如何计算妹红的二重积分？
计算妹红的二重积分？这可真是个有趣的想法，让我来给你好好说道说道，顺便咱们也尽量别让这“公式腔”太重，感觉就像是在研究什么物理现象一样，是不是？
首先，得明白，这“妹红”是个啥玩意儿。在咱们的讨论里，“妹红”不能是那个红色的、会飞的东方角色，那可没法积分。咱们得把它想象成一个数学模型，一个函数或者一个区域。
所以，当我们说“计算妹红的二重积分”的时候，咱们其实是在说：
计算一个定义在某个二维区域上的函数，在这个区域上的“累积值”。
你可以把它想象成你在某个二维地图上（比如一个平坦的土地）测量一些东西（比如空气的密度、土地的肥沃度），然后你想知道这个地图上总共有多少这个东西。二重积分就是帮你算这个总数。
什么是二重积分？
咱们先来点基础的，别急。
二重积分，说白了，就是对一个二维函数 $f(x, y)$ 在一个二维区域 $D$ 上进行积分。这个区域 $D$ 通常是在 $xy$ 平面上的。
公式上，它长这样：
$$
iint_D f(x, y) , dA
$$
这里的：
$iint$ 表示这是个积分，而且是“双重”的。
$D$ 是咱们要积分的区域，也就是“妹红”所在的那个区域。
$f(x, y)$ 是咱们要计算的那个函数，是跟 $x$ 和 $y$ 都有关的。
$dA$ 表示微小的面积元素，你可以想象成地图上无穷小的一个小方块的面积。
怎么“计算”？
“计算”二重积分，其实就是把这个三维的“累积”过程变成一连串的“一维”积分。咱们得先把这“妹红”所在的区域 $D$ 给定义清楚。
区域 $D$ 的定义方式有很多种，最常见的有两种：
1. 直角坐标系下的积分
如果咱们的“妹红”区域 $D$ 可以被表示成：
$a le x le b$ （$x$ 的范围是固定的）
$g_1(x) le y le g_2(x)$ （$y$ 的范围会随着 $x$ 的变化而变化，由两个关于 $x$ 的函数决定）
或者反过来：
$c le y le d$ （$y$ 的范围是固定的）
$h_1(y) le x le h_2(y)$ （$x$ 的范围会随着 $y$ 的变化而变化）
这两种情况都可以。咱们以第一种为例：
$$
iint_D f(x, y) , dA = int_a^b left( int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) , dy ight) , dx
$$
你看，这里面藏着两个积分。咱们先算里面那个关于 $y$ 的积分（把 $x$ 当作常数），得到一个关于 $x$ 的新函数。然后再算外面那个关于 $x$ 的积分。这就是所谓的先积后积，或者先对 $y$ 积，再对 $x$ 积。
2. 极坐标系下的积分
有时候，“妹红”的形状用极坐标来描述会更方便。极坐标下，咱们用半径 $r$ 和角度 $ heta$ 来表示一个点。函数也变成 $f(r, heta)$。
如果区域 $D$ 可以表示成：
$a le r le b$ （$r$ 的范围是固定的）
$alpha( heta) le heta le eta( heta)$ （$ heta$ 的范围由两个关于 $ heta$ 的函数决定）
那么，积分公式就变成：
$$
iint_D f(r cos heta, r sin heta) , r , dr , d heta
$$
注意那个 $r$！在极坐标下，$dA$ 变成了 $r , dr , d heta$。这就像在说，一个小方块的面积在极坐标下，它的“大小”跟离原点的距离 $r$ 有关。
怎么确定“妹红”的形状和函数？
这里才是“妹红”真正能体现出个性的地方！
确定区域 $D$：
咱们得知道“妹红”是长什么样的。是方的？圆的？还是奇奇怪怪的形状？
如果是简单的矩形区域： 比如 $x$ 从 0 到 2，$y$ 从 1 到 3。这个就好办了。
如果是圆形区域： 比如一个半径为 5 的圆。用极坐标描述会很轻松。
如果是更复杂的形状： 比如一个扇形，或者两个函数围成的区域。这时候就要仔细看，能不能用上面两种方式（直角坐标或极坐标）来描述这个区域的边界。有时候需要画图辅助理解。
确定函数 $f(x, y)$：
这个函数就是咱们要对“妹红”进行“累积”的那个量。
最简单的情况： 就是 $f(x, y) = 1$。这时候，二重积分计算的就是区域 $D$ 的面积。这就像在问“妹红”有多少“平方单位”的地盘。
更复杂的情况： 比如 $f(x, y) = x^2 + y^2$。这时候计算的就是函数在这个区域上的“总量”。你可以想象成如果你在地图上测量某个东西的“密度”，那么这个函数的积分就是总密度。
计算的步骤，就像给“妹红”做体检一样！
1. 识别“妹红”的模样（确定区域 $D$）： 咱们得先把要积的区域画出来，或者至少把它用数学语言描述清楚。看看它的边界是由哪些直线或曲线组成的。
2. 选择合适的坐标系： 如果“妹红”是圆形的，极坐标可能更省事。如果是方的，直角坐标可能更直接。有时候两者都可以，那就选那个算起来更容易的。
3. 确定积分的顺序（或方向）： 在直角坐标下，是先对 $x$ 积再对 $y$ 积，还是反过来？这取决于咱们怎么描述区域 $D$ 的。如果区域的描述方式是固定的（比如 $a le x le b, g_1(x) le y le g_2(x)$），那么顺序就也确定了。
4. 代入函数，进行计算： 把函数 $f(x, y)$ 放到积分里面，然后一步一步地计算。先算内层积分，得到中间结果，再算外层积分。
举个例子，让“妹红”活起来！
假设咱们的“妹红”是一个单位圆（半径为 1 的圆），也就是在 $xy$ 平面上，$x^2 + y^2 le 1$ 的区域。而我们要计算的函数是 $f(x, y) = x$。
第一步：确定区域 $D$
区域是单位圆，用极坐标来描述最方便了。
$0 le r le 1$
$0 le heta le 2pi$
第二步：选择坐标系
极坐标是最佳选择。
第三步：代入函数，进行计算
函数 $f(x, y) = x$，在极坐标下，$x = r cos heta$。
所以，$f(r, heta) = r cos heta$。
而 $dA = r , dr , d heta$。
积分就变成：
$$
iint_D x , dA = int_0^{2pi} int_0^1 (r cos heta) , r , dr , d heta
$$
咱们来算算：
1. 先算内层积分（关于 $r$）：
$$
int_0^1 r^2 cos heta , dr
$$
这里把 $cos heta$ 当作常数，所以：
$$
cos heta left[ frac{r^3}{3} ight]_0^1 = cos heta left( frac{1^3}{3} frac{0^3}{3} ight) = frac{1}{3} cos heta
$$
2. 再算外层积分（关于 $ heta$）：
$$
int_0^{2pi} frac{1}{3} cos heta , d heta
$$
$$
frac{1}{3} [sin heta]_0^{2pi} = frac{1}{3} (sin(2pi) sin(0)) = frac{1}{3} (0 0) = 0
$$
所以，这个“妹红”（单位圆）上 $f(x, y) = x$ 的二重积分结果是 0。
这说明什么？ 在一个对称的区域（单位圆）上对一个不完全对称的函数（$x$ 是关于原点中心对称的奇函数），结果往往会相互抵消，得出 0。
总结一下，让“妹红”计算不迷糊！
计算“妹红”的二重积分，核心就是把一个二维区域上的累积量转化为一系列一维积分。关键在于：
清晰地定义“妹红”所在的区域 $D$，并选择最适合描述它的坐标系。
准确地表达出要计算的函数 $f(x, y)$，并将其转换到选定的坐标系下。
掌握积分的次序和计算方法。
这就像给“妹红”做一次全面的扫描，找出它在某个特定维度上的总价值。希望这么解释，不会让你觉得太“死板”，能体会到其中的趣味！
首先，得明白，这“妹红”是个啥玩意儿。在咱们的讨论里，“妹红”不能是那个红色的、会飞的东方角色，那可没法积分。咱们得把它想象成一个数学模型，一个函数或者一个区域。
所以，当我们说“计算妹红的二重积分”的时候，咱们其实是在说：
计算一个定义在某个二维区域上的函数，在这个区域上的“累积值”。
你可以把它想象成你在某个二维地图上（比如一个平坦的土地）测量一些东西（比如空气的密度、土地的肥沃度），然后你想知道这个地图上总共有多少这个东西。二重积分就是帮你算这个总数。
什么是二重积分？
咱们先来点基础的，别急。
二重积分，说白了，就是对一个二维函数 $f(x, y)$ 在一个二维区域 $D$ 上进行积分。这个区域 $D$ 通常是在 $xy$ 平面上的。
公式上，它长这样：
$$
iint_D f(x, y) , dA
$$
这里的：
$iint$ 表示这是个积分，而且是“双重”的。
$D$ 是咱们要积分的区域，也就是“妹红”所在的那个区域。
$f(x, y)$ 是咱们要计算的那个函数，是跟 $x$ 和 $y$ 都有关的。
$dA$ 表示微小的面积元素，你可以想象成地图上无穷小的一个小方块的面积。
怎么“计算”？
“计算”二重积分，其实就是把这个三维的“累积”过程变成一连串的“一维”积分。咱们得先把这“妹红”所在的区域 $D$ 给定义清楚。
区域 $D$ 的定义方式有很多种，最常见的有两种：
1. 直角坐标系下的积分
如果咱们的“妹红”区域 $D$ 可以被表示成：
$a le x le b$ （$x$ 的范围是固定的）
$g_1(x) le y le g_2(x)$ （$y$ 的范围会随着 $x$ 的变化而变化，由两个关于 $x$ 的函数决定）
或者反过来：
$c le y le d$ （$y$ 的范围是固定的）
$h_1(y) le x le h_2(y)$ （$x$ 的范围会随着 $y$ 的变化而变化）
这两种情况都可以。咱们以第一种为例：
$$
iint_D f(x, y) , dA = int_a^b left( int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) , dy ight) , dx
$$
你看，这里面藏着两个积分。咱们先算里面那个关于 $y$ 的积分（把 $x$ 当作常数），得到一个关于 $x$ 的新函数。然后再算外面那个关于 $x$ 的积分。这就是所谓的先积后积，或者先对 $y$ 积，再对 $x$ 积。
2. 极坐标系下的积分
有时候，“妹红”的形状用极坐标来描述会更方便。极坐标下，咱们用半径 $r$ 和角度 $ heta$ 来表示一个点。函数也变成 $f(r, heta)$。
如果区域 $D$ 可以表示成：
$a le r le b$ （$r$ 的范围是固定的）
$alpha( heta) le heta le eta( heta)$ （$ heta$ 的范围由两个关于 $ heta$ 的函数决定）
那么，积分公式就变成：
$$
iint_D f(r cos heta, r sin heta) , r , dr , d heta
$$
注意那个 $r$！在极坐标下，$dA$ 变成了 $r , dr , d heta$。这就像在说，一个小方块的面积在极坐标下，它的“大小”跟离原点的距离 $r$ 有关。
怎么确定“妹红”的形状和函数？
这里才是“妹红”真正能体现出个性的地方！
确定区域 $D$：
咱们得知道“妹红”是长什么样的。是方的？圆的？还是奇奇怪怪的形状？
如果是简单的矩形区域： 比如 $x$ 从 0 到 2，$y$ 从 1 到 3。这个就好办了。
如果是圆形区域： 比如一个半径为 5 的圆。用极坐标描述会很轻松。
如果是更复杂的形状： 比如一个扇形，或者两个函数围成的区域。这时候就要仔细看，能不能用上面两种方式（直角坐标或极坐标）来描述这个区域的边界。有时候需要画图辅助理解。
确定函数 $f(x, y)$：
这个函数就是咱们要对“妹红”进行“累积”的那个量。
最简单的情况： 就是 $f(x, y) = 1$。这时候，二重积分计算的就是区域 $D$ 的面积。这就像在问“妹红”有多少“平方单位”的地盘。
更复杂的情况： 比如 $f(x, y) = x^2 + y^2$。这时候计算的就是函数在这个区域上的“总量”。你可以想象成如果你在地图上测量某个东西的“密度”，那么这个函数的积分就是总密度。
计算的步骤，就像给“妹红”做体检一样！
1. 识别“妹红”的模样（确定区域 $D$）： 咱们得先把要积的区域画出来，或者至少把它用数学语言描述清楚。看看它的边界是由哪些直线或曲线组成的。
2. 选择合适的坐标系： 如果“妹红”是圆形的，极坐标可能更省事。如果是方的，直角坐标可能更直接。有时候两者都可以，那就选那个算起来更容易的。
3. 确定积分的顺序（或方向）： 在直角坐标下，是先对 $x$ 积再对 $y$ 积，还是反过来？这取决于咱们怎么描述区域 $D$ 的。如果区域的描述方式是固定的（比如 $a le x le b, g_1(x) le y le g_2(x)$），那么顺序就也确定了。
4. 代入函数，进行计算： 把函数 $f(x, y)$ 放到积分里面，然后一步一步地计算。先算内层积分，得到中间结果，再算外层积分。
举个例子，让“妹红”活起来！
假设咱们的“妹红”是一个单位圆（半径为 1 的圆），也就是在 $xy$ 平面上，$x^2 + y^2 le 1$ 的区域。而我们要计算的函数是 $f(x, y) = x$。
第一步：确定区域 $D$
区域是单位圆，用极坐标来描述最方便了。
$0 le r le 1$
$0 le heta le 2pi$
第二步：选择坐标系
极坐标是最佳选择。
第三步：代入函数，进行计算
函数 $f(x, y) = x$，在极坐标下，$x = r cos heta$。
所以，$f(r, heta) = r cos heta$。
而 $dA = r , dr , d heta$。
积分就变成：
$$
iint_D x , dA = int_0^{2pi} int_0^1 (r cos heta) , r , dr , d heta
$$
咱们来算算：
1. 先算内层积分（关于 $r$）：
$$
int_0^1 r^2 cos heta , dr
$$
这里把 $cos heta$ 当作常数，所以：
$$
cos heta left[ frac{r^3}{3} ight]_0^1 = cos heta left( frac{1^3}{3} frac{0^3}{3} ight) = frac{1}{3} cos heta
$$
2. 再算外层积分（关于 $ heta$）：
$$
int_0^{2pi} frac{1}{3} cos heta , d heta
$$
$$
frac{1}{3} [sin heta]_0^{2pi} = frac{1}{3} (sin(2pi) sin(0)) = frac{1}{3} (0 0) = 0
$$
所以，这个“妹红”（单位圆）上 $f(x, y) = x$ 的二重积分结果是 0。
这说明什么？ 在一个对称的区域（单位圆）上对一个不完全对称的函数（$x$ 是关于原点中心对称的奇函数），结果往往会相互抵消，得出 0。
总结一下，让“妹红”计算不迷糊！
计算“妹红”的二重积分，核心就是把一个二维区域上的累积量转化为一系列一维积分。关键在于：
清晰地定义“妹红”所在的区域 $D$，并选择最适合描述它的坐标系。
准确地表达出要计算的函数 $f(x, y)$，并将其转换到选定的坐标系下。
掌握积分的次序和计算方法。
这就像给“妹红”做一次全面的扫描，找出它在某个特定维度上的总价值。希望这么解释，不会让你觉得太“死板”，能体会到其中的趣味！
网友意见
在求解妹红二重积分之前，先介绍一下异轴球坐标变换。
异轴球坐标变换
作异轴球坐标变换
【注】为了与二重积分变元相区别，故将代表各轴的字母大写。
也就是，原来的 轴换成了新的 轴；原来的 轴换成了新的 轴；
原来的 轴换成了新的 轴。同时，可以得到如下的关系式
以及
计算两个不同轴球坐标系转化的雅可比行列式
计算二重积分
于是，开始计算妹红的二重积分
再利用异轴球坐标变换，可得
※※※※※※※※※※
【2021年4月更新】其实，可以先求不定积分再求定积分
※※※※※※※※※※
接下来，将其凑成可以利用“二重积分的类泊松换元公式 ”的形式
【注】注意二重积分的泊松换元公式与波动方程中的泊松公式的区别
泊松换元公式
又因为，我们熟知的反常积分
所以 ，因此
写在最后
给学有余力的读者留一道二重积分：
（PS: 没想到MMA居然能算出上述二重积分 ）
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