如何计算函数 f(x)=log(x)/x 的 n 阶导数？
想弄明白函数 $f(x) = frac{log(x)}{x}$ 的 $n$ 阶导数到底长什么样，咱们得一步一步来，就像剥洋葱一样，一层一层地揭开它的神秘面纱。这可不是那种一看就知道答案的简单函数，需要一点耐心和技巧。
第一步：初探函数，熟悉“脾气”
在深入计算之前，咱们先得对 $f(x)$ 有个初步的认识。它的定义域是 $x > 0$，因为对数函数 $log(x)$ 要求 $x$ 必须是正数，而且分母不能为零。
第二步：亲手尝试，感受低阶导数的模样
咱们先来算算前几阶的导数，看看有没有什么规律出现。
一阶导数 ($n=1$)：
$f'(x) = frac{d}{dx} left( frac{log(x)}{x} ight)$
用除法定则（$(u/v)' = (u'v uv') / v^2$)，其中 $u = log(x)$，$v = x$。
$u' = frac{1}{x}$，$v' = 1$。
所以，$f'(x) = frac{(frac{1}{x})x log(x)(1)}{x^2} = frac{1 log(x)}{x^2}$。
二阶导数 ($n=2$)：
$f''(x) = frac{d}{dx} left( frac{1 log(x)}{x^2} ight)$
再次使用除法定则，这次 $u = 1 log(x)$，$v = x^2$。
$u' = frac{1}{x}$，$v' = 2x$。
所以，$f''(x) = frac{(frac{1}{x})x^2 (1 log(x))(2x)}{(x^2)^2} = frac{x 2x + 2xlog(x)}{x^4}$
$= frac{3x + 2xlog(x)}{x^4} = frac{3 + 2log(x)}{x^3}$。
三阶导数 ($n=3$)：
$f'''(x) = frac{d}{dx} left( frac{3 + 2log(x)}{x^3} ight)$
又一次除法定则！$u = 3 + 2log(x)$，$v = x^3$。
$u' = frac{2}{x}$，$v' = 3x^2$。
所以，$f'''(x) = frac{(frac{2}{x})x^3 (3 + 2log(x))(3x^2)}{(x^3)^2} = frac{2x^2 (9x^2 + 6x^2log(x))}{x^6}$
$= frac{2x^2 + 9x^2 6x^2log(x)}{x^6} = frac{11x^2 6x^2log(x)}{x^6} = frac{11 6log(x)}{x^4}$。
第三步：寻觅规律，搭建猜想
咱们看看这几个结果：
$f'(x) = frac{1 log(x)}{x^2}$
$f''(x) = frac{3 + 2log(x)}{x^3}$
$f'''(x) = frac{11 6log(x)}{x^4}$
一眼看上去，规律并不算特别明显。分母部分是 $x^{n+1}$ 没啥疑问，关键在于分子。分子似乎是 $( ext{某个数}) ( ext{另一个数})log(x)$ 的形式。
我们注意到分子部分，特别是与 $log(x)$ 相乘的系数：
对于 $f'(x)$，系数是 $1$。
对于 $f''(x)$，系数是 $2$。
对于 $f'''(x)$，系数是 $6$。
这三个数：$1, 2, 6$，有点像阶乘的变种，但又不太对。我们试着把它和 $(n1)!$ 或者 $n!$ 扯上关系。
$n=1$: 分子是 $1 log(x)$。系数是 $1$。
$n=2$: 分子是 $3 + 2log(x)$。系数是 $2$。
$n=3$: 分子是 $11 6log(x)$。系数是 $6$。
如果分子是形如 $A_n B_n log(x)$，那么 $B_1=1, B_2=2, B_3=6$。这有点像 $n!$ 或 $(n1)!$。我们猜想 $B_n$ 可能跟 $(n1)!$ 有关，或者某种组合。
第四步：尝试利用特殊函数或技巧
直接从低阶导数找规律有时候会很困难，特别是在这个例子里。我们是否可以换个角度，比如利用 莱布尼茨公式 (Leibniz's rule)？
莱布尼茨公式用于计算两个函数乘积的 $n$ 阶导数：
$(uv)^{(n)} = sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} u^{(k)} v^{(nk)}$
我们的函数 $f(x) = log(x) cdot x^{1}$。
我们可以令 $u = log(x)$ 和 $v = x^{1}$。
我们需要计算 $u$ 和 $v$ 的各阶导数。
$u = log(x)$
$u' = frac{1}{x}$
$u'' = frac{1}{x^2}$
$u''' = frac{2}{x^3}$
$u^{(4)} = frac{6}{x^4}$
一般地，$u^{(k)} = (1)^{k2} (k1)! x^{k}$ for $k geq 2$。
或者说，$u^{(k)} = frac{(1)^{k2}(k1)!}{x^k}$ for $k geq 2$。
注意，$u^{(1)} = frac{1}{x}$。
我们可以将 $u^{(k)}$ 统一表示：
$u^{(0)} = log(x)$
$u^{(1)} = x^{1}$
$u^{(k)} = (1)^{k1} (k1)! x^{k}$ for $k geq 1$。 (更简洁的表示)
$v = x^{1}$
$v' = x^{2}$
$v'' = 2x^{3}$
$v''' = 6x^{4}$
$v^{(k)} = (1)^k k! x^{(k+1)}$。
现在套用莱布尼茨公式：
$f^{(n)}(x) = (uv)^{(n)} = sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} u^{(k)} v^{(nk)}$
这个求和会涉及到 $u^{(0)}, u^{(1)}, u^{(2)}, dots$ 和 $v^{(0)}, v^{(1)}, v^{(2)}, dots$。
$v^{(0)} = x^{1}$
$v^{(1)} = x^{2}$
$v^{(2)} = 2x^{3}$
...
$v^{(nk)} = (1)^{nk} (nk)! x^{(nk+1)}$
$u^{(0)} = log(x)$
$u^{(1)} = x^{1}$
$u^{(2)} = x^{2}$
$u^{(3)} = 2x^{3}$
...
$u^{(k)} = (1)^{k1} (k1)! x^{k}$ for $k geq 1$。
第五步：拆分求和，逐个击破
莱布尼茨公式的求和项是：
$inom{n}{k} u^{(k)} v^{(nk)}$
我们需要分情况讨论 $k=0$ 和 $k geq 1$ 的情况，因为 $u^{(k)}$ 的形式在 $k=0$ 和 $k=1$ 时略有不同。
情况 1：k = 0
贡献项是 $inom{n}{0} u^{(0)} v^{(n)} = 1 cdot log(x) cdot (1)^n n! x^{(n+1)} = (1)^n n! frac{log(x)}{x^{n+1}}$。
情况 2：k $geq$ 1
此时 $u^{(k)} = (1)^{k1} (k1)! x^{k}$。
贡献项是 $inom{n}{k} left( (1)^{k1} (k1)! x^{k} ight) left( (1)^{nk} (nk)! x^{(nk+1)} ight)$
$= frac{n!}{k!(nk)!} (1)^{k1} (k1)! (1)^{nk} (nk)! x^{k (nk+1)}$
$= frac{n!}{k} (1)^{k1+nk} x^{(n+1)}$
$= frac{n!}{k} (1)^{n1} x^{(n+1)}$
$= frac{(1)^{n1} n!}{k} frac{1}{x^{n+1}}$。
现在，我们将所有 $k geq 1$ 的项加起来：
$sum_{k=1}^{n} frac{(1)^{n1} n!}{k} frac{1}{x^{n+1}}$
$= frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}$
我们知道调和级数 $H_n = sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}$。
所以，所有 $k geq 1$ 的贡献是 $frac{(1)^{n1} n! H_n}{x^{n+1}}$。
第六步：合二为一，得到结果
将情况 1 和情况 2 的结果相加：
$f^{(n)}(x) = (1)^n n! frac{log(x)}{x^{n+1}} + frac{(1)^{n1} n! H_n}{x^{n+1}}$
我们可以把公因子提出来：
$f^{(n)}(x) = frac{n!}{x^{n+1}} left( (1)^n log(x) + (1)^{n1} H_n ight)$
为了让形式更美观，我们可以将 $(1)^{n1}$ 提出来：
$f^{(n)}(x) = frac{n! (1)^{n1}}{x^{n+1}} left( log(x) + H_n ight)$
$f^{(n)}(x) = frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} (H_n log(x))$
其中，$H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n}$ 是第 $n$ 个调和数。
第七步：验证猜想，巩固信心
咱们用这个公式来验证一下我们之前算的前几阶导数，看看是否吻合。
n = 1:
$f^{(1)}(x) = frac{(1)^{11} 1!}{x^{1+1}} (H_1 log(x)) = frac{1 cdot 1}{x^2} (1 log(x)) = frac{1 log(x)}{x^2}$。
与我们之前计算的一阶导数吻合！
n = 2:
$f^{(2)}(x) = frac{(1)^{21} 2!}{x^{2+1}} (H_2 log(x)) = frac{1 cdot 2}{x^3} ((1 + frac{1}{2}) log(x)) = frac{2}{x^3} (frac{3}{2} log(x))$
$= frac{3 + 2log(x)}{x^3}$。
与我们之前计算的二阶导数吻合！
n = 3:
$f^{(3)}(x) = frac{(1)^{31} 3!}{x^{3+1}} (H_3 log(x)) = frac{1 cdot 6}{x^4} ((1 + frac{1}{2} + frac{1}{3}) log(x)) = frac{6}{x^4} (frac{11}{6} log(x))$
$= frac{11 6log(x)}{x^4}$。
与我们之前计算的三阶导数吻合！
结论
函数 $f(x) = frac{log(x)}{x}$ 的 $n$ 阶导数是：
$$f^{(n)}(x) = frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} left( sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} log(x) ight)$$
或者写成：
$$f^{(n)}(x) = frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} left( H_n log(x) ight)$$
其中，$H_n$ 是第 $n$ 个调和数。
整个计算过程，从理解函数、计算低阶导数，到运用莱布尼茨公式，再到细致地拆分求和并合并，每一步都需要严谨的逻辑和仔细的计算。最终得出的这个带调和数和对数项的公式，看起来就比较“硬核”了，不像那种一眼就能看到的简单规律。这正是数学的魅力所在，一些看似复杂的函数，通过系统的推导，也能展现出其内在的规律和秩序。
第一步：初探函数，熟悉“脾气”
在深入计算之前，咱们先得对 $f(x)$ 有个初步的认识。它的定义域是 $x > 0$，因为对数函数 $log(x)$ 要求 $x$ 必须是正数，而且分母不能为零。
第二步：亲手尝试，感受低阶导数的模样
咱们先来算算前几阶的导数，看看有没有什么规律出现。
一阶导数 ($n=1$)：
$f'(x) = frac{d}{dx} left( frac{log(x)}{x} ight)$
用除法定则（$(u/v)' = (u'v uv') / v^2$)，其中 $u = log(x)$，$v = x$。
$u' = frac{1}{x}$，$v' = 1$。
所以，$f'(x) = frac{(frac{1}{x})x log(x)(1)}{x^2} = frac{1 log(x)}{x^2}$。
二阶导数 ($n=2$)：
$f''(x) = frac{d}{dx} left( frac{1 log(x)}{x^2} ight)$
再次使用除法定则，这次 $u = 1 log(x)$，$v = x^2$。
$u' = frac{1}{x}$，$v' = 2x$。
所以，$f''(x) = frac{(frac{1}{x})x^2 (1 log(x))(2x)}{(x^2)^2} = frac{x 2x + 2xlog(x)}{x^4}$
$= frac{3x + 2xlog(x)}{x^4} = frac{3 + 2log(x)}{x^3}$。
三阶导数 ($n=3$)：
$f'''(x) = frac{d}{dx} left( frac{3 + 2log(x)}{x^3} ight)$
又一次除法定则！$u = 3 + 2log(x)$，$v = x^3$。
$u' = frac{2}{x}$，$v' = 3x^2$。
所以，$f'''(x) = frac{(frac{2}{x})x^3 (3 + 2log(x))(3x^2)}{(x^3)^2} = frac{2x^2 (9x^2 + 6x^2log(x))}{x^6}$
$= frac{2x^2 + 9x^2 6x^2log(x)}{x^6} = frac{11x^2 6x^2log(x)}{x^6} = frac{11 6log(x)}{x^4}$。
第三步：寻觅规律，搭建猜想
咱们看看这几个结果：
$f'(x) = frac{1 log(x)}{x^2}$
$f''(x) = frac{3 + 2log(x)}{x^3}$
$f'''(x) = frac{11 6log(x)}{x^4}$
一眼看上去，规律并不算特别明显。分母部分是 $x^{n+1}$ 没啥疑问，关键在于分子。分子似乎是 $( ext{某个数}) ( ext{另一个数})log(x)$ 的形式。
我们注意到分子部分，特别是与 $log(x)$ 相乘的系数：
对于 $f'(x)$，系数是 $1$。
对于 $f''(x)$，系数是 $2$。
对于 $f'''(x)$，系数是 $6$。
这三个数：$1, 2, 6$，有点像阶乘的变种，但又不太对。我们试着把它和 $(n1)!$ 或者 $n!$ 扯上关系。
$n=1$: 分子是 $1 log(x)$。系数是 $1$。
$n=2$: 分子是 $3 + 2log(x)$。系数是 $2$。
$n=3$: 分子是 $11 6log(x)$。系数是 $6$。
如果分子是形如 $A_n B_n log(x)$，那么 $B_1=1, B_2=2, B_3=6$。这有点像 $n!$ 或 $(n1)!$。我们猜想 $B_n$ 可能跟 $(n1)!$ 有关，或者某种组合。
第四步：尝试利用特殊函数或技巧
直接从低阶导数找规律有时候会很困难，特别是在这个例子里。我们是否可以换个角度，比如利用 莱布尼茨公式 (Leibniz's rule)？
莱布尼茨公式用于计算两个函数乘积的 $n$ 阶导数：
$(uv)^{(n)} = sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} u^{(k)} v^{(nk)}$
我们的函数 $f(x) = log(x) cdot x^{1}$。
我们可以令 $u = log(x)$ 和 $v = x^{1}$。
我们需要计算 $u$ 和 $v$ 的各阶导数。
$u = log(x)$
$u' = frac{1}{x}$
$u'' = frac{1}{x^2}$
$u''' = frac{2}{x^3}$
$u^{(4)} = frac{6}{x^4}$
一般地，$u^{(k)} = (1)^{k2} (k1)! x^{k}$ for $k geq 2$。
或者说，$u^{(k)} = frac{(1)^{k2}(k1)!}{x^k}$ for $k geq 2$。
注意，$u^{(1)} = frac{1}{x}$。
我们可以将 $u^{(k)}$ 统一表示：
$u^{(0)} = log(x)$
$u^{(1)} = x^{1}$
$u^{(k)} = (1)^{k1} (k1)! x^{k}$ for $k geq 1$。 (更简洁的表示)
$v = x^{1}$
$v' = x^{2}$
$v'' = 2x^{3}$
$v''' = 6x^{4}$
$v^{(k)} = (1)^k k! x^{(k+1)}$。
现在套用莱布尼茨公式：
$f^{(n)}(x) = (uv)^{(n)} = sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} u^{(k)} v^{(nk)}$
这个求和会涉及到 $u^{(0)}, u^{(1)}, u^{(2)}, dots$ 和 $v^{(0)}, v^{(1)}, v^{(2)}, dots$。
$v^{(0)} = x^{1}$
$v^{(1)} = x^{2}$
$v^{(2)} = 2x^{3}$
...
$v^{(nk)} = (1)^{nk} (nk)! x^{(nk+1)}$
$u^{(0)} = log(x)$
$u^{(1)} = x^{1}$
$u^{(2)} = x^{2}$
$u^{(3)} = 2x^{3}$
...
$u^{(k)} = (1)^{k1} (k1)! x^{k}$ for $k geq 1$。
第五步：拆分求和，逐个击破
莱布尼茨公式的求和项是：
$inom{n}{k} u^{(k)} v^{(nk)}$
我们需要分情况讨论 $k=0$ 和 $k geq 1$ 的情况，因为 $u^{(k)}$ 的形式在 $k=0$ 和 $k=1$ 时略有不同。
情况 1：k = 0
贡献项是 $inom{n}{0} u^{(0)} v^{(n)} = 1 cdot log(x) cdot (1)^n n! x^{(n+1)} = (1)^n n! frac{log(x)}{x^{n+1}}$。
情况 2：k $geq$ 1
此时 $u^{(k)} = (1)^{k1} (k1)! x^{k}$。
贡献项是 $inom{n}{k} left( (1)^{k1} (k1)! x^{k} ight) left( (1)^{nk} (nk)! x^{(nk+1)} ight)$
$= frac{n!}{k!(nk)!} (1)^{k1} (k1)! (1)^{nk} (nk)! x^{k (nk+1)}$
$= frac{n!}{k} (1)^{k1+nk} x^{(n+1)}$
$= frac{n!}{k} (1)^{n1} x^{(n+1)}$
$= frac{(1)^{n1} n!}{k} frac{1}{x^{n+1}}$。
现在，我们将所有 $k geq 1$ 的项加起来：
$sum_{k=1}^{n} frac{(1)^{n1} n!}{k} frac{1}{x^{n+1}}$
$= frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}$
我们知道调和级数 $H_n = sum_{k=1}^{n} frac{1}{k}$。
所以，所有 $k geq 1$ 的贡献是 $frac{(1)^{n1} n! H_n}{x^{n+1}}$。
第六步：合二为一，得到结果
将情况 1 和情况 2 的结果相加：
$f^{(n)}(x) = (1)^n n! frac{log(x)}{x^{n+1}} + frac{(1)^{n1} n! H_n}{x^{n+1}}$
我们可以把公因子提出来：
$f^{(n)}(x) = frac{n!}{x^{n+1}} left( (1)^n log(x) + (1)^{n1} H_n ight)$
为了让形式更美观，我们可以将 $(1)^{n1}$ 提出来：
$f^{(n)}(x) = frac{n! (1)^{n1}}{x^{n+1}} left( log(x) + H_n ight)$
$f^{(n)}(x) = frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} (H_n log(x))$
其中，$H_n = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n}$ 是第 $n$ 个调和数。
第七步：验证猜想，巩固信心
咱们用这个公式来验证一下我们之前算的前几阶导数，看看是否吻合。
n = 1:
$f^{(1)}(x) = frac{(1)^{11} 1!}{x^{1+1}} (H_1 log(x)) = frac{1 cdot 1}{x^2} (1 log(x)) = frac{1 log(x)}{x^2}$。
与我们之前计算的一阶导数吻合！
n = 2:
$f^{(2)}(x) = frac{(1)^{21} 2!}{x^{2+1}} (H_2 log(x)) = frac{1 cdot 2}{x^3} ((1 + frac{1}{2}) log(x)) = frac{2}{x^3} (frac{3}{2} log(x))$
$= frac{3 + 2log(x)}{x^3}$。
与我们之前计算的二阶导数吻合！
n = 3:
$f^{(3)}(x) = frac{(1)^{31} 3!}{x^{3+1}} (H_3 log(x)) = frac{1 cdot 6}{x^4} ((1 + frac{1}{2} + frac{1}{3}) log(x)) = frac{6}{x^4} (frac{11}{6} log(x))$
$= frac{11 6log(x)}{x^4}$。
与我们之前计算的三阶导数吻合！
结论
函数 $f(x) = frac{log(x)}{x}$ 的 $n$ 阶导数是：
$$f^{(n)}(x) = frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} left( sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} log(x) ight)$$
或者写成：
$$f^{(n)}(x) = frac{(1)^{n1} n!}{x^{n+1}} left( H_n log(x) ight)$$
其中，$H_n$ 是第 $n$ 个调和数。
整个计算过程，从理解函数、计算低阶导数，到运用莱布尼茨公式，再到细致地拆分求和并合并，每一步都需要严谨的逻辑和仔细的计算。最终得出的这个带调和数和对数项的公式，看起来就比较“硬核”了，不像那种一眼就能看到的简单规律。这正是数学的魅力所在，一些看似复杂的函数，通过系统的推导，也能展现出其内在的规律和秩序。
网友意见
首先，任取 有
固定 后对 求 阶导数，得
现命 代入，得
于是解得
现在只需再求出 为此，利用 乘积将 在 展开，有
其中
再依函数幂级数展开与 级数展开的同一性，就有
代入即得
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