n阶矩阵A=（cos(αi−βj)）n，如何证det（A）=0？n,如何证明det(A)=0?

好的，我们来详细探讨一下这个n阶矩阵 $A = (cos(alpha_i eta_j))$ 的行列式为何为零。我会用一种比较直观的方式来讲解，尽量避免生硬的数学推导，让它读起来更像是一个思考过程。

首先，我们先来看看这个矩阵 $A$ 的结构。矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $cos(alpha_i eta_j)$。其中 $alpha_i$ 和 $eta_j$ 都是角度，而且对于矩阵的每一行，$alpha_i$ 是固定的，对于每一列，$eta_j$ 也是固定的。简单来说，就是行索引决定了一个角度 $alpha$，列索引决定了另一个角度 $eta$。

我们知道一个重要的三角函数恒等式：
$$ cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y $$

把这个恒等式应用到我们的矩阵 $A$ 上，我们就可以把矩阵的每一个元素表示成两部分的和：
$$ A_{ij} = cos(alpha_i eta_j) = cos alpha_i cos eta_j + sin alpha_i sin eta_j $$

现在，我们来把矩阵 $A$ 写出来，看看它具体是什么样子。假设 $n=3$ 来举个例子，这样更方便理解：

$$
A = egin{pmatrix}
cos(alpha_1 eta_1) & cos(alpha_1 eta_2) & cos(alpha_1 eta_3) \
cos(alpha_2 eta_1) & cos(alpha_2 eta_2) & cos(alpha_2 eta_3) \
cos(alpha_3 eta_1) & cos(alpha_3 eta_2) & cos(alpha_3 eta_3)
end{pmatrix}
$$

应用上面的恒等式，我们可以把矩阵的每一项展开：

$$
A = egin{pmatrix}
cos alpha_1 cos eta_1 + sin alpha_1 sin eta_1 & cos alpha_1 cos eta_2 + sin alpha_1 sin eta_2 & cos alpha_1 cos eta_3 + sin alpha_1 sin eta_3 \
cos alpha_2 cos eta_1 + sin alpha_2 sin eta_1 & cos alpha_2 cos eta_2 + sin alpha_2 sin eta_2 & cos alpha_2 cos eta_3 + sin alpha_2 sin eta_3 \
cos alpha_3 cos eta_1 + sin alpha_3 sin eta_1 & cos alpha_3 cos eta_2 + sin alpha_3 sin eta_2 & cos alpha_3 cos eta_3 + sin alpha_3 sin eta_3
end{pmatrix}
$$

看到这里，你可能会觉得这似乎还是挺复杂的。但是，我们可以把这个矩阵看作是两个矩阵的和。让我们定义两个新的矩阵 $B$ 和 $C$：

矩阵 $B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列是 $cos alpha_i cos eta_j$。
矩阵 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列是 $sin alpha_i sin eta_j$。

那么，矩阵 $A$ 就可以写成 $A = B + C$。

我们再仔细看看矩阵 $B$ 和 $C$ 的结构。
矩阵 $B$ 可以写成这样的形式：

$$
B = egin{pmatrix}
cos alpha_1 \
cos alpha_2 \
vdots \
cos alpha_n
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
cos eta_1 & cos eta_2 & cdots & cos eta_n
end{pmatrix}
$$

也就是说，矩阵 $B$ 是一个“外积”的结果。它是一个 $n imes 1$ 的列向量和一个 $1 imes n$ 的行向量相乘得到的。
一个外积形成的矩阵，它的秩（rank）是多少呢？秩代表着这个矩阵的行（或列）向量空间的最大线性无关组的维数。当两个向量进行外积时，生成的矩阵的秩最多是1。为什么呢？因为所有的行向量都是第一个行向量的常数倍，或者说所有的列向量都是第一个列向量的常数倍。

同样地，矩阵 $C$ 也可以写成：

$$
C = egin{pmatrix}
sin alpha_1 \
sin alpha_2 \
vdots \
sin alpha_n
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
sin eta_1 & sin eta_2 & cdots & sin eta_n
end{pmatrix}
$$

矩阵 $C$ 也是一个外积形成的矩阵，所以它的秩也最多是1。

现在我们有 $A = B + C$。
我们知道，两个秩为 $r_1$ 和 $r_2$ 的矩阵相加，它们的和的秩最多是 $r_1 + r_2$。
在这里，矩阵 $B$ 的秩最多是 1，矩阵 $C$ 的秩最多是 1。所以，矩阵 $A$ 的秩最多是 $1 + 1 = 2$。

这很重要！矩阵 $A$ 的秩最多是 2。

那么，什么情况下一个 $n imes n$ 的矩阵的行列式会是零呢？
一个 $n imes n$ 的矩阵的行列式为零，当且仅当它的秩小于 $n$。

对于我们的矩阵 $A$，它的秩最多是 2。
所以，只要 $n > 2$，那么矩阵 $A$ 的秩（最多为 2）就必然小于 $n$。
因此，当 $n > 2$ 时，我们可以断定 $det(A) = 0$。

我们再回过头来想想，为什么秩为 2 就意味着行列式为零呢？
秩代表着矩阵的行向量（或者列向量）可以张成的向量空间的维度。如果一个 $n imes n$ 的矩阵的秩是 $k < n$，这意味着它的 $n$ 个行向量（或者列向量）是线性相关的。

打个更形象的比方。想象一下，矩阵的每一行代表着在三维空间中的一个点的坐标。如果矩阵的秩是 1，那么所有这些点都落在同一条直线上（因为所有的行向量都是第一个行向量的倍数）。如果秩是 2，那么所有这些点都落在同一个平面上（因为任何一行都可以表示为前两行的线性组合）。如果秩是 $n$，那么这 $n$ 个向量才能“撑满”整个 $n$ 维空间，它们之间是完全独立的。

我们的矩阵 $A$ 的每一行都可以看作是下面这样形式的向量：
$$ ext{第 } i ext{ 行} = (cos alpha_i cos eta_1 + sin alpha_i sin eta_1, cos alpha_i cos eta_2 + sin alpha_i sin eta_2, dots, cos alpha_i cos eta_n + sin alpha_i sin eta_n) $$
我们可以把这一行写成两个向量的点积的形式：
$$ ext{第 } i ext{ 行} = cos alpha_i (cos eta_1, cos eta_2, dots, cos eta_n) + sin alpha_i (sin eta_1, sin eta_2, dots, sin eta_n) $$
把 $(cos eta_1, cos eta_2, dots, cos eta_n)$ 记作向量 $u$，把 $(sin eta_1, sin eta_2, dots, sin eta_n)$ 记作向量 $v$。
那么，矩阵 $A$ 的每一行都可以写成 $cos alpha_i cdot u + sin alpha_i cdot v$ 的形式。

这意味着，矩阵 $A$ 的所有行向量都位于由向量 $u$ 和向量 $v$ 所张成的向量空间中。这个向量空间的最大维度就是 2（除非 $u$ 和 $v$ 是平行向量，那样维度就是 1）。

所以，矩阵 $A$ 的行空间（所有行向量组成的子空间）的维度最多是 2。矩阵的秩就是其行空间的维度。
因此，矩阵 $A$ 的秩最多为 2。

当 $n > 2$ 时，因为矩阵 $A$ 的秩（最多为 2）小于 $n$，所以矩阵是奇异的，它的行列式 $det(A)$ 必须为零。

那对于 $n=1$ 和 $n=2$ 的情况呢？

n=1:
矩阵 $A$ 是一个 $1 imes 1$ 的矩阵，只有一个元素：$A = (cos(alpha_1 eta_1))$。
其行列式就是 $cos(alpha_1 eta_1)$。这个值不一定为零，取决于 $alpha_1$ 和 $eta_1$ 的具体值。所以，对于 $n=1$， $det(A)$ 不一定为零。

n=2:
矩阵 $A$ 是一个 $2 imes 2$ 的矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
cos(alpha_1 eta_1) & cos(alpha_1 eta_2) \
cos(alpha_2 eta_1) & cos(alpha_2 eta_2)
end{pmatrix}
$$
根据上面的分析，矩阵 $A$ 的秩最多为 2。当 $n=2$ 时，秩小于 $n$ 的条件是秩小于 2，也就是秩为 0 或 1。
如果 $alpha_1, alpha_2$ 和 $eta_1, eta_2$ 的取值使得矩阵的秩小于 2，那么行列式就为零。
秩为 0 意味着所有元素都是零，显然不可能。
秩为 1 意味着所有行（或列）向量都是线性相关的。我们的行向量是 $cos alpha_i cdot u + sin alpha_i cdot v$。当 $n=2$ 时，我们有两个行向量：
$R_1 = cos alpha_1 cdot u + sin alpha_1 cdot v$
$R_2 = cos alpha_2 cdot u + sin alpha_2 cdot v$
如果向量 $u$ 和 $v$ 是线性相关的（例如 $v = ku$），或者 $alpha_1, alpha_2$ 和 $eta_1, eta_2$ 的取值使得这两个行向量成比例，那么矩阵的秩就小于 2，行列式就为零。

我们也可以直接计算 $n=2$ 的行列式：
$det(A) = cos(alpha_1 eta_1) cos(alpha_2 eta_2) cos(alpha_1 eta_2) cos(alpha_2 eta_1)$
使用 $cos(xy) = cos x cos y + sin x sin y$ 展开：
$det(A) = (cos alpha_1 cos eta_1 + sin alpha_1 sin eta_1)(cos alpha_2 cos eta_2 + sin alpha_2 sin eta_2) (cos alpha_1 cos eta_2 + sin alpha_1 sin eta_2)(cos alpha_2 cos eta_1 + sin alpha_2 sin eta_1)$

展开后会发现很多项会抵消。我们换个角度思考。
将 $A$ 写成 $B+C$ 的形式：
$$
B = egin{pmatrix}
cos alpha_1 cos eta_1 & cos alpha_1 cos eta_2 \
cos alpha_2 cos eta_1 & cos alpha_2 cos eta_2
end{pmatrix} = egin{pmatrix} cos alpha_1 \ cos alpha_2 end{pmatrix} egin{pmatrix} cos eta_1 & cos eta_2 end{pmatrix}
$$
$$
C = egin{pmatrix}
sin alpha_1 sin eta_1 & sin alpha_1 sin eta_2 \
sin alpha_2 sin eta_1 & sin alpha_2 sin eta_2
end{pmatrix} = egin{pmatrix} sin alpha_1 \ sin alpha_2 end{pmatrix} egin{pmatrix} sin eta_1 & sin eta_2 end{pmatrix}
$$
矩阵 $B$ 的秩最多为 1，矩阵 $C$ 的秩最多为 1。它们的和 $A$ 的秩最多为 2。
对于 $n=2$ 的矩阵，秩小于 2 就意味着行列式为零。
所以，当 $n=2$ 时，行列式不一定为零，它只在某些特定条件下（例如 $u$ 和 $v$ 成比例，或者 $alpha_i$ 和 $eta_j$ 的选择导致行向量线性相关）才为零。

我们再用复数来巧妙地处理 $n=2$ 的情况。
考虑复数 $e^{i heta} = cos heta + i sin heta$。
矩阵 $A$ 的元素是 $cos(alpha_i eta_j)$。
我们知道 $cos x = ext{Re}(e^{ix})$。
所以 $A_{ij} = ext{Re}(e^{i(alpha_i eta_j)}) = ext{Re}(e^{ialpha_i} e^{ieta_j})$。

令 $x_i = e^{ialpha_i}$ 和 $y_j = e^{ieta_j}$。
那么 $A_{ij} = ext{Re}(x_i y_j)$。
矩阵 $A$ 可以写成 $A = ( ext{Re}(x_i y_j))$。

现在我们考虑一个更一般的矩阵 $M = (x_i y_j)$。这是一个外积形成的矩阵，其秩为 1。
$M = egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{pmatrix} egin{pmatrix} y_1 & y_2 & cdots & y_n end{pmatrix}$。
如果 $n > 1$, $M$ 的秩为 1。

矩阵 $A$ 的元素是实部。
$A_{ij} = ext{Re}(x_i) ext{Re}(y_j) + ext{Im}(x_i) ext{Im}(y_j)$
$ ext{Re}(x_i) = cos alpha_i$, $ ext{Im}(x_i) = sin alpha_i$
$ ext{Re}(y_j) = cos (eta_j) = cos eta_j$, $ ext{Im}(y_j) = sin (eta_j) = sin eta_j$

所以 $A_{ij} = cos alpha_i cos eta_j + sin alpha_i (sin eta_j) = cos alpha_i cos eta_j sin alpha_i sin eta_j$
等等，这里我用错了复数。
我们正确的展开是：
$A_{ij} = cos(alpha_i eta_j) = ext{Re}(e^{i(alpha_i eta_j)}) = ext{Re}(e^{ialpha_i} e^{ieta_j})$
令 $u_i = e^{ialpha_i}$ 和 $v_j = e^{ieta_j}$。那么 $A_{ij} = ext{Re}(u_i v_j)$。

矩阵 $A$ 的每一行 $i$ 可以表示为：
第 $i$ 行是 $( ext{Re}(u_i v_1), ext{Re}(u_i v_2), dots, ext{Re}(u_i v_n))$。
如果我们把 $u_i$ 看作一个“向量”，$v_j$ 看作一个“向量”，那么 $A$ 的元素是它们组合的实部。

让我们回到 $A = B + C$ 的形式，这更直观。
$A_{ij} = cos alpha_i cos eta_j + sin alpha_i sin eta_j$
$A = (cos alpha_i cos eta_j) + (sin alpha_i sin eta_j)$
$A = ( ext{col}(cos alpha_i) cdot ext{row}(cos eta_j)) + ( ext{col}(sin alpha_i) cdot ext{row}(sin eta_j))$
这里的 $cdot$ 表示外积。
这是一个秩为 1 的矩阵加上另一个秩为 1 的矩阵。

当 $n > 2$ 时，秩至多为 2，小于 $n$，所以行列式为零。

对于 $n=2$，这个矩阵的秩是至多 2。它的行列式为零的条件是它的秩小于 2。
秩小于 2 意味着两个行向量是线性相关的。
设 $r_1 = (cos alpha_1, cos alpha_2)$ 和 $r_2 = (cos eta_1, cos eta_2)$。
设 $c_1 = (sin alpha_1, sin alpha_2)$ 和 $c_2 = (sin eta_1, sin eta_2)$。
矩阵 $A$ 的行向量是：
$R_1 = cos alpha_1 cdot r_2 + sin alpha_1 cdot c_2$
$R_2 = cos alpha_2 cdot r_2 + sin alpha_2 cdot c_2$

如果 $r_2$ 和 $c_2$ 是线性相关的（例如，它们共线），那么 $R_1$ 和 $R_2$ 就都落在这个共线方向上，秩就小于 2。这发生在 $(cos eta_1, cos eta_2)$ 和 $(sin eta_1, sin eta_2)$ 共线时，这只有当 $eta_1$ 和 $eta_2$ 的差是 $pi$ 的整数倍时才可能，但那通常意味着 $cos eta_1 = pm cos eta_2$ 和 $sin eta_1 = mp sin eta_2$ 。
更直接的是，如果 $eta_1 = eta_2 + kpi$，那么 $cos eta_1 = pm cos eta_2$ 且 $sin eta_1 = mp sin eta_2$。

另一种情况是，即使 $r_2$ 和 $c_2$ 不共线，但 $R_1$ 和 $R_2$ 仍然可能线性相关。这会发生在 $(cos alpha_1, sin alpha_1)$ 和 $(cos alpha_2, sin alpha_2)$ 这两个向量共线的时候。这又发生在 $alpha_1 alpha_2$ 是 $pi$ 的整数倍的时候。

所以，在 $n=2$ 的情况下，行列式不一定为零，只有在 $alpha_i$ 或 $eta_j$ 的选择满足特定条件时才为零。

总结一下，核心论证是：
1. 利用 $cos(xy) = cos x cos y + sin x sin y$ 将矩阵元素分解。
2. 将矩阵 $A$ 表示为两个秩最多为 1 的矩阵 $B$ 和 $C$ 的和，即 $A = B + C$。
$B_{ij} = cos alpha_i cos eta_j = (cos alpha_i)(cos eta_j)$
$C_{ij} = sin alpha_i sin eta_j = (sin alpha_i)(sin eta_j)$
3. 矩阵 $B$ 可以写成列向量 $(cos alpha_1, dots, cos alpha_n)^T$ 和行向量 $(cos eta_1, dots, cos eta_n)$ 的外积。因此，$ ext{rank}(B) le 1$。
4. 矩阵 $C$ 可以写成列向量 $(sin alpha_1, dots, sin alpha_n)^T$ 和行向量 $(sin eta_1, dots, sin eta_n)$ 的外积。因此，$ ext{rank}(C) le 1$。
5. 根据矩阵秩的性质，$ ext{rank}(A) = ext{rank}(B+C) le ext{rank}(B) + ext{rank}(C) le 1 + 1 = 2$。
6. 一个 $n imes n$ 的矩阵，如果它的秩小于 $n$，那么它的行列式为零。
7. 当 $n > 2$ 时，因为 $ ext{rank}(A) le 2 < n$，所以 $det(A) = 0$。

对于 $n=1$ 和 $n=2$，这个结论不成立。我一开始的推导就侧重于 $n>2$ 的情况，这是题目的重点。

这个证明思路非常简洁，而且利用了三角函数的性质和矩阵秩的理论，层层递进，最终得出了结论。希望这样的讲解方式能够让你觉得自然和清晰。

设

利用和差公式

可以将 分解如下：

由于 的行数 列数 ，根据 公式，有