如何证明 a_n＝(1＋1/2²)(1＋1/3²)…(1＋1/n²) 收敛？
好的，我们来详细地探讨一下如何证明数列 $a_n = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) cdots (1 + frac{1}{n^2})$ 的收敛性。我会尽量用通俗易懂的语言来解释，就像和朋友探讨数学问题一样。
首先，我们先仔细看看这个数列长什么样。
$a_1$ 并没有明确的定义，因为连乘从 $1/2^2$ 开始。通常情况下，这种连乘我们会从一个基础项开始，比如 $a_n = prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2})$。如果我们假设 $a_n$ 是从 $k=2$ 开始的连乘，那么：
$a_2 = 1 + frac{1}{2^2} = 1 + frac{1}{4} = frac{5}{4}$
$a_3 = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) = frac{5}{4} (1 + frac{1}{9}) = frac{5}{4} cdot frac{10}{9} = frac{50}{36} = frac{25}{18}$
$a_4 = a_3 (1 + frac{1}{4^2}) = frac{25}{18} (1 + frac{1}{16}) = frac{25}{18} cdot frac{17}{16} = frac{425}{288}$
看上去这个数列的值在不断增大。要证明一个数列收敛，最直接、也最常用的方法就是证明它是一个有界单调数列。
证明单调性：
我们先来判断这个数列是单调递增还是递减。
考虑 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 的关系：
$a_{n+1} = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) cdots (1 + frac{1}{n^2})(1 + frac{1}{(n+1)^2})$
$a_n = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) cdots (1 + frac{1}{n^2})$
很显然，$a_{n+1} = a_n cdot (1 + frac{1}{(n+1)^2})$。
现在我们来看那个乘进去的因子 $1 + frac{1}{(n+1)^2}$。
因为 $n ge 2$，所以 $(n+1)^2 ge (2+1)^2 = 9$。
$frac{1}{(n+1)^2} > 0$。
所以，$1 + frac{1}{(n+1)^2} > 1$。
因此，$a_{n+1} = a_n cdot ( ext{一个大于1的数})$。
这意味着 $a_{n+1} > a_n$。
所以，数列 ${a_n}$ 是一个单调递增的数列。
证明有界性：
单调递增的数列如果是有上界的，它就一定会收敛。现在我们要证明 $a_n$ 是有上界的。也就是说，是否存在一个常数 $M$，使得对于所有的 $n ge 2$，都有 $a_n le M$。
我们知道 $a_n = prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2})$。
要证明它的上界，我们可以尝试对每一项 $(1 + frac{1}{k^2})$ 进行放缩。
有一个非常常用的不等式叫做 伯努利不等式 (Bernoulli's inequality) 的推广形式：
对于任意实数 $x > 1$ 和正整数 $n$，有 $(1+x)^n ge 1+nx$。
但这好像不是直接能用在这里。
我们来看一个更适合我们这个问题的技巧：对数放缩。
我们可以先考虑 $ln(a_n)$。
$ln(a_n) = ln left( prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2}) ight) = sum_{k=2}^n ln(1 + frac{1}{k^2})$。
对于 $ln(1+x)$ 当 $x > 0$ 时，我们有一个重要的不等式：
$ln(1+x) < x$。
这是因为函数 $f(x) = x ln(1+x)$ 的导数是 $f'(x) = 1 frac{1}{1+x} = frac{1+x1}{1+x} = frac{x}{1+x}$。
当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，所以 $f(x)$ 是递增的。
又因为 $f(0) = 0 ln(1+0) = 0$，所以当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$，即 $x > ln(1+x)$。
所以，我们可以对 $ln(a_n)$ 的每一项进行放缩：
$ln(1 + frac{1}{k^2}) < frac{1}{k^2}$。
那么，
$ln(a_n) = sum_{k=2}^n ln(1 + frac{1}{k^2}) < sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$。
现在的问题就转化成了证明 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$ 是有上界的。
这是一个著名的级数：$sum_{k=1}^infty frac{1}{k^2}$，它的和是 $frac{pi^2}{6}$。
虽然我们现在只关心部分和 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$，但这个事实本身就告诉我们，这个级数是收敛的，也就是说它的部分和是有上界的。
我们来具体证明 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$ 是有上界的，并且找到了一个上界。
考虑 $frac{1}{k^2}$。我们可以将其与一个更容易求和的级数进行比较。
一个经典的方法是：
$frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k1)}$，对于 $k ge 2$。
让我们来验证一下：
$k(k1) = k^2 k$。
因为 $k ge 2$，所以 $k > 0$。
因此，$k^2 k < k^2$。
所以，$frac{1}{k^2} < frac{1}{k^2 k} = frac{1}{k(k1)}$。
现在，我们可以对 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$ 使用这个放缩：
$sum_{k=2}^n frac{1}{k^2} < sum_{k=2}^n frac{1}{k(k1)}$。
右边的级数是一个裂项相消的级数：
$sum_{k=2}^n frac{1}{k(k1)} = sum_{k=2}^n (frac{1}{k1} frac{1}{k})$
让我们展开写几项看看：
当 $k=2$: $frac{1}{1} frac{1}{2}$
当 $k=3$: $frac{1}{2} frac{1}{3}$
当 $k=4$: $frac{1}{3} frac{1}{4}$
...
当 $k=n$: $frac{1}{n1} frac{1}{n}$
将它们相加，中间的项都会抵消：
$(frac{1}{1} frac{1}{2}) + (frac{1}{2} frac{1}{3}) + (frac{1}{3} frac{1}{4}) + cdots + (frac{1}{n1} frac{1}{n})$
$= 1 frac{1}{n}$。
所以，我们得到：
$sum_{k=2}^n frac{1}{k^2} < 1 frac{1}{n}$。
因为 $n ge 2$，所以 $frac{1}{n} > 0$，因此 $1 frac{1}{n} < 1$。
这意味着 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2} < 1$。
我们之前得到 $ln(a_n) < sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$。
所以，$ln(a_n) < 1$。
现在我们有了一个关于 $ln(a_n)$ 的上界。要得到 $a_n$ 的上界，我们只需对这个不等式取指数：
$a_n = e^{ln(a_n)}$。
由于指数函数 $e^x$ 是一个单调递增的函数，所以：
$a_n < e^1 = e$。
我们找到了一个上界 $e$（大约是 2.718）。
所以，对于所有的 $n ge 2$，都有 $a_n < e$。
结论：
我们已经证明了数列 ${a_n}$ 是：
1. 单调递增的 (因为 $a_{n+1} > a_n$)。
2. 有上界的 (因为 $a_n < e$)。
根据单调收敛定理，一个单调递增且有上界的数列必定收敛到一个有限的实数。
因此，数列 $a_n = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) cdots (1 + frac{1}{n^2})$ 是收敛的。
再补充一些思考和更细致的说明：
起点的定义：如果题目严格定义 $a_n = (1+frac{1}{2^2})cdots(1+frac{1}{n^2})$，那么数列的起始项实际上是 $a_2$。在分析单调性和有界性时，我们的论证都是从 $n=2$ 开始的，所以这是合理的。有时候，为了方便定义，人们会加上一个 $a_1=1$ 的项，即 $a_n = prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2})$，此时 $a_1=1, a_2=1+frac{1}{4}, dots$ 。我们的证明过程对于这两种起始定义都有效，因为我们关注的是当 $n$ 增大时的行为。
关于 $ln(1+x) < x$ 的理解：这个不等式非常重要。想象一下函数 $y=x$ 和 $y=ln(1+x)$ 的图像。当 $x>0$ 时，直线 $y=x$ 的斜率是1。而 $y=ln(1+x)$ 的图像在 $x=0$ 处的切线是 $y = ln(1+0) + frac{1}{1+0}(x0) = x$。由于 $ln(1+x)$ 是一个凹函数（二阶导数是负的），所以它在 $x=0$ 处的切线会位于其图像的上方（对于 $x>0$ 的区域）。因此，$x > ln(1+x)$。
关于 $frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k1)}$ 的理解：这个放缩是证明 $sum frac{1}{k^2}$ 收敛的经典技巧。它巧妙地将一个“平方项”放缩到一个“差项”，而差项的求和又是可以精确计算的。这种技巧在分析无穷级数时非常常见。
更紧的上界（可选知识）：虽然我们证明了 $a_n < e$，实际上这个无穷乘积收敛到的值比 $e$ 要小。这个无穷乘积实际上可以和正弦函数的无穷乘积联系起来，最终结果是 $frac{sinh(pi)}{pi}$，大约是 $frac{11.548}{3.1416} approx 3.67$。等等，这里似乎有点问题。我需要检查一下。
啊，我把 $prod_{k=2}^infty (1 + frac{1}{k^2})$ 的值和 $prod_{k=1}^infty (1 frac{1}{k^2})$ 的值混淆了。
确实， $prod_{k=1}^infty (1 frac{1}{k^2}) = prod_{k=2}^infty (1 frac{1}{k^2}) = frac{1}{2}$。
对于 $prod_{k=2}^infty (1 + frac{1}{k^2})$ 的精确值，它涉及到椭圆函数或更高级的函数，但对于证明收敛性，我们只需要一个上界，而 $e$ 是一个很容易获得的有效上界。
让我们回顾一下我们的放缩过程：
$ln(a_n) = sum_{k=2}^n ln(1 + frac{1}{k^2})$
我们用了 $ln(1+x) < x$。
实际上，对于 $frac{1}{k^2}$ 这个值，还有更紧的不等式。
比如， $ln(1+x) < x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} dots$ （泰勒展开）。
但我们不需要这么复杂。
更精确的放缩：
考虑 $ln(1+x)$ 和 $frac{x}{1+x/2}$ 的关系。
令 $g(x) = ln(1+x) frac{x}{1+x/2}$。
$g'(x) = frac{1}{1+x} frac{(1+x/2) x(1/2)}{(1+x/2)^2} = frac{1}{1+x} frac{1+x/2x/2}{(1+x/2)^2} = frac{1}{1+x} frac{1}{(1+x/2)^2}$
$g'(x) = frac{(1+x/2)^2 (1+x)}{(1+x)(1+x/2)^2} = frac{1+x+x^2/4 1x}{(1+x)(1+x/2)^2} = frac{x^2/4}{(1+x)(1+x/2)^2}$
当 $x>0$ 时，$g'(x)>0$，所以 $g(x)$ 是递增的。
又 $g(0)=0$。所以 $ln(1+x) < frac{x}{1+x/2}$ 对于 $x>0$。
那么 $ln(1+frac{1}{k^2}) < frac{1/k^2}{1 + 1/(2k^2)} = frac{1/k^2}{(2k^2+1)/(2k^2)} = frac{2k^2}{k^2(2k^2+1)} = frac{2}{2k^2+1}$。
这个似乎也没有立刻变成一个容易求和的形式。
继续回到 $frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k1)}$。这个放缩非常干净，而且已经足够证明收敛性了。我们不需要知道精确的和是多少，只需要知道它有界。
换个角度思考 从“乘积”到“指数”：
当乘积项中的每一项都略大于1时，乘积会增长。我们上面证明的是，这种增长是有上限的。
如果我们写成 $a_n = exp(sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2}))$，那么收敛性就取决于级数 $sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2})$ 的收敛性。
由于 $ln(1+frac{1}{k^2}) sim frac{1}{k^2}$ 当 $k o infty$ 时（因为 $lim_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$），而 $sum frac{1}{k^2}$ 是一个收敛的p级数（p=2>1），所以级数 $sum ln(1+frac{1}{k^2})$ 也是收敛的。
这个是利用了比较判别法的极限形式。
如果级数 $sum b_n$ 收敛且 $a_n ge 0, b_n ge 0$，并且 $lim_{n oinfty} frac{a_n}{b_n} = L$ 且 $0 < L < infty$，那么级数 $sum a_n$ 也收敛。
在这里，我们取 $a_k = ln(1+frac{1}{k^2})$ 和 $b_k = frac{1}{k^2}$。
$lim_{k oinfty} frac{ln(1+frac{1}{k^2})}{1/k^2} = lim_{x o 0^+} frac{ln(1+x)}{x} = 1$。
由于级数 $sum_{k=2}^infty frac{1}{k^2}$ 收敛，所以级数 $sum_{k=2}^infty ln(1+frac{1}{k^2})$ 也收敛。
如果一个级数收敛，那么它的部分和序列就是收敛的。
所以 $sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2})$ 是收敛的。
因此， $a_n = exp(sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2}))$ 是收敛的。
这种方法更加直接，也更“数学化”，但可能不如“单调有界”那样直观。不过，它恰恰说明了为何 $ln(1+x) < x$ 的放缩如此有效——它直接关联到了一个已知的收敛级数。
总而言之，证明 $a_n$ 收敛，我们只需要证明它单调递增且有上界。单调性很容易从定义看出来。有界性可以通过对数放缩，并与著名的 $sum frac{1}{k^2}$ 级数进行比较来证明。 $sum frac{1}{k^2}$ 的上界可以通过裂项相消法得到，最终导出了 $a_n$ 的上界。
希望这个详细的解释能够帮到你！
首先，我们先仔细看看这个数列长什么样。
$a_1$ 并没有明确的定义，因为连乘从 $1/2^2$ 开始。通常情况下，这种连乘我们会从一个基础项开始，比如 $a_n = prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2})$。如果我们假设 $a_n$ 是从 $k=2$ 开始的连乘，那么：
$a_2 = 1 + frac{1}{2^2} = 1 + frac{1}{4} = frac{5}{4}$
$a_3 = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) = frac{5}{4} (1 + frac{1}{9}) = frac{5}{4} cdot frac{10}{9} = frac{50}{36} = frac{25}{18}$
$a_4 = a_3 (1 + frac{1}{4^2}) = frac{25}{18} (1 + frac{1}{16}) = frac{25}{18} cdot frac{17}{16} = frac{425}{288}$
看上去这个数列的值在不断增大。要证明一个数列收敛，最直接、也最常用的方法就是证明它是一个有界单调数列。
证明单调性：
我们先来判断这个数列是单调递增还是递减。
考虑 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 的关系：
$a_{n+1} = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) cdots (1 + frac{1}{n^2})(1 + frac{1}{(n+1)^2})$
$a_n = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) cdots (1 + frac{1}{n^2})$
很显然，$a_{n+1} = a_n cdot (1 + frac{1}{(n+1)^2})$。
现在我们来看那个乘进去的因子 $1 + frac{1}{(n+1)^2}$。
因为 $n ge 2$，所以 $(n+1)^2 ge (2+1)^2 = 9$。
$frac{1}{(n+1)^2} > 0$。
所以，$1 + frac{1}{(n+1)^2} > 1$。
因此，$a_{n+1} = a_n cdot ( ext{一个大于1的数})$。
这意味着 $a_{n+1} > a_n$。
所以，数列 ${a_n}$ 是一个单调递增的数列。
证明有界性：
单调递增的数列如果是有上界的，它就一定会收敛。现在我们要证明 $a_n$ 是有上界的。也就是说，是否存在一个常数 $M$，使得对于所有的 $n ge 2$，都有 $a_n le M$。
我们知道 $a_n = prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2})$。
要证明它的上界，我们可以尝试对每一项 $(1 + frac{1}{k^2})$ 进行放缩。
有一个非常常用的不等式叫做 伯努利不等式 (Bernoulli's inequality) 的推广形式：
对于任意实数 $x > 1$ 和正整数 $n$，有 $(1+x)^n ge 1+nx$。
但这好像不是直接能用在这里。
我们来看一个更适合我们这个问题的技巧：对数放缩。
我们可以先考虑 $ln(a_n)$。
$ln(a_n) = ln left( prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2}) ight) = sum_{k=2}^n ln(1 + frac{1}{k^2})$。
对于 $ln(1+x)$ 当 $x > 0$ 时，我们有一个重要的不等式：
$ln(1+x) < x$。
这是因为函数 $f(x) = x ln(1+x)$ 的导数是 $f'(x) = 1 frac{1}{1+x} = frac{1+x1}{1+x} = frac{x}{1+x}$。
当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，所以 $f(x)$ 是递增的。
又因为 $f(0) = 0 ln(1+0) = 0$，所以当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$，即 $x > ln(1+x)$。
所以，我们可以对 $ln(a_n)$ 的每一项进行放缩：
$ln(1 + frac{1}{k^2}) < frac{1}{k^2}$。
那么，
$ln(a_n) = sum_{k=2}^n ln(1 + frac{1}{k^2}) < sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$。
现在的问题就转化成了证明 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$ 是有上界的。
这是一个著名的级数：$sum_{k=1}^infty frac{1}{k^2}$，它的和是 $frac{pi^2}{6}$。
虽然我们现在只关心部分和 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$，但这个事实本身就告诉我们，这个级数是收敛的，也就是说它的部分和是有上界的。
我们来具体证明 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$ 是有上界的，并且找到了一个上界。
考虑 $frac{1}{k^2}$。我们可以将其与一个更容易求和的级数进行比较。
一个经典的方法是：
$frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k1)}$，对于 $k ge 2$。
让我们来验证一下：
$k(k1) = k^2 k$。
因为 $k ge 2$，所以 $k > 0$。
因此，$k^2 k < k^2$。
所以，$frac{1}{k^2} < frac{1}{k^2 k} = frac{1}{k(k1)}$。
现在，我们可以对 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$ 使用这个放缩：
$sum_{k=2}^n frac{1}{k^2} < sum_{k=2}^n frac{1}{k(k1)}$。
右边的级数是一个裂项相消的级数：
$sum_{k=2}^n frac{1}{k(k1)} = sum_{k=2}^n (frac{1}{k1} frac{1}{k})$
让我们展开写几项看看：
当 $k=2$: $frac{1}{1} frac{1}{2}$
当 $k=3$: $frac{1}{2} frac{1}{3}$
当 $k=4$: $frac{1}{3} frac{1}{4}$
...
当 $k=n$: $frac{1}{n1} frac{1}{n}$
将它们相加，中间的项都会抵消：
$(frac{1}{1} frac{1}{2}) + (frac{1}{2} frac{1}{3}) + (frac{1}{3} frac{1}{4}) + cdots + (frac{1}{n1} frac{1}{n})$
$= 1 frac{1}{n}$。
所以，我们得到：
$sum_{k=2}^n frac{1}{k^2} < 1 frac{1}{n}$。
因为 $n ge 2$，所以 $frac{1}{n} > 0$，因此 $1 frac{1}{n} < 1$。
这意味着 $sum_{k=2}^n frac{1}{k^2} < 1$。
我们之前得到 $ln(a_n) < sum_{k=2}^n frac{1}{k^2}$。
所以，$ln(a_n) < 1$。
现在我们有了一个关于 $ln(a_n)$ 的上界。要得到 $a_n$ 的上界，我们只需对这个不等式取指数：
$a_n = e^{ln(a_n)}$。
由于指数函数 $e^x$ 是一个单调递增的函数，所以：
$a_n < e^1 = e$。
我们找到了一个上界 $e$（大约是 2.718）。
所以，对于所有的 $n ge 2$，都有 $a_n < e$。
结论：
我们已经证明了数列 ${a_n}$ 是：
1. 单调递增的 (因为 $a_{n+1} > a_n$)。
2. 有上界的 (因为 $a_n < e$)。
根据单调收敛定理，一个单调递增且有上界的数列必定收敛到一个有限的实数。
因此，数列 $a_n = (1 + frac{1}{2^2})(1 + frac{1}{3^2}) cdots (1 + frac{1}{n^2})$ 是收敛的。
再补充一些思考和更细致的说明：
起点的定义：如果题目严格定义 $a_n = (1+frac{1}{2^2})cdots(1+frac{1}{n^2})$，那么数列的起始项实际上是 $a_2$。在分析单调性和有界性时，我们的论证都是从 $n=2$ 开始的，所以这是合理的。有时候，为了方便定义，人们会加上一个 $a_1=1$ 的项，即 $a_n = prod_{k=2}^n (1 + frac{1}{k^2})$，此时 $a_1=1, a_2=1+frac{1}{4}, dots$ 。我们的证明过程对于这两种起始定义都有效，因为我们关注的是当 $n$ 增大时的行为。
关于 $ln(1+x) < x$ 的理解：这个不等式非常重要。想象一下函数 $y=x$ 和 $y=ln(1+x)$ 的图像。当 $x>0$ 时，直线 $y=x$ 的斜率是1。而 $y=ln(1+x)$ 的图像在 $x=0$ 处的切线是 $y = ln(1+0) + frac{1}{1+0}(x0) = x$。由于 $ln(1+x)$ 是一个凹函数（二阶导数是负的），所以它在 $x=0$ 处的切线会位于其图像的上方（对于 $x>0$ 的区域）。因此，$x > ln(1+x)$。
关于 $frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k1)}$ 的理解：这个放缩是证明 $sum frac{1}{k^2}$ 收敛的经典技巧。它巧妙地将一个“平方项”放缩到一个“差项”，而差项的求和又是可以精确计算的。这种技巧在分析无穷级数时非常常见。
更紧的上界（可选知识）：虽然我们证明了 $a_n < e$，实际上这个无穷乘积收敛到的值比 $e$ 要小。这个无穷乘积实际上可以和正弦函数的无穷乘积联系起来，最终结果是 $frac{sinh(pi)}{pi}$，大约是 $frac{11.548}{3.1416} approx 3.67$。等等，这里似乎有点问题。我需要检查一下。
啊，我把 $prod_{k=2}^infty (1 + frac{1}{k^2})$ 的值和 $prod_{k=1}^infty (1 frac{1}{k^2})$ 的值混淆了。
确实， $prod_{k=1}^infty (1 frac{1}{k^2}) = prod_{k=2}^infty (1 frac{1}{k^2}) = frac{1}{2}$。
对于 $prod_{k=2}^infty (1 + frac{1}{k^2})$ 的精确值，它涉及到椭圆函数或更高级的函数，但对于证明收敛性，我们只需要一个上界，而 $e$ 是一个很容易获得的有效上界。
让我们回顾一下我们的放缩过程：
$ln(a_n) = sum_{k=2}^n ln(1 + frac{1}{k^2})$
我们用了 $ln(1+x) < x$。
实际上，对于 $frac{1}{k^2}$ 这个值，还有更紧的不等式。
比如， $ln(1+x) < x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} dots$ （泰勒展开）。
但我们不需要这么复杂。
更精确的放缩：
考虑 $ln(1+x)$ 和 $frac{x}{1+x/2}$ 的关系。
令 $g(x) = ln(1+x) frac{x}{1+x/2}$。
$g'(x) = frac{1}{1+x} frac{(1+x/2) x(1/2)}{(1+x/2)^2} = frac{1}{1+x} frac{1+x/2x/2}{(1+x/2)^2} = frac{1}{1+x} frac{1}{(1+x/2)^2}$
$g'(x) = frac{(1+x/2)^2 (1+x)}{(1+x)(1+x/2)^2} = frac{1+x+x^2/4 1x}{(1+x)(1+x/2)^2} = frac{x^2/4}{(1+x)(1+x/2)^2}$
当 $x>0$ 时，$g'(x)>0$，所以 $g(x)$ 是递增的。
又 $g(0)=0$。所以 $ln(1+x) < frac{x}{1+x/2}$ 对于 $x>0$。
那么 $ln(1+frac{1}{k^2}) < frac{1/k^2}{1 + 1/(2k^2)} = frac{1/k^2}{(2k^2+1)/(2k^2)} = frac{2k^2}{k^2(2k^2+1)} = frac{2}{2k^2+1}$。
这个似乎也没有立刻变成一个容易求和的形式。
继续回到 $frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k1)}$。这个放缩非常干净，而且已经足够证明收敛性了。我们不需要知道精确的和是多少，只需要知道它有界。
换个角度思考 从“乘积”到“指数”：
当乘积项中的每一项都略大于1时，乘积会增长。我们上面证明的是，这种增长是有上限的。
如果我们写成 $a_n = exp(sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2}))$，那么收敛性就取决于级数 $sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2})$ 的收敛性。
由于 $ln(1+frac{1}{k^2}) sim frac{1}{k^2}$ 当 $k o infty$ 时（因为 $lim_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$），而 $sum frac{1}{k^2}$ 是一个收敛的p级数（p=2>1），所以级数 $sum ln(1+frac{1}{k^2})$ 也是收敛的。
这个是利用了比较判别法的极限形式。
如果级数 $sum b_n$ 收敛且 $a_n ge 0, b_n ge 0$，并且 $lim_{n oinfty} frac{a_n}{b_n} = L$ 且 $0 < L < infty$，那么级数 $sum a_n$ 也收敛。
在这里，我们取 $a_k = ln(1+frac{1}{k^2})$ 和 $b_k = frac{1}{k^2}$。
$lim_{k oinfty} frac{ln(1+frac{1}{k^2})}{1/k^2} = lim_{x o 0^+} frac{ln(1+x)}{x} = 1$。
由于级数 $sum_{k=2}^infty frac{1}{k^2}$ 收敛，所以级数 $sum_{k=2}^infty ln(1+frac{1}{k^2})$ 也收敛。
如果一个级数收敛，那么它的部分和序列就是收敛的。
所以 $sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2})$ 是收敛的。
因此， $a_n = exp(sum_{k=2}^n ln(1+frac{1}{k^2}))$ 是收敛的。
这种方法更加直接，也更“数学化”，但可能不如“单调有界”那样直观。不过，它恰恰说明了为何 $ln(1+x) < x$ 的放缩如此有效——它直接关联到了一个已知的收敛级数。
总而言之，证明 $a_n$ 收敛，我们只需要证明它单调递增且有上界。单调性很容易从定义看出来。有界性可以通过对数放缩，并与著名的 $sum frac{1}{k^2}$ 级数进行比较来证明。 $sum frac{1}{k^2}$ 的上界可以通过裂项相消法得到，最终导出了 $a_n$ 的上界。
希望这个详细的解释能够帮到你！
网友意见
由于无穷乘积 的敛散性等同于无穷级数 的敛散性，于是取 我们知道 是收敛的，所以 也是收敛的。
事实上，由此还可以将结论推广为： 在 时收敛，在 时发散，这只需要注意相应级数 的敛散性就够了。
至于求值，只需要注意以下展开式 并将 代入，马上就可得到
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