 20 equiv 6 equiv 1 pmod{7}$
$10 imes 3 = 30 equiv 2 pmod{7}$
$10 imes 4 = 40 equiv 5 pmod{7}$
$10 imes 5 = 50 equiv 1 pmod{7}$
$10 imes 6 = 60 equiv 4 pmod{7}$
现在，我们想找到一个操作，将一个两位数 $10a + b$ 转化成一个更小的数，使其与原数整除性相同。
考虑 $10a + b$。如果我们能将它变成 $a kb$ 的形式，并且这个操作保持整除性，那就很方便。
尝试不同的 $k$ 值：
如果令 $k = 1$：$10a + b ightarrow a b$. 检查 $10a+b pmod 7$ 和 $ab pmod 7$ 的关系。
$10a + b equiv 3a + b pmod 7$
$a b pmod 7$
这似乎没有直接的联系。
如果令 $k = 2$：$10a + b ightarrow a 2b$.
$10a + b equiv 3a + b pmod 7$
我们希望 $10a + b$ 整除与 $a 2b$ 整除等价。
让我们看看 $10a + b$ 和 $a 2b$ 的组合：
$(10a + b) k(a 2b)$
如果我们取 $k=1$，得到 $9a + 3b = 3(3a+b)$。
如果我们取 $k=2$，得到 $8a + 5b$.
如果我们取 $k=3$，得到 $7a + 7b = 7(a+b)$。这说明 $10a+b$ 整除与 $a+b$ 整除不等价。
如果我们取 $k=5$，得到 $5a + 11b$.
如果我们取 $k=3 imes ext{something}$？
换一个思路，利用模运算的性质：
$10a + b equiv 0 pmod{7}$
我们想要一个形式是 $a pm kb pmod{7}$。
假设我们有一个数 $N = 10a + b$。
考虑 $10a + b$ 和 $a 2b$ 的关系。
我们有 $10a + b equiv 3a + b pmod{7}$。
如果我们乘以某个数，使其系数变成 1 或 1 会比较方便。
如果我们将 $10a+b$ 乘以 5，得到 $50a + 5b equiv a + 5b pmod{7}$。
现在我们有 $a + 5b$ 和 $a 2b$。注意到 $5b equiv 2b pmod{7}$。
所以，$a + 5b equiv a 2b pmod{7}$。
结论： $10a + b$ 整除与 $a 2b$ 整除是等价的。
如果 $10a+b$ 能被 7 整除，那么 $10a+b = 7m$。
那么 $a2b = a 2b + frac{10a+b}{7} imes 0$
我们想证明 $a 2b$ 也能被 7 整除。
我们知道 $10a + b = 7m$.
那么 $a = frac{7mb}{10}$.
代入 $a 2b$: $frac{7mb}{10} 2b = frac{7mb20b}{10} = frac{7m21b}{10} = frac{7(m3b)}{10}$.
因为 $a2b$ 是整数，所以 $7(m3b)$ 必须能被 10 整除。由于 7 和 10 互质，所以 $m3b$ 必须能被 10 整除。
这并没有直接说明 $a2b$ 能被 7 整除。
重新理解等价性：
$10a + b$ 能被 7 整除 $iff 10a + b equiv 0 pmod{7}$
我们知道 $10 equiv 3 pmod{7}$。
所以，$3a + b equiv 0 pmod{7}$。
我们希望从 $3a + b$ 得到 $a 2b$ 的形式。
观察 $3a + b$ 和 $a 2b$ 的关系：
$3a + b = k(a 2b) pmod{7}$
令 $k=1$: $3a+b$ 和 $a2b$。
令 $k=2$: $6a+2b equiv a+2b pmod{7}$。
令 $k=3$: $9a+3b equiv 2a+3b pmod{7}$。
令 $k=4$: $12a+4b equiv 5a+4b pmod{7}$。
令 $k=5$: $15a+5b equiv a+5b pmod{7}$。
令 $k=6$: $18a+6b equiv 4a+6b pmod{7}$。
重要的关系：
$10a + b pmod{7} equiv 3a + b pmod{7}$
$a 2b pmod{7}$
注意到 $3a + b$ 和 $a 2b$ 之间存在一个关系。
如果我们用 $a 2b$ 乘以 3，得到 $3a 6b equiv 3a + b pmod{7}$。
所以，$10a+b equiv 3(a2b) pmod{7}$。
由于 3 和 7 互质，所以 $10a+b$ 能被 7 整除 $iff 3(a2b)$ 能被 7 整除 $iff a2b$ 能被 7 整除。
这就是“加倍减法”的数学原理。
操作步骤：
1. 将一个大数 $N$ 分成两部分：最高位数字（或连续几位数字），以及其余部分（看作一个以个位数字为基准的数）。更简单地说，将数的最后一位数字分开。
2. 将这个最后一位数字乘以 2。
3. 从剩余的数字中减去这个乘积。
4. 得到的新数是否能被 7 整除，就决定了原数是否能被 7 整除。
5. 如果新数仍然较大，可以重复这个过程。
举例说明：
判断 343 是否能被 7 整除：
1. 将 343 分为 34 和 3。
2. 将最后一位数字 3 乘以 2：$3 imes 2 = 6$。
3. 从剩余的数字 34 中减去 6：$34 6 = 28$。
4. 判断 28 是否能被 7 整除。28 可以被 7 整除 ($28 = 7 imes 4$)。
5. 所以，343 可以被 7 整除。 （实际上，$343 = 7 imes 49$）。
判断 1372 是否能被 7 整除：
1. 将 1372 分为 137 和 2。
2. 将最后一位数字 2 乘以 2：$2 imes 2 = 4$。
3. 从剩余的数字 137 中减去 4：$137 4 = 133$。
4. 判断 133 是否能被 7 整除。133 仍然有点大，重复过程：
1. 将 133 分为 13 和 3。
2. 将最后一位数字 3 乘以 2：$3 imes 2 = 6$。
3. 从剩余的数字 13 中减去 6：$13 6 = 7$。
4. 判断 7 是否能被 7 整除。7 可以被 7 整除。
5. 所以，1372 可以被 7 整除。 （实际上，$1372 = 7 imes 196$）。
判断 12345 是否能被 7 整除：
1. $12345 ightarrow 1234 (5 imes 2) = 1234 10 = 1224$
2. $1224 ightarrow 122 (4 imes 2) = 122 8 = 114$
3. $114 ightarrow 11 (4 imes 2) = 11 8 = 3$
4. 3 不能被 7 整除。
5. 所以，12345 不能被 7 整除。
优点：
操作简单，只需要乘法和减法。
易于记忆和掌握。
将数字缩小得很快。
缺点：
对于非常大的数字，重复次数会比较多。
方法二：分组加减法（适用于位数更多的数）
这种方法基于一个观察：$10^3 = 1000 = 142 imes 7 + 6 equiv 1 pmod{7}$。
这意味着，将一个数字的各位、百位、千位等分开，然后以每三位为一个分组，从右往左，进行“加减加减”的交替相加。
原理：
一个整数 $N$ 可以写成：
$N = d_n d_{n1} dots d_3 d_2 d_1 d_0 = sum_{i=0}^n d_i 10^i$
我们将数字从右往左每三位分成一组：
$N = (d_2 d_1 d_0) + (d_5 d_4 d_3) imes 10^3 + (d_8 d_7 d_6) imes 10^6 + dots$
$N = A_0 + A_1 imes 10^3 + A_2 imes 10^6 + dots$
因为 $10^3 equiv 1 pmod{7}$，所以 $10^6 = (10^3)^2 equiv (1)^2 equiv 1 pmod{7}$， $10^9 = (10^3)^3 equiv (1)^3 equiv 1 pmod{7}$，以此类推。
$10^{3k} equiv (1)^k pmod{7}$
因此：
$N equiv A_0 + A_1(1) + A_2(1) + A_3(1) + dots pmod{7}$
$N equiv A_0 A_1 + A_2 A_3 + dots pmod{7}$
这个公式告诉我们，将数字每三位分组，从右往左，进行分组数字的“加减加减”交替相加，所得的和是否能被 7 整除，就决定了原数能否被 7 整除。
操作步骤：
1. 将数字从右边开始，每三位分成一组。
2. 从最右边一组开始，按顺序进行“加”、“减”、“加”、“减”的交替运算。
3. 计算得到的新数。如果新数能被 7 整除，则原数能被 7 整除；如果新数不能被 7 整除，则原数也不能被 7 整除。
4. 如果得到的新数仍然较大，可以重复这个过程，但通常分组后结果会小很多。
举例说明：
判断 1372 是否能被 7 整除：
1. 将 1372 从右往左每三位分组：$1 | 372$。
2. 进行分组交替相加：$372 1$。
3. $372 1 = 371$。
4. 判断 371 是否能被 7 整除。
重复方法一：$371 ightarrow 37 (1 imes 2) = 37 2 = 35$。
35 可以被 7 整除 ($35 = 7 imes 5$)。
5. 所以，1372 可以被 7 整除。
判断 492114 是否能被 7 整除：
1. 将 492114 从右往左每三位分组：$492 | 114$。
2. 进行分组交替相加：$114 492$。
3. $114 492 = 378$。
4. 判断 378 是否能被 7 整除。这等价于判断 378 是否能被 7 整除。
重复方法一：$378 ightarrow 37 (8 imes 2) = 37 16 = 21$。
21 可以被 7 整除 ($21 = 7 imes 3$)。
5. 所以，492114 可以被 7 整除。 （实际上，$492114 = 7 imes 70302$）。
判断 1234567 是否能被 7 整除：
1. 分组：$1 | 234 | 567$
2. 交替相加：$567 234 + 1$
3. $567 234 + 1 = 333 + 1 = 334$
4. 判断 334 是否能被 7 整除。
重复方法一：$334 ightarrow 33 (4 imes 2) = 33 8 = 25$。
25 不能被 7 整除。
5. 所以，1234567 不能被 7 整除。
优点：
对于位数非常多的数字，这个方法能更快地将数字缩小到一个可处理的范围。
原理清晰，数学依据更直接。
缺点：
需要进行多位数减法，稍微复杂一点。
对于只有几位数的数字，方法一可能更直观。
方法三：除法余数组合（不太常用，但也是一种方法）
这个方法基于对 7 的不同幂次的认识。
原理：
我们知道 $10 equiv 3 pmod{7}$。
$10^0 equiv 1 pmod{7}$
$10^1 equiv 3 pmod{7}$
$10^2 equiv 3 imes 3 = 9 equiv 2 pmod{7}$
$10^3 equiv 2 imes 3 = 6 equiv 1 pmod{7}$
$10^4 equiv 1 imes 3 = 3 equiv 4 pmod{7}$
$10^5 equiv 4 imes 3 = 12 equiv 5 pmod{7}$
$10^6 equiv 5 imes 3 = 15 equiv 1 pmod{7}$
余数又开始循环了：1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, ... (循环节为 6)。
一个数字 $N = d_n d_{n1} dots d_1 d_0 = sum_{i=0}^n d_i 10^i$
$N pmod{7} equiv sum_{i=0}^n d_i (10^i pmod{7})$
操作步骤：
1. 写出数字的各位数字。
2. 从右往左，将各位数字依次乘以对应的 $10^i pmod{7}$ 的值（即 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ...）。
3. 将这些乘积相加。
4. 判断这个和是否能被 7 整除。
举例说明：
判断 343 是否能被 7 整除：
数字是 343。
各位数字为：3 (个位), 4 (十位), 3 (百位)。
计算：
$3 imes 10^0 pmod{7} equiv 3 imes 1 = 3$
$4 imes 10^1 pmod{7} equiv 4 imes 3 = 12 equiv 5$
$3 imes 10^2 pmod{7} equiv 3 imes 2 = 6$
将这些结果相加：$3 + 5 + 6 = 14$。
判断 14 是否能被 7 整除。14 可以被 7 整除。
所以，343 可以被 7 整除。
判断 1372 是否能被 7 整除：
数字是 1372。
各位数字为：2 (个位), 7 (十位), 3 (百位), 1 (千位)。
计算：
$2 imes 10^0 pmod{7} equiv 2 imes 1 = 2$
$7 imes 10^1 pmod{7} equiv 7 imes 3 equiv 0 imes 3 = 0$ (注意到 7 本身就能被 7 整除，所以这一项是 0)
$3 imes 10^2 pmod{7} equiv 3 imes 2 = 6$
$1 imes 10^3 pmod{7} equiv 1 imes 6 = 6$
将这些结果相加：$2 + 0 + 6 + 6 = 14$。
判断 14 是否能被 7 整除。14 可以被 7 整除。
所以，1372 可以被 7 整除。
优点：
数学原理非常清晰，是直接的模运算应用。
可以为学习模运算提供很好的例子。
缺点：
需要记住 $10^i pmod{7}$ 的循环（1, 3, 2, 6, 4, 5）。
对于位数较多的数字，计算量可能比方法一和方法二更大，尤其是在计算乘积时。
总结与建议
最实用、最推荐的方法是方法一（加倍减法）。 它简单易学，操作方便，对于大多数数字都足够快。如果你只需要掌握一种方法，就掌握这一种。
方法二（分组加减法）是处理超大数字时的利器。 如果你遇到的是非常长的数字串，例如上百位，分组加减法能帮你快速缩小范围。
方法三（除法余数组合）更偏向于数学原理的理解和应用，在实际速算中可能不如前两种方法直观和快捷。
选择哪种方法取决于你要处理的数字的大小和你的个人习惯。 对于日常计算，掌握方法一足以应付大部分情况。
下面我将详细介绍几种常见且有效的方法：
方法一：加倍减法（最常用且易于记忆）
这是最经典也最常用的方法，适用于各种位数大小的数字。
原理：
我们知道 $10x + y$ 要被 7 整除，那么 $10x + y equiv 0 pmod{7}$。
如果我们能找到一个整数 $k$，使得 $10x + y$ 整除与 $kx + ly$ 整除等价，并且 $kx + ly$ 是一个更小的数，那我们就可以递归地进行判断。
观察以下关系：
$10 imes 1 = 10 equiv 3 pmod{7}$
$10 imes 2 = 20 equiv 6 equiv 1 pmod{7}$
$10 imes 3 = 30 equiv 2 pmod{7}$
$10 imes 4 = 40 equiv 5 pmod{7}$
$10 imes 5 = 50 equiv 1 pmod{7}$
$10 imes 6 = 60 equiv 4 pmod{7}$
现在，我们想找到一个操作，将一个两位数 $10a + b$ 转化成一个更小的数，使其与原数整除性相同。
考虑 $10a + b$。如果我们能将它变成 $a kb$ 的形式，并且这个操作保持整除性，那就很方便。
尝试不同的 $k$ 值：
如果令 $k = 1$：$10a + b ightarrow a b$. 检查 $10a+b pmod 7$ 和 $ab pmod 7$ 的关系。
$10a + b equiv 3a + b pmod 7$
$a b pmod 7$
这似乎没有直接的联系。
如果令 $k = 2$：$10a + b ightarrow a 2b$.
$10a + b equiv 3a + b pmod 7$
我们希望 $10a + b$ 整除与 $a 2b$ 整除等价。
让我们看看 $10a + b$ 和 $a 2b$ 的组合：
$(10a + b) k(a 2b)$
如果我们取 $k=1$，得到 $9a + 3b = 3(3a+b)$。
如果我们取 $k=2$，得到 $8a + 5b$.
如果我们取 $k=3$，得到 $7a + 7b = 7(a+b)$。这说明 $10a+b$ 整除与 $a+b$ 整除不等价。
如果我们取 $k=5$，得到 $5a + 11b$.
如果我们取 $k=3 imes ext{something}$？
换一个思路，利用模运算的性质：
$10a + b equiv 0 pmod{7}$
我们想要一个形式是 $a pm kb pmod{7}$。
假设我们有一个数 $N = 10a + b$。
考虑 $10a + b$ 和 $a 2b$ 的关系。
我们有 $10a + b equiv 3a + b pmod{7}$。
如果我们乘以某个数，使其系数变成 1 或 1 会比较方便。
如果我们将 $10a+b$ 乘以 5，得到 $50a + 5b equiv a + 5b pmod{7}$。
现在我们有 $a + 5b$ 和 $a 2b$。注意到 $5b equiv 2b pmod{7}$。
所以，$a + 5b equiv a 2b pmod{7}$。
结论： $10a + b$ 整除与 $a 2b$ 整除是等价的。
如果 $10a+b$ 能被 7 整除，那么 $10a+b = 7m$。
那么 $a2b = a 2b + frac{10a+b}{7} imes 0$
我们想证明 $a 2b$ 也能被 7 整除。
我们知道 $10a + b = 7m$.
那么 $a = frac{7mb}{10}$.
代入 $a 2b$: $frac{7mb}{10} 2b = frac{7mb20b}{10} = frac{7m21b}{10} = frac{7(m3b)}{10}$.
因为 $a2b$ 是整数，所以 $7(m3b)$ 必须能被 10 整除。由于 7 和 10 互质，所以 $m3b$ 必须能被 10 整除。
这并没有直接说明 $a2b$ 能被 7 整除。
重新理解等价性：
$10a + b$ 能被 7 整除 $iff 10a + b equiv 0 pmod{7}$
我们知道 $10 equiv 3 pmod{7}$。
所以，$3a + b equiv 0 pmod{7}$。
我们希望从 $3a + b$ 得到 $a 2b$ 的形式。
观察 $3a + b$ 和 $a 2b$ 的关系：
$3a + b = k(a 2b) pmod{7}$
令 $k=1$: $3a+b$ 和 $a2b$。
令 $k=2$: $6a+2b equiv a+2b pmod{7}$。
令 $k=3$: $9a+3b equiv 2a+3b pmod{7}$。
令 $k=4$: $12a+4b equiv 5a+4b pmod{7}$。
令 $k=5$: $15a+5b equiv a+5b pmod{7}$。
令 $k=6$: $18a+6b equiv 4a+6b pmod{7}$。
重要的关系：
$10a + b pmod{7} equiv 3a + b pmod{7}$
$a 2b pmod{7}$
注意到 $3a + b$ 和 $a 2b$ 之间存在一个关系。
如果我们用 $a 2b$ 乘以 3，得到 $3a 6b equiv 3a + b pmod{7}$。
所以，$10a+b equiv 3(a2b) pmod{7}$。
由于 3 和 7 互质，所以 $10a+b$ 能被 7 整除 $iff 3(a2b)$ 能被 7 整除 $iff a2b$ 能被 7 整除。
这就是“加倍减法”的数学原理。
操作步骤：
1. 将一个大数 $N$ 分成两部分：最高位数字（或连续几位数字），以及其余部分（看作一个以个位数字为基准的数）。更简单地说，将数的最后一位数字分开。
2. 将这个最后一位数字乘以 2。
3. 从剩余的数字中减去这个乘积。
4. 得到的新数是否能被 7 整除，就决定了原数是否能被 7 整除。
5. 如果新数仍然较大，可以重复这个过程。
举例说明：
判断 343 是否能被 7 整除：
1. 将 343 分为 34 和 3。
2. 将最后一位数字 3 乘以 2：$3 imes 2 = 6$。
3. 从剩余的数字 34 中减去 6：$34 6 = 28$。
4. 判断 28 是否能被 7 整除。28 可以被 7 整除 ($28 = 7 imes 4$)。
5. 所以，343 可以被 7 整除。 （实际上，$343 = 7 imes 49$）。
判断 1372 是否能被 7 整除：
1. 将 1372 分为 137 和 2。
2. 将最后一位数字 2 乘以 2：$2 imes 2 = 4$。
3. 从剩余的数字 137 中减去 4：$137 4 = 133$。
4. 判断 133 是否能被 7 整除。133 仍然有点大，重复过程：
1. 将 133 分为 13 和 3。
2. 将最后一位数字 3 乘以 2：$3 imes 2 = 6$。
3. 从剩余的数字 13 中减去 6：$13 6 = 7$。
4. 判断 7 是否能被 7 整除。7 可以被 7 整除。
5. 所以，1372 可以被 7 整除。 （实际上，$1372 = 7 imes 196$）。
判断 12345 是否能被 7 整除：
1. $12345 ightarrow 1234 (5 imes 2) = 1234 10 = 1224$
2. $1224 ightarrow 122 (4 imes 2) = 122 8 = 114$
3. $114 ightarrow 11 (4 imes 2) = 11 8 = 3$
4. 3 不能被 7 整除。
5. 所以，12345 不能被 7 整除。
优点：
操作简单，只需要乘法和减法。
易于记忆和掌握。
将数字缩小得很快。
缺点：
对于非常大的数字，重复次数会比较多。
方法二：分组加减法（适用于位数更多的数）
这种方法基于一个观察：$10^3 = 1000 = 142 imes 7 + 6 equiv 1 pmod{7}$。
这意味着，将一个数字的各位、百位、千位等分开，然后以每三位为一个分组，从右往左，进行“加减加减”的交替相加。
原理：
一个整数 $N$ 可以写成：
$N = d_n d_{n1} dots d_3 d_2 d_1 d_0 = sum_{i=0}^n d_i 10^i$
我们将数字从右往左每三位分成一组：
$N = (d_2 d_1 d_0) + (d_5 d_4 d_3) imes 10^3 + (d_8 d_7 d_6) imes 10^6 + dots$
$N = A_0 + A_1 imes 10^3 + A_2 imes 10^6 + dots$
因为 $10^3 equiv 1 pmod{7}$，所以 $10^6 = (10^3)^2 equiv (1)^2 equiv 1 pmod{7}$， $10^9 = (10^3)^3 equiv (1)^3 equiv 1 pmod{7}$，以此类推。
$10^{3k} equiv (1)^k pmod{7}$
因此：
$N equiv A_0 + A_1(1) + A_2(1) + A_3(1) + dots pmod{7}$
$N equiv A_0 A_1 + A_2 A_3 + dots pmod{7}$
这个公式告诉我们，将数字每三位分组，从右往左，进行分组数字的“加减加减”交替相加，所得的和是否能被 7 整除，就决定了原数能否被 7 整除。
操作步骤：
1. 将数字从右边开始，每三位分成一组。
2. 从最右边一组开始，按顺序进行“加”、“减”、“加”、“减”的交替运算。
3. 计算得到的新数。如果新数能被 7 整除，则原数能被 7 整除；如果新数不能被 7 整除，则原数也不能被 7 整除。
4. 如果得到的新数仍然较大，可以重复这个过程，但通常分组后结果会小很多。
举例说明：
判断 1372 是否能被 7 整除：
1. 将 1372 从右往左每三位分组：$1 | 372$。
2. 进行分组交替相加：$372 1$。
3. $372 1 = 371$。
4. 判断 371 是否能被 7 整除。
重复方法一：$371 ightarrow 37 (1 imes 2) = 37 2 = 35$。
35 可以被 7 整除 ($35 = 7 imes 5$)。
5. 所以，1372 可以被 7 整除。
判断 492114 是否能被 7 整除：
1. 将 492114 从右往左每三位分组：$492 | 114$。
2. 进行分组交替相加：$114 492$。
3. $114 492 = 378$。
4. 判断 378 是否能被 7 整除。这等价于判断 378 是否能被 7 整除。
重复方法一：$378 ightarrow 37 (8 imes 2) = 37 16 = 21$。
21 可以被 7 整除 ($21 = 7 imes 3$)。
5. 所以，492114 可以被 7 整除。 （实际上，$492114 = 7 imes 70302$）。
判断 1234567 是否能被 7 整除：
1. 分组：$1 | 234 | 567$
2. 交替相加：$567 234 + 1$
3. $567 234 + 1 = 333 + 1 = 334$
4. 判断 334 是否能被 7 整除。
重复方法一：$334 ightarrow 33 (4 imes 2) = 33 8 = 25$。
25 不能被 7 整除。
5. 所以，1234567 不能被 7 整除。
优点：
对于位数非常多的数字，这个方法能更快地将数字缩小到一个可处理的范围。
原理清晰，数学依据更直接。
缺点：
需要进行多位数减法，稍微复杂一点。
对于只有几位数的数字，方法一可能更直观。
方法三：除法余数组合（不太常用，但也是一种方法）
这个方法基于对 7 的不同幂次的认识。
原理：
我们知道 $10 equiv 3 pmod{7}$。
$10^0 equiv 1 pmod{7}$
$10^1 equiv 3 pmod{7}$
$10^2 equiv 3 imes 3 = 9 equiv 2 pmod{7}$
$10^3 equiv 2 imes 3 = 6 equiv 1 pmod{7}$
$10^4 equiv 1 imes 3 = 3 equiv 4 pmod{7}$
$10^5 equiv 4 imes 3 = 12 equiv 5 pmod{7}$
$10^6 equiv 5 imes 3 = 15 equiv 1 pmod{7}$
余数又开始循环了：1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, ... (循环节为 6)。
一个数字 $N = d_n d_{n1} dots d_1 d_0 = sum_{i=0}^n d_i 10^i$
$N pmod{7} equiv sum_{i=0}^n d_i (10^i pmod{7})$
操作步骤：
1. 写出数字的各位数字。
2. 从右往左，将各位数字依次乘以对应的 $10^i pmod{7}$ 的值（即 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ...）。
3. 将这些乘积相加。
4. 判断这个和是否能被 7 整除。
举例说明：
判断 343 是否能被 7 整除：
数字是 343。
各位数字为：3 (个位), 4 (十位), 3 (百位)。
计算：
$3 imes 10^0 pmod{7} equiv 3 imes 1 = 3$
$4 imes 10^1 pmod{7} equiv 4 imes 3 = 12 equiv 5$
$3 imes 10^2 pmod{7} equiv 3 imes 2 = 6$
将这些结果相加：$3 + 5 + 6 = 14$。
判断 14 是否能被 7 整除。14 可以被 7 整除。
所以，343 可以被 7 整除。
判断 1372 是否能被 7 整除：
数字是 1372。
各位数字为：2 (个位), 7 (十位), 3 (百位), 1 (千位)。
计算：
$2 imes 10^0 pmod{7} equiv 2 imes 1 = 2$
$7 imes 10^1 pmod{7} equiv 7 imes 3 equiv 0 imes 3 = 0$ (注意到 7 本身就能被 7 整除，所以这一项是 0)
$3 imes 10^2 pmod{7} equiv 3 imes 2 = 6$
$1 imes 10^3 pmod{7} equiv 1 imes 6 = 6$
将这些结果相加：$2 + 0 + 6 + 6 = 14$。
判断 14 是否能被 7 整除。14 可以被 7 整除。
所以，1372 可以被 7 整除。
优点：
数学原理非常清晰，是直接的模运算应用。
可以为学习模运算提供很好的例子。
缺点：
需要记住 $10^i pmod{7}$ 的循环（1, 3, 2, 6, 4, 5）。
对于位数较多的数字，计算量可能比方法一和方法二更大，尤其是在计算乘积时。
总结与建议
最实用、最推荐的方法是方法一（加倍减法）。 它简单易学，操作方便，对于大多数数字都足够快。如果你只需要掌握一种方法，就掌握这一种。
方法二（分组加减法）是处理超大数字时的利器。 如果你遇到的是非常长的数字串，例如上百位，分组加减法能帮你快速缩小范围。
方法三（除法余数组合）更偏向于数学原理的理解和应用，在实际速算中可能不如前两种方法直观和快捷。
选择哪种方法取决于你要处理的数字的大小和你的个人习惯。 对于日常计算，掌握方法一足以应付大部分情况。
网友意见
分析
设自然数 ，则
又因为
代入原式
反复使用此技巧，得
例 1
于是判断 可以被 整除，事实上
这个方法反复迭代，可以将 降至小数位为止。当然还可以对 继续模 ，比如当 为四位数，因为
所以有
例 2
实际上
继续该思路，那如何判别被 整除的特征呢？
设自然数 ，由二项式展开
于是
则
这就得到我们所熟知的“奇数位之和与偶数位之和的差是否被 整除”的被 整除的判别依据。
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