如何证明：A*=A,则A的特征根为实数？
这道题其实考察的是线性代数中一个非常重要的性质：厄米特矩阵（Hermitian matrix）的特征根都是实数。而你给出的条件 $A^ = A$ 正是厄米特矩阵的定义。我们一步一步来把它讲清楚。
首先，我们要明确一些基本概念：
矩阵 A: 我们处理的是一个方阵，假设它是 $n imes n$ 的复系数矩阵。
A (共轭转置): 这是矩阵 A 的共轭转置。具体来说，如果你先将 A 的所有元素取复共轭，然后再将结果矩阵进行转置，就得到了 A。
特征根 (Eigenvalue): 对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个复数 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，那么 $lambda$ 就称为矩阵 A 的一个特征根（或特征值），$v$ 称为对应的特征向量。
实数: 就是我们平常理解的没有虚部（i 的系数为零）的数。
现在，我们的目标是证明：如果一个矩阵 A 满足 $A^ = A$，那么它的所有特征根都是实数。
我们从定义出发，假设 $lambda$ 是矩阵 A 的一个特征根，对应的特征向量是 $v$。根据特征根和特征向量的定义，我们有：
$$Av = lambda v quad ()$$
其中，$v$ 是一个非零的复系数向量。
接下来，我们要利用 $A^ = A$ 这个条件来“处理”这个等式，并最终提取出 $lambda$ 的实数性质。
第一步：向量与矩阵的内积
在复数向量空间中，我们经常使用向量的内积（也称为点积或标量积）。对于两个复数向量 $x$ 和 $y$，它们的内积通常定义为 $x^ y$。这里的 $x^$ 是 $x$ 的共轭转置（如果 $x$ 是列向量，那么 $x^$ 就是行向量，且每个元素都取了复共轭）。
我们考虑向量 $v$ 与矩阵 $A$ 的乘积 $Av$ 的内积，形式为 $v^ (Av)$。
第二步：利用特征根的定义代入内积
既然我们知道 $Av = lambda v$，我们可以将这个关系代入到 $v^ (Av)$ 中：
$$v^(Av) = v^(lambda v)$$
第三步：提取特征根 $lambda$
根据内积的性质，标量可以从内积中提取出来。所以：
$$v^(lambda v) = lambda (v^ v)$$
注意，这里的 $lambda$ 是一个复数。
现在，我们有了 $v^ (Av) = lambda (v^ v)$。
第四步：利用矩阵的共轭转置性质
我们来考虑另一个形式的内积：$(Av)^ v$。这个形式看起来和我们上面处理的 $v^ (Av)$ 不太一样。让我们看看它有什么特别之处。
首先，根据共轭转置的定义，$(AB)^ = B^ A^$。所以：
$$(Av)^ = v^ A^$$
现在，我们就可以计算 $(Av)^ v$ 了：
$$(Av)^ v = (v^ A^) v$$
第五步：利用 $A^ = A$ 的条件
关键的一步来了！我们被告知 $A^ = A$。所以，我们可以将 $A^$ 替换成 $A$：
$$(v^ A^) v = v^ A v$$
第六步：将内积的结果进行比较
现在我们有两组相等的表达式：
我们最初从 $Av = lambda v$ 推导出的：$v^(Av) = lambda (v^ v)$
我们通过 $(Av)^ v$ 推导出的：$(Av)^ v = v^ A v$
并且我们发现，根据 $A^ = A$，它们是相等的：
$$v^(Av) = v^ A v$$
因此，我们也可以将它们连接起来：
$$lambda (v^ v) = (Av)^ v$$
但是，我们刚才计算 $(Av)^ v$ 的过程中，发现它等于 $v^ A v$。而 $v^ A v$ 又等于 $lambda (v^ v)$。这似乎又绕回去了。
让我们换个角度思考。我们已经计算出：
1. $v^(Av) = lambda (v^ v)$
2. $(Av)^v = v^ A v$
因为 $A^ = A$，所以 $v^ A v = v^ A^ v$。
现在，我们考虑另一个关键的内积：$(Av)^ v$。
根据复向量内积的性质，我们知道对于任意的向量 $x, y$ 和矩阵 $M$，有 $(Mx)^ y = x^ M^ y$。
所以，$(Av)^ v = v^ A^ v$。
既然我们知道 $A^ = A$，那么：
$$(Av)^ v = v^ A v$$
现在，我们回到特征根的定义 $Av = lambda v$。
我们知道 $v^ (Av) = lambda (v^ v)$。
再来看看 $(Av)^ v$ 的含义。
$(Av)^ v = (v^ A^) v$
如果我们利用 $Av = lambda v$ 来处理 $(Av)^ v$ 呢？
$(Av)^ v = (lambda v)^ v = ar{lambda} v^ v$ (因为 $(lambda v)^ = ar{lambda} v^$， $ar{lambda}$ 是 $lambda$ 的复共轭)
所以，我们现在有：
$v^(Av) = lambda (v^ v)$
$(Av)^v = ar{lambda} (v^ v)$
而我们又通过矩阵共轭转置的性质知道：
$v^(Av) = (Av)^ v$ （这是因为对于任何向量 $x, y$ 和矩阵 $M$， $x^(My) = (Mx)^y$ 是通用的性质，我们可以简单地通过 $(x^My)^ = y^ (Mx)^ = y^ x^ M^$ 来检验，但这和我们这里的 $v^(Av)$ 和 $(Av)^v$ 的关系不是直接的。更直接的理解是， $v^(Av)$ 是一个标量，而这个标量的共轭转置是它本身。所以 $v^(Av) = (v^(Av))^ = (Av)^ (v^)^ = (Av)^ v$。）
因此，我们可以得出：
$$lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$$
现在，我们要看 $v^ v$ 是什么。
$v$ 是一个非零向量，假设 $v = egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix}$。
那么 $v^ = egin{pmatrix} ar{v}_1 & ar{v}_2 & dots & ar{v}_n end{pmatrix}$。
$v^ v = egin{pmatrix} ar{v}_1 & ar{v}_2 & dots & ar{v}_n end{pmatrix} egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix} = ar{v}_1 v_1 + ar{v}_2 v_2 + dots + ar{v}_n v_n = |v_1|^2 + |v_2|^2 + dots + |v_n|^2$。
由于 $v$ 是一个非零向量，所以至少有一个分量 $v_i$ 非零。这意味着 $|v_i|^2 > 0$。
因此，$v^ v = |v_1|^2 + |v_2|^2 + dots + |v_n|^2$ 是一个正实数。
既然 $v^ v eq 0$，我们可以安全地将等式 $lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$ 两边同除以 $v^ v$：
$$lambda = ar{lambda}$$
当一个复数等于它的复共轭时，这意味着这个复数的虚部为零。因此，$lambda$ 必须是一个实数。
总结一下整个证明的逻辑链条：
1. 定义特征根和特征向量: 设 $lambda$ 是 $A$ 的特征根， $v$ 是对应的非零特征向量，则 $Av = lambda v$。
2. 构造内积: 考虑内积 $v^(Av)$。
3. 利用特征根定义: 将 $Av = lambda v$ 代入，得到 $v^(Av) = v^(lambda v) = lambda (v^ v)$。
4. 构造另一个内积: 考虑内积 $(Av)^ v$。
5. 利用共轭转置性质: $(Av)^ v = (v^ A^) v$。
6. 利用题目条件: 由于 $A^ = A$，所以 $(v^ A^) v = v^ A v$。
7. 连接两个内积: 关键在于认识到 $v^(Av)$ 是一个标量，所以它等于它的共轭转置。即 $v^(Av) = (v^(Av))^ = (Av)^ (v^)^ = (Av)^ v$。
8. 代入代换:
从步骤 3 得：$v^(Av) = lambda (v^ v)$
从步骤 7 得：$(Av)^ v = v^(Av)$
所以，$(Av)^ v = lambda (v^ v)$
9. 再次利用共轭转置和特征根定义: $(Av)^ v = (v^ A^) v$。又因为 $Av = lambda v$，所以 $(Av)^ = (lambda v)^ = ar{lambda} v^$。代入得：$(Av)^ v = (ar{lambda} v^) v = ar{lambda} (v^ v)$。
10. 得出关键等式: 将步骤 8 和 9 的结果结合，我们得到 $lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$。
11. 分析非零因子: $v$ 是非零向量，所以 $v^ v = sum |v_i|^2 > 0$。
12. 最终推导: 由于 $v^ v eq 0$，我们可以从 $lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$ 中得出 $lambda = ar{lambda}$。
13. 得出结论: 复数等于其共轭，意味着该复数是实数。因此，矩阵 A 的特征根 $lambda$ 是实数。
这个证明过程充分利用了矩阵的共轭转置性质、复向量内积的定义和性质，以及特征根的定义。当矩阵满足 $A^=A$ 时，我们称这样的矩阵为厄米特矩阵 (Hermitian matrix)。而“厄米特矩阵的特征根都是实数”是线性代数中一个非常重要且常用的性质。
你还可以进一步去思考，如果矩阵的元素都是实数，那么 $A^ = A^T$（转置），而实对称矩阵 ($A^T = A$) 的特征根也是实数，这个证明方式是完全一样的，只是在计算共轭转置的时候，复共轭操作变成了恒等操作。
首先，我们要明确一些基本概念：
矩阵 A: 我们处理的是一个方阵，假设它是 $n imes n$ 的复系数矩阵。
A (共轭转置): 这是矩阵 A 的共轭转置。具体来说，如果你先将 A 的所有元素取复共轭，然后再将结果矩阵进行转置，就得到了 A。
特征根 (Eigenvalue): 对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个复数 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，那么 $lambda$ 就称为矩阵 A 的一个特征根（或特征值），$v$ 称为对应的特征向量。
实数: 就是我们平常理解的没有虚部（i 的系数为零）的数。
现在，我们的目标是证明：如果一个矩阵 A 满足 $A^ = A$，那么它的所有特征根都是实数。
我们从定义出发，假设 $lambda$ 是矩阵 A 的一个特征根，对应的特征向量是 $v$。根据特征根和特征向量的定义，我们有：
$$Av = lambda v quad ()$$
其中，$v$ 是一个非零的复系数向量。
接下来，我们要利用 $A^ = A$ 这个条件来“处理”这个等式，并最终提取出 $lambda$ 的实数性质。
第一步：向量与矩阵的内积
在复数向量空间中，我们经常使用向量的内积（也称为点积或标量积）。对于两个复数向量 $x$ 和 $y$，它们的内积通常定义为 $x^ y$。这里的 $x^$ 是 $x$ 的共轭转置（如果 $x$ 是列向量，那么 $x^$ 就是行向量，且每个元素都取了复共轭）。
我们考虑向量 $v$ 与矩阵 $A$ 的乘积 $Av$ 的内积，形式为 $v^ (Av)$。
第二步：利用特征根的定义代入内积
既然我们知道 $Av = lambda v$，我们可以将这个关系代入到 $v^ (Av)$ 中：
$$v^(Av) = v^(lambda v)$$
第三步：提取特征根 $lambda$
根据内积的性质，标量可以从内积中提取出来。所以：
$$v^(lambda v) = lambda (v^ v)$$
注意，这里的 $lambda$ 是一个复数。
现在，我们有了 $v^ (Av) = lambda (v^ v)$。
第四步：利用矩阵的共轭转置性质
我们来考虑另一个形式的内积：$(Av)^ v$。这个形式看起来和我们上面处理的 $v^ (Av)$ 不太一样。让我们看看它有什么特别之处。
首先，根据共轭转置的定义，$(AB)^ = B^ A^$。所以：
$$(Av)^ = v^ A^$$
现在，我们就可以计算 $(Av)^ v$ 了：
$$(Av)^ v = (v^ A^) v$$
第五步：利用 $A^ = A$ 的条件
关键的一步来了！我们被告知 $A^ = A$。所以，我们可以将 $A^$ 替换成 $A$：
$$(v^ A^) v = v^ A v$$
第六步：将内积的结果进行比较
现在我们有两组相等的表达式：
我们最初从 $Av = lambda v$ 推导出的：$v^(Av) = lambda (v^ v)$
我们通过 $(Av)^ v$ 推导出的：$(Av)^ v = v^ A v$
并且我们发现，根据 $A^ = A$，它们是相等的：
$$v^(Av) = v^ A v$$
因此，我们也可以将它们连接起来：
$$lambda (v^ v) = (Av)^ v$$
但是，我们刚才计算 $(Av)^ v$ 的过程中，发现它等于 $v^ A v$。而 $v^ A v$ 又等于 $lambda (v^ v)$。这似乎又绕回去了。
让我们换个角度思考。我们已经计算出：
1. $v^(Av) = lambda (v^ v)$
2. $(Av)^v = v^ A v$
因为 $A^ = A$，所以 $v^ A v = v^ A^ v$。
现在，我们考虑另一个关键的内积：$(Av)^ v$。
根据复向量内积的性质，我们知道对于任意的向量 $x, y$ 和矩阵 $M$，有 $(Mx)^ y = x^ M^ y$。
所以，$(Av)^ v = v^ A^ v$。
既然我们知道 $A^ = A$，那么：
$$(Av)^ v = v^ A v$$
现在，我们回到特征根的定义 $Av = lambda v$。
我们知道 $v^ (Av) = lambda (v^ v)$。
再来看看 $(Av)^ v$ 的含义。
$(Av)^ v = (v^ A^) v$
如果我们利用 $Av = lambda v$ 来处理 $(Av)^ v$ 呢？
$(Av)^ v = (lambda v)^ v = ar{lambda} v^ v$ (因为 $(lambda v)^ = ar{lambda} v^$， $ar{lambda}$ 是 $lambda$ 的复共轭)
所以，我们现在有：
$v^(Av) = lambda (v^ v)$
$(Av)^v = ar{lambda} (v^ v)$
而我们又通过矩阵共轭转置的性质知道：
$v^(Av) = (Av)^ v$ （这是因为对于任何向量 $x, y$ 和矩阵 $M$， $x^(My) = (Mx)^y$ 是通用的性质，我们可以简单地通过 $(x^My)^ = y^ (Mx)^ = y^ x^ M^$ 来检验，但这和我们这里的 $v^(Av)$ 和 $(Av)^v$ 的关系不是直接的。更直接的理解是， $v^(Av)$ 是一个标量，而这个标量的共轭转置是它本身。所以 $v^(Av) = (v^(Av))^ = (Av)^ (v^)^ = (Av)^ v$。）
因此，我们可以得出：
$$lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$$
现在，我们要看 $v^ v$ 是什么。
$v$ 是一个非零向量，假设 $v = egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix}$。
那么 $v^ = egin{pmatrix} ar{v}_1 & ar{v}_2 & dots & ar{v}_n end{pmatrix}$。
$v^ v = egin{pmatrix} ar{v}_1 & ar{v}_2 & dots & ar{v}_n end{pmatrix} egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix} = ar{v}_1 v_1 + ar{v}_2 v_2 + dots + ar{v}_n v_n = |v_1|^2 + |v_2|^2 + dots + |v_n|^2$。
由于 $v$ 是一个非零向量，所以至少有一个分量 $v_i$ 非零。这意味着 $|v_i|^2 > 0$。
因此，$v^ v = |v_1|^2 + |v_2|^2 + dots + |v_n|^2$ 是一个正实数。
既然 $v^ v eq 0$，我们可以安全地将等式 $lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$ 两边同除以 $v^ v$：
$$lambda = ar{lambda}$$
当一个复数等于它的复共轭时，这意味着这个复数的虚部为零。因此，$lambda$ 必须是一个实数。
总结一下整个证明的逻辑链条：
1. 定义特征根和特征向量: 设 $lambda$ 是 $A$ 的特征根， $v$ 是对应的非零特征向量，则 $Av = lambda v$。
2. 构造内积: 考虑内积 $v^(Av)$。
3. 利用特征根定义: 将 $Av = lambda v$ 代入，得到 $v^(Av) = v^(lambda v) = lambda (v^ v)$。
4. 构造另一个内积: 考虑内积 $(Av)^ v$。
5. 利用共轭转置性质: $(Av)^ v = (v^ A^) v$。
6. 利用题目条件: 由于 $A^ = A$，所以 $(v^ A^) v = v^ A v$。
7. 连接两个内积: 关键在于认识到 $v^(Av)$ 是一个标量，所以它等于它的共轭转置。即 $v^(Av) = (v^(Av))^ = (Av)^ (v^)^ = (Av)^ v$。
8. 代入代换:
从步骤 3 得：$v^(Av) = lambda (v^ v)$
从步骤 7 得：$(Av)^ v = v^(Av)$
所以，$(Av)^ v = lambda (v^ v)$
9. 再次利用共轭转置和特征根定义: $(Av)^ v = (v^ A^) v$。又因为 $Av = lambda v$，所以 $(Av)^ = (lambda v)^ = ar{lambda} v^$。代入得：$(Av)^ v = (ar{lambda} v^) v = ar{lambda} (v^ v)$。
10. 得出关键等式: 将步骤 8 和 9 的结果结合，我们得到 $lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$。
11. 分析非零因子: $v$ 是非零向量，所以 $v^ v = sum |v_i|^2 > 0$。
12. 最终推导: 由于 $v^ v eq 0$，我们可以从 $lambda (v^ v) = ar{lambda} (v^ v)$ 中得出 $lambda = ar{lambda}$。
13. 得出结论: 复数等于其共轭，意味着该复数是实数。因此，矩阵 A 的特征根 $lambda$ 是实数。
这个证明过程充分利用了矩阵的共轭转置性质、复向量内积的定义和性质，以及特征根的定义。当矩阵满足 $A^=A$ 时，我们称这样的矩阵为厄米特矩阵 (Hermitian matrix)。而“厄米特矩阵的特征根都是实数”是线性代数中一个非常重要且常用的性质。
你还可以进一步去思考，如果矩阵的元素都是实数，那么 $A^ = A^T$（转置），而实对称矩阵 ($A^T = A$) 的特征根也是实数，这个证明方式是完全一样的，只是在计算共轭转置的时候，复共轭操作变成了恒等操作。
网友意见
推销done right了~
话说高代课本的正文上应该都有写这些吧。。。
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