分家产的数学问题，17头牛老大1/2，老二1/3，老三1/9，是什么数学原理?
故事的背景
话说有三兄弟，他们父亲去世前留下了17头牛，并留下遗嘱：老大分到全部牛的1/2，老二分到1/3，老三分到1/9。问题来了，17头牛怎么分呢？你不能把牛劈成两半或者三份给，那样牛就死了，家产也分不成。这可把三兄弟愁坏了。
看上去无法解决的矛盾
在数学上，我们很容易发现问题所在：
老大要拿 17 (1/2) = 8.5 头牛
老二要拿 17 (1/3) ≈ 5.67 头牛
老三要拿 17 (1/9) ≈ 1.89 头牛
把这些加起来：8.5 + 5.67 + 1.89 ≈ 16.06 头牛。即使我们不考虑牛的数量是整数的问题，光是总和加起来就不到17头牛（8.5 + 17/3 + 17/9 = 17/2 + 17/3 + 17/9）。
最关键的是，分母是2、3、9。如果我们要让分配的结果是整数，那么被分的总数必须是2、3、9的公倍数。而17，并不是2、3、9的公倍数。因此，直接按照遗嘱来分，是无法得到整数头的牛的。
古老智慧的破解之道：借牛
这时候，一个聪明的老人（或者是路过的智者）来到了他们面前，看到了这兄弟俩的困境。老人说：“你们别着急，我这里有一头牛，你们先拿去用，等你们分完再还我。”
三兄弟听了，想着多一头牛总比没有好，就把老人的牛牵了过来，这样他们一共有 18头牛。
有了这18头牛，事情就好办多了：
老大分1/2： 18 (1/2) = 9 头牛
老二分1/3： 18 (1/3) = 6 头牛
老三分1/9： 18 (1/9) = 2 头牛
加起来一看：9 + 6 + 2 = 17 头牛。
奇迹发生了！正好分完了17头牛，而且每个人都得到了整数头的牛，并且比例也都差不多得到了满足。
分完之后，三兄弟各归各位，还剩下1头牛。这正是他们借来的那头，于是兄弟俩如约将老人的牛还了回去。
这背后揭示的数学原理是什么？
这个故事背后，主要揭示了两个非常关键的数学原理：
1. 分数与公倍数的关系（以及为什么直接分不行）：
正如前面分析的，当我们需要将一个整体按照不同的分数进行分割时，如果这个整体的数量不是这些分数分母的公倍数，直接分割就会出现非整数或者无法整除的情况。在这个例子里，17不是2、3、9的公倍数，所以直接按比例分，牛的数量就成了小数，无法实际操作。
2. 通过增加“基准”来“重构比例”：
这个故事最巧妙的地方在于，通过借来一头牛，将总数变成了18。而18恰好是2、3、9的公倍数（事实上，2、3、9的最小公倍数是18）。
当总数变为18后，三兄弟分到的比例相对而言并没有改变，但因为总数变成了公倍数，使得每次的计算结果都是整数。
我们可以看看比例有没有“失真”：
老大分了9头，占18头的1/2，符合遗嘱。
老二分了6头，占18头的1/3，符合遗嘱。
老三分了2头，占18头的1/9，符合遗嘱。
整个过程中，每人分到的比例（相对于增加后的总数18头牛）是完全按照遗嘱执行的。 问题是，他们拿走的那部分加起来是17头，而不是18头。也就是说，他们三人总共拿走了总数的 17/18，而不是遗嘱中（1/2 + 1/3 + 1/9）= (9+6+2)/18 = 17/18 的比例。
是的，这里的关键就在于，他们三人所得的比例之和：
1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18。
所以，这17头牛，恰好就是18头牛的17/18。
用更专业的话说，这是一种“改变参考系”或者“寻找公共基准”的思路。原本以17为基准，分母的限制导致无法整除；借来一头牛，将基准变成了18，而18是一个非常“方便”的数，是2、3、9的公倍数，使得所有比例计算都能得到整数结果。并且，因为这17头牛是18头牛的17/18，所以他们拿走的份正好是从18头牛中按比例分出来的。
这个故事为什么如此经典？
解决实际问题的智慧： 它展示了在面对看似死板的规则时，如何运用智慧找到解决之道，而不是陷入僵局。
数学的趣味性： 它把枯燥的数学计算转化成了一个生动有趣的故事，让人们在不自觉中体会到了数学的魅力。
“障眼法”的巧妙： 借牛这个行为，就像一个精妙的“障眼法”，让人们暂时忽略了“总数是17”这个限制，而专注于“比例”本身。当比例在新的总数下变得“好算”时，问题就迎刃而解了。
总而言之，这个分家产的故事，用一种非常形象的方式，向我们展示了：
在进行分数分割时，找到分母的公倍数作为总数是关键。
当遇到不方便的数字时，通过巧妙地调整“整体的基准”或者“增加一个参照物”，可以使问题变得简单化，甚至找到出乎意料的解决方案。
它不是在违反数学原则，而是在数学原理的框架内，展现了解决问题的创造性思维。就像是在玩一个数字游戏，只不过规则设得非常巧妙。
网友意见
父亲有一头牛，后来要老死了，留个遗嘱「孩子分一半」。半头牛怎么分？邻居牵来一头，孩子把自己家牛领走了，邻居领走自己的牛，皆大欢喜，皆大欢喜。
首先强调，将这种题当成数学题，并将解法称之为“巧妙”，是极大的误导。
这不是纯粹的“数学题”，如果说对解题者有什么帮助的话，那应该是“修正规则以适应现实”
题目中给出的条件：17头牛，二分之一，三分之一，九分之一，是精确的量化条件，并没有解释的空间。
1/2 +1/3 + 1/9=17/18，很明显，三个人不能分割全部遗产。
且分到的牛不是整数。
在分析讨论的过程中，对出题人产生质疑，并得出结论：
以出题人给出的条件，无法达到要求，所以，此题无解。
【再举一例无解题：将23头牛分给5个人，每个人的牛是单数且互不相同。】
于是，修改已知条件为：家中有18头牛，17头是自己的，一头是别人的，要还。
此时，再以18为“单位1”去计算数量，达到出题人的要求。
以上为全部过程。
题主的问题：老头留下17头牛，遗嘱分给老大1/2，老二1/3，老三1/9，怎么分? 这道题的解法是好心人借给他们1头牛，变成18头牛，二分之一是9头，三分之一是6头，九分之一是2头，加起来刚好17头多的那头再还给好心人。
题主的困惑：填上一头牛，是什么原理？
为了避免歧义，这里严谨的重写一下遗嘱！老头有财产17头牛，把总财产的一半留给大儿子，总财产的1/3留给二儿子，总财产的1/9留给小儿子。
如果你刚刚学习分数运算，在小学奥数题看到了类似的问题，为了避免误导，请直接跳到最后去看。或者如果你觉得遗嘱的含义不是这样的，也请先跳到最后。
先揭露一下问题的实质（贪污问题，而非数学原理）
老头的财产是S（总共是离散的17头牛），他本来不想让三个儿子分完整个S的， 他还想给自己留一点 安排后事，剩下的给三个儿子按照比例(9:6:2)分掉。但是问题是他留给自己的不够一头牛的份， 儿子无法操作，除非把牛宰了不然无法准确地留下小于一头牛的份额。
实践中，儿子们本应得到的遗产是 头牛，留给老头 头牛。为了不杀掉牛，他们修改分配方案，当然得保证他们仨的比例不变，考虑把老头自留的份额扩大或者缩小。(毕竟老头满不满意不要紧，他们仨的彼此利益不能受损)
设他们获得的牛是9x，6x，2x，老头剩下的 y，那么整数方程
这里得要求，9x，6x，2x，y都是非负整数，易验证只有解(x=1，y=0)，(x=0,y=17)，后一个解这意味着根本没有继承财产，所以不考虑。
所以要求不杀牛，而且保持比例，各自得到整个的牛，他们只能瓜分老头的0.944头牛，把老头的份额减少为0。
最后的结果是三个儿子各得到9, 6, 2头牛，老头什么也没有。（但是老头本应有将近一头牛的剩余量）
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不去看这个好心人的故事，本质上说，从不能分牛到可以分牛的矛盾，就是隐含着修改了遗嘱，三个儿子把老头的剩余量瓜分了。为什么我们不容易一眼看出来这种修改呢？因为老头的遗嘱并没有显式地声明自己的剩余量。我们容易忽略这部分的存在，这也给三个儿子的操作留下空间，他们神不知鬼不觉地分掉了老头的剩余量，而且看上去很体面。
如果没有好心人，三个儿子还是可以各自牵走9， 6， 2头牛，刚好17头不多不少。但是旁观者就很容易发现问题， 大儿子明显多拿了嘛，同理三个儿子都是多拿的。显得三个儿子贪财，有歪心思。
好心人是个演员
有了好心人借牛换牛的操作，这个过程就变得复杂了，也让三个儿子变得更体面了！所以我有理由相信，好心人不好心，是三个儿子拉来的演员，演一场狸猫换太子的好戏。
- 好心人借给他们一头牛。
- 三个儿子和老头一共用现货18头牛 ，而且四个人一共承担了1头牛的债务。
- 老大牵走了9头，老二牵走了6头，老三牵走了2头，剩下1头是老头给自己剩下的 。到这都没问题。
- 老头的1头牛被还给了好心人，三个儿子和老头的债全被消掉了。
最后的那头牛A是个复杂的牛，作为实体，它分给老头的时候， 份是老头应得的， 份是老头借的债。（三个儿子分别借债 份，四方一共借了1份）。悄悄地，三个儿子把自己的债推给了老头，自己成没事人了。这头牛A变成他们四方债务的集合体，然后牛A被还给了好心人。
这么一轮骚操作完成了不法侵占，三个儿子和老头共同借了一头牛，最后却只用老头的一头牛抵了债！然后老头的份额就不知不觉地消失了（我们本来也没意识到老头份额的存在）。
更操蛋的操作
这个方程如果不要求 y 是非负整数，只要求9x，6x，2x是非负整数的话，还有很多解嘛！比如说，按照 这组解，三个儿子可以达成协议，大儿子分得9x = 18头牛，二儿子分得6x = 12头牛，三儿子分得2x = 4头牛，现有17头牛已经可以交货（9,6,2），老头还欠他们17头牛 ！
我们也可以据此编个故事呀：
有一个好心人借了他们19头牛，他们现在有 头牛 ，大儿子牵走了 头，二儿子牵走了 头，三儿子牵走了 头，刚刚好嘛三个儿子欢欢喜喜地走了。剩下 头。那好心人的债怎么办？先把剩下的2头还给他，好心人的17头牛欠账记在老头账上，老头欠好心人的，和三个儿子无关。(这三个儿子分牛很体面，也很坑爹嘛！)
更一般的模型
基本问题
老头有遗产总量S头牛。
出让比例 ，自留比例 。
给 t 个儿子的遗产，各自占遗产总量的比例是 。
其中 ，
现在存在 ，使得 ，这样直接分会遇到麻烦，怎么分牛呢？
为了好心人偷天换日的合理性，需要满足：
1，
2，
好心人来了
儿子们总可以找一个神奇的好心人，借得 头牛。（这是个正整数）
现在老头和儿子们拥有总量 头牛，一起欠债 头牛。
儿子们各自分得 头牛，（是个整数没毛病）
老头分得剩下的 头牛，（是个整数而且刚好等于债务）
然后悄悄地转移债务，用老头分得的牛还给了好心人，神不知鬼不觉地侵占了老头的财产。
完美！
构造
最后从纯数字的角度，给出一种构造的方法。（充要条件在前面的模型就给出了，但是不太好用，接下来的都不是必要条件。以下的字母都代表正整数）
1，任取一组数 （互素的话就更无脑了，2,3自动满足）
2，要求 lcm是取最小公倍数（这对于随机的一组数大概率是成立的，构造时候不用太在意，检验即可）
3，最好还要存在 使得 。
那么可以给出一张有机可乘的分牛遗嘱了：
老头共有牛 头。
t 个儿子每个人分 也就是几分之一的牛。
但是第 个儿子直接分不了，
对应也有好心人方案：
向好心人借 头牛，现在的总量 对每个儿子都是可分的，每人得到 头牛。剩余的恰 头牛被还给好心人了。
嘿嘿，这里对构造分析了这么一大堆，总有意想不到的小收获：我找到了比题目更小的一种构造。
原题目实际上是选了数组 ，得到遗产牛 头，借牛 头。
但是还可以给出数组 ，让数据更小一点。遗产牛 头，三个儿子各分得 的遗产，直接分不可行。好心人借牛 头，三个儿子分 头，剩余3头还回去，完美。
更新：
昨天下午写的回答，今天上午这个问题居然上热搜了，哈哈哈哈，谢谢诸位捧场！
从机智的评论区得到了如果只有两个儿子时候的最小构造：两头牛，老头让每个人分得 ，儿子们鸡贼地借了一头牛，然后一人分一头牵走，剩下一头还回去。
可能解释的时候用这个例子更好，最直观地反映了问题，同时数据最小容易思考。
最后
评论区反映这个遗嘱的解释可能产生误导，误人子弟就不好了嘛，所以特地补充说明：
这道题的关键在遗嘱的表述：
以上讨论的遗嘱是：老头有财产17头牛，把总财产的一半留给大儿子，总财产的1/3留给二儿子，总财产的1/9留给小儿子。
你的奥赛题中可能的遗嘱是：老头有财产17头牛，把财产按照 的比例分给三个儿子。
这两个问题是完全不一样的。
如果是占总财产的比例，那么就是我们上面一直探讨的问题，借牛分牛本质就是贪污老头的剩余财产。
如果是相互之间的比例， 那么通分可知等于9:6:2 ，那么分牛的操作是完全正确的！（这也是小学奥赛题的考点，比例的含义，通分化简）
这么久了，我回来给我的另一个回答引流了
希望这个 回答也可以给您带来更多有趣的思考。
@立党 翻车了翻车了
哪就“中国古人”了？
虽然这道题确实就是脑筋急转弯，并不是数学题……
但这跟中国古人有个毛线关系啊……
已经有人考证过了：
“中国古人”塔尔塔利亚？
“中国古人”斐波那契？
“中国古人”哈里发阿里·本·阿比·塔利卜？
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