如何计算下面的这个积分？
好的，我们来一步步拆解计算这个积分。请别担心，我会尽量用最接地气的方式来讲解，让你觉得就像是和一位老朋友在讨论数学一样。
我们今天要解决的积分是：
$int frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 x^2 + x 1} dx$
第一步：观察被积函数，寻找破绽！
首先，我们看到的是一个分数形式的表达式，上面是多项式，下面也是多项式。这种类型的问题，我们通常会想到几个常见的策略：
直接积分？ 看看上面的 $x^2 + 2x + 1$ 好像有点眼熟，它正好是 $(x+1)^2$ 的展开。但下面的 $x^3 x^2 + x 1$ 怎么办？直接积分不太容易。
替换积分？ 如果下面有一个表达式的导数恰好是上面的表达式（或者成比例），那就可以用换元法了。我们来试着求一下分母的导数：
$(x^3 x^2 + x 1)' = 3x^2 2x + 1$
对比一下分子 $x^2 + 2x + 1$，好像不太匹配。所以，直接的换元法不太奏效。
分部积分？ 这通常用在被积函数包含乘积的时候，这里看起来不像是一个明显的分部积分的好时机。
部分分式分解？ 当遇到两个多项式的分数，并且分母可以分解因式的时候，部分分式分解就非常有用。这个方法是我们接下来要重点关注的！
第二步：分解分母，这是关键！
要进行部分分式分解，首先必须把分母 $x^3 x^2 + x 1$ 分解成更小的、更容易处理的因式。
我们来仔细看看这个分母：$x^3 x^2 + x 1$。有没有什么分组的技巧？
尝试分组：
$(x^3 x^2) + (x 1)$
我们可以从第一组提取公因式 $x^2$：
$x^2(x 1) + 1(x 1)$
看！$ (x1) $ 作为一个公共的因子出现了！太棒了！
$ (x 1)(x^2 + 1) $
好了，分母分解完毕。我们得到了一个线性因式 $(x1)$ 和一个二次因式 $(x^2+1)$。注意，$x^2+1$ 这个二次因式是不可约的（在实数范围内），因为它没有实数根（令 $x^2+1=0$ 得到 $x^2=1$，没有实数解）。
第三步：部分分式分解，让复杂变简单！
现在，我们的被积函数可以写成：
$frac{x^2 + 2x + 1}{ (x 1)(x^2 + 1) }$
我们要将它分解成以下形式：
$frac{A}{x1} + frac{Bx + C}{x^2 + 1}$
这里的 $A$, $B$, 和 $C$ 是我们要找的待定系数。
为了求出这些系数，我们将右边通分，并让它等于左边：
$frac{A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x 1)}{ (x 1)(x^2 + 1) } = frac{x^2 + 2x + 1}{ (x 1)(x^2 + 1) }$
因为分母相同，所以分子也必须相等：
$A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x 1) = x^2 + 2x + 1$
现在，我们需要解出 $A$, $B$, $C$。有两种常用的方法：
方法一：代入特殊值法（往往更直观）
1. 令 $x = 1$： 这样 $(Bx+C)(x1)$ 这一项会变成零，只剩下 $A(x^2+1)$。
$A(1^2 + 1) + (B(1) + C)(1 1) = 1^2 + 2(1) + 1$
$A(2) + 0 = 1 + 2 + 1$
$2A = 4$
$A = 2$
2. 为了求 $B$ 和 $C$，我们可以代入另外两个值，比如 $x=0$ 和 $x=1$。
令 $x = 0$：
$A(0^2 + 1) + (B(0) + C)(0 1) = 0^2 + 2(0) + 1$
$A(1) + C(1) = 1$
$A C = 1$
我们已经知道 $A=2$，所以 $2 C = 1$，那么 $C = 1$。
令 $x = 1$：
$A((1)^2 + 1) + (B(1) + C)(1 1) = (1)^2 + 2(1) + 1$
$A(2) + (B + C)(2) = 1 2 + 1$
$2A + 2B 2C = 0$
代入 $A=2$ 和 $C=1$：
$2(2) + 2B 2(1) = 0$
$4 + 2B 2 = 0$
$2B + 2 = 0$
$2B = 2$
$B = 1$
方法二：比较系数法（系统性更强）
我们展开等式 $A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x 1) = x^2 + 2x + 1$：
$Ax^2 + A + Bx^2 Bx + Cx C = x^2 + 2x + 1$
合并同类项：
$(A + B)x^2 + (B + C)x + (A C) = x^2 + 2x + 1$
现在，比较等式两边同次幂项的系数：
$x^2$ 项的系数： $A + B = 1$
$x$ 项的系数： $B + C = 2$
常数项： $A C = 1$
我们得到了一个关于 $A, B, C$ 的线性方程组。
从 $AC=1$，可以得到 $A = C+1$。
代入第一个方程：$(C+1) + B = 1 implies C+B = 0 implies B = C$。
代入第二个方程：$(C) + C = 2 implies C + C = 2 implies 2C = 2 implies C = 1$。
既然 $C=1$，那么 $B = C = 1$。
既然 $C=1$，那么 $A = C+1 = 1+1 = 2$。
两种方法得到的结果是一样的：$A=2$, $B=1$, $C=1$。
所以，我们原来的被积函数可以分解为：
$frac{2}{x1} + frac{x + 1}{x^2 + 1}$
第四步：分项积分，逐个击破！
现在，积分就变成了计算两个（或者三个，看你怎么拆分）简单的积分的和：
$int left( frac{2}{x1} + frac{x + 1}{x^2 + 1} ight) dx$
$= int frac{2}{x1} dx + int frac{x + 1}{x^2 + 1} dx$
我们分别计算这两个积分：
1. 计算 $int frac{2}{x1} dx$：
这很简单，是一个基本积分形式。
$int frac{2}{x1} dx = 2 int frac{1}{x1} dx$
令 $u = x1$，则 $du = dx$。
$2 int frac{1}{u} du = 2 ln|u| + C_1 = 2 ln|x1| + C_1$
2. 计算 $int frac{x + 1}{x^2 + 1} dx$：
这个稍微复杂一点，我们可以把它拆成两部分：
$int frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = int frac{x}{x^2 + 1} dx + int frac{1}{x^2 + 1} dx$
计算 $int frac{x}{x^2 + 1} dx$：
这里我们可以使用换元法。令 $u = x^2 + 1$，那么 $du = 2x dx$。所以，$x dx = frac{1}{2} du$。
$int frac{x}{x^2 + 1} dx = int frac{1}{u} cdot frac{1}{2} du = frac{1}{2} int frac{1}{u} du$
$= frac{1}{2} ln|u| + C_2 = frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + C_2$
（注意，$x^2+1$ 总是大于零的，所以可以去掉绝对值。）
计算 $int frac{1}{x^2 + 1} dx$：
这个也是一个非常经典的积分，它的结果是arctan函数。
$int frac{1}{x^2 + 1} dx = arctan(x) + C_3$
把这两部分合起来，第二个积分的结果是：
$frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + arctan(x) + C_4$ （我们将 $C_2$ 和 $C_3$ 合并为 $C_4$）
第五步：整合结果，得到最终答案！
现在，我们将第一部分和第二部分的积分结果加起来：
$(2 ln|x1| + C_1) + (frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + arctan(x) + C_4)$
最终结果是：
$2 ln|x1| frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + arctan(x) + C$
（我们将所有的常数项 $C_1$ 和 $C_4$ 合并为一个总的常数 $C$）。
检查一下，看看有没有遗漏什么或者计算错误。
分母分解是关键，做对了才能继续。
部分分式系数的求解要细心，代入特殊值法和比较系数法都可以验证。
最后一步拆分积分时，别忘了处理好带负号的项和分母。
整个过程就是这样，从一开始的无从下手，到通过分解分母、部分分式分解，最后一步步计算出每个小积分，最后整合起来。关键就在于耐心和对数学方法的熟练运用。希望我的讲解够细致，也够“人味儿”！
我们今天要解决的积分是：
$int frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 x^2 + x 1} dx$
第一步：观察被积函数，寻找破绽！
首先，我们看到的是一个分数形式的表达式，上面是多项式，下面也是多项式。这种类型的问题，我们通常会想到几个常见的策略：
直接积分？ 看看上面的 $x^2 + 2x + 1$ 好像有点眼熟，它正好是 $(x+1)^2$ 的展开。但下面的 $x^3 x^2 + x 1$ 怎么办？直接积分不太容易。
替换积分？ 如果下面有一个表达式的导数恰好是上面的表达式（或者成比例），那就可以用换元法了。我们来试着求一下分母的导数：
$(x^3 x^2 + x 1)' = 3x^2 2x + 1$
对比一下分子 $x^2 + 2x + 1$，好像不太匹配。所以，直接的换元法不太奏效。
分部积分？ 这通常用在被积函数包含乘积的时候，这里看起来不像是一个明显的分部积分的好时机。
部分分式分解？ 当遇到两个多项式的分数，并且分母可以分解因式的时候，部分分式分解就非常有用。这个方法是我们接下来要重点关注的！
第二步：分解分母，这是关键！
要进行部分分式分解，首先必须把分母 $x^3 x^2 + x 1$ 分解成更小的、更容易处理的因式。
我们来仔细看看这个分母：$x^3 x^2 + x 1$。有没有什么分组的技巧？
尝试分组：
$(x^3 x^2) + (x 1)$
我们可以从第一组提取公因式 $x^2$：
$x^2(x 1) + 1(x 1)$
看！$ (x1) $ 作为一个公共的因子出现了！太棒了！
$ (x 1)(x^2 + 1) $
好了，分母分解完毕。我们得到了一个线性因式 $(x1)$ 和一个二次因式 $(x^2+1)$。注意，$x^2+1$ 这个二次因式是不可约的（在实数范围内），因为它没有实数根（令 $x^2+1=0$ 得到 $x^2=1$，没有实数解）。
第三步：部分分式分解，让复杂变简单！
现在，我们的被积函数可以写成：
$frac{x^2 + 2x + 1}{ (x 1)(x^2 + 1) }$
我们要将它分解成以下形式：
$frac{A}{x1} + frac{Bx + C}{x^2 + 1}$
这里的 $A$, $B$, 和 $C$ 是我们要找的待定系数。
为了求出这些系数，我们将右边通分，并让它等于左边：
$frac{A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x 1)}{ (x 1)(x^2 + 1) } = frac{x^2 + 2x + 1}{ (x 1)(x^2 + 1) }$
因为分母相同，所以分子也必须相等：
$A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x 1) = x^2 + 2x + 1$
现在，我们需要解出 $A$, $B$, $C$。有两种常用的方法：
方法一：代入特殊值法（往往更直观）
1. 令 $x = 1$： 这样 $(Bx+C)(x1)$ 这一项会变成零，只剩下 $A(x^2+1)$。
$A(1^2 + 1) + (B(1) + C)(1 1) = 1^2 + 2(1) + 1$
$A(2) + 0 = 1 + 2 + 1$
$2A = 4$
$A = 2$
2. 为了求 $B$ 和 $C$，我们可以代入另外两个值，比如 $x=0$ 和 $x=1$。
令 $x = 0$：
$A(0^2 + 1) + (B(0) + C)(0 1) = 0^2 + 2(0) + 1$
$A(1) + C(1) = 1$
$A C = 1$
我们已经知道 $A=2$，所以 $2 C = 1$，那么 $C = 1$。
令 $x = 1$：
$A((1)^2 + 1) + (B(1) + C)(1 1) = (1)^2 + 2(1) + 1$
$A(2) + (B + C)(2) = 1 2 + 1$
$2A + 2B 2C = 0$
代入 $A=2$ 和 $C=1$：
$2(2) + 2B 2(1) = 0$
$4 + 2B 2 = 0$
$2B + 2 = 0$
$2B = 2$
$B = 1$
方法二：比较系数法（系统性更强）
我们展开等式 $A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x 1) = x^2 + 2x + 1$：
$Ax^2 + A + Bx^2 Bx + Cx C = x^2 + 2x + 1$
合并同类项：
$(A + B)x^2 + (B + C)x + (A C) = x^2 + 2x + 1$
现在，比较等式两边同次幂项的系数：
$x^2$ 项的系数： $A + B = 1$
$x$ 项的系数： $B + C = 2$
常数项： $A C = 1$
我们得到了一个关于 $A, B, C$ 的线性方程组。
从 $AC=1$，可以得到 $A = C+1$。
代入第一个方程：$(C+1) + B = 1 implies C+B = 0 implies B = C$。
代入第二个方程：$(C) + C = 2 implies C + C = 2 implies 2C = 2 implies C = 1$。
既然 $C=1$，那么 $B = C = 1$。
既然 $C=1$，那么 $A = C+1 = 1+1 = 2$。
两种方法得到的结果是一样的：$A=2$, $B=1$, $C=1$。
所以，我们原来的被积函数可以分解为：
$frac{2}{x1} + frac{x + 1}{x^2 + 1}$
第四步：分项积分，逐个击破！
现在，积分就变成了计算两个（或者三个，看你怎么拆分）简单的积分的和：
$int left( frac{2}{x1} + frac{x + 1}{x^2 + 1} ight) dx$
$= int frac{2}{x1} dx + int frac{x + 1}{x^2 + 1} dx$
我们分别计算这两个积分：
1. 计算 $int frac{2}{x1} dx$：
这很简单，是一个基本积分形式。
$int frac{2}{x1} dx = 2 int frac{1}{x1} dx$
令 $u = x1$，则 $du = dx$。
$2 int frac{1}{u} du = 2 ln|u| + C_1 = 2 ln|x1| + C_1$
2. 计算 $int frac{x + 1}{x^2 + 1} dx$：
这个稍微复杂一点，我们可以把它拆成两部分：
$int frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = int frac{x}{x^2 + 1} dx + int frac{1}{x^2 + 1} dx$
计算 $int frac{x}{x^2 + 1} dx$：
这里我们可以使用换元法。令 $u = x^2 + 1$，那么 $du = 2x dx$。所以，$x dx = frac{1}{2} du$。
$int frac{x}{x^2 + 1} dx = int frac{1}{u} cdot frac{1}{2} du = frac{1}{2} int frac{1}{u} du$
$= frac{1}{2} ln|u| + C_2 = frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + C_2$
（注意，$x^2+1$ 总是大于零的，所以可以去掉绝对值。）
计算 $int frac{1}{x^2 + 1} dx$：
这个也是一个非常经典的积分，它的结果是arctan函数。
$int frac{1}{x^2 + 1} dx = arctan(x) + C_3$
把这两部分合起来，第二个积分的结果是：
$frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + arctan(x) + C_4$ （我们将 $C_2$ 和 $C_3$ 合并为 $C_4$）
第五步：整合结果，得到最终答案！
现在，我们将第一部分和第二部分的积分结果加起来：
$(2 ln|x1| + C_1) + (frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + arctan(x) + C_4)$
最终结果是：
$2 ln|x1| frac{1}{2} ln(x^2 + 1) + arctan(x) + C$
（我们将所有的常数项 $C_1$ 和 $C_4$ 合并为一个总的常数 $C$）。
检查一下，看看有没有遗漏什么或者计算错误。
分母分解是关键，做对了才能继续。
部分分式系数的求解要细心，代入特殊值法和比较系数法都可以验证。
最后一步拆分积分时，别忘了处理好带负号的项和分母。
整个过程就是这样，从一开始的无从下手，到通过分解分母、部分分式分解，最后一步步计算出每个小积分，最后整合起来。关键就在于耐心和对数学方法的熟练运用。希望我的讲解够细致，也够“人味儿”！
网友意见
算个不定积分。
分部积分：
计算一下：
之后往回代就完事了。具体计算我不知道算没算对。
类似的话题
-
好的，我们来一步步拆解计算这个积分。请别担心，我会尽量用最接地气的方式来讲解，让你觉得就像是和一位老朋友在讨论数学一样。我们今天要解决的积分是：$int frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 x^2 + x 1} dx$第一步：观察被积函数，寻找破绽！首先，我们看到的是一个分数形式的表达............. -
揭秘神秘的极限值：一步步带你深入理解计算过程你是不是也曾被那些看起来很吓人但又充满魅力的极限表达式困扰过？今天，我们就来一起揭开一个神秘极限的面纱，探寻它背后的计算奥秘，让你彻底告别对极限的“盲目恐惧”，变成一个自信的“极限玩家”。我们要计算的极限是：$$ lim_{x o 0} frac{sin.............
-
这绝对是个有趣的挑战！想象一下，五个小伙伴，大家都想知道大家平均工资是多少，但又实在是不好意思直接开口问对方的收入。这种情况下，咱们得动动脑筋，用点“聪明”的办法，既能得到结果，又能保留彼此的体面。咱们这么想，怎么才能把信息一点点地传递出去，最后汇聚成一个总数，再除以人数呢？这就好比我们在玩一个传递.............
-
好的，咱们来好好聊聊这个级数怎么算。别急，我一步一步跟你说清楚，力求讲得透彻，没有那些生硬的AI腔调。咱们要算的是哪个级数呢？ 请你先告诉我具体是哪个级数，这样我才能有针对性地讲解。因为级数种类繁多，计算方法也千差万别。不过，我可以先给你打个预防针，大概说说计算级数时，我们可能会用到的一些思路和工具.............
-
疫情下的留学坚持：91% 的数字背后，是对未来的坚定选择新冠疫情无疑给全球社会带来了前所未有的冲击，教育领域也未能幸免。原定出国留学的学子们，面对着旅行限制、线上授课、健康风险等多重不确定性，他们的留学之路是否还能继续？最新数据显示，高达91%的原定出国留学人群选择坚持自己的计划。这个数字，远比我们.............
-
计算这个级数，咱们得一步步来，把它拆解开，看它到底是怎么构成的。首先，我们得搞清楚这个级数是什么意思。级数，简单来说，就是一串数，咱们把它们一个个加起来。你给的这个级数，肯定是有个规律在里面的，不然怎么能一口气算出来呢？咱们先拿一个简单的例子来说明一下，比如说，咱们算 1 + 2 + 3 + 4 +.............
-
好的，我们来好好聊聊这个无穷级数。其实，很多看起来“神秘”的无穷级数，一旦你掌握了它们的“脾气”和一些常用的技巧，计算起来就会变得豁然开朗。你问的这个级数，虽然没有具体给出，但我们可以通过一些常见形式来讲解计算的思路和方法。首先，我们得搞清楚“无穷级数”到底是什么。简单来说，无穷级数就是一个由无穷多.............
-
这张图展示了一个计算多重积分的问题，具体来说，是计算一个函数在一个特定区域上的二重积分。我们要做的就是通过理解积分区域和被积函数，将其转化为一系列定积分的计算。下面我们就一步一步来解析如何完成这个计算。第一步：理解积分区域 D首先，我们需要仔细观察图中给出的积分区域 D。这张图展示了一个由直线和曲线.............
-
气枪的压强（通常指的是气瓶中的压缩空气压力）和其发射出的弹丸的动能（焦耳是能量单位）之间，并没有一个简单的、一对一的换算公式，因为它们之间受到多种因素的制约。不过，我们可以通过理解它们之间的关联，并了解如何估算或者说去探究“多少兆帕的压强会产生1.8焦耳的能量”这个问题。首先，我们得明确这两个概念：.............
-
看待一位19岁少年怀揣着在当前 Intel 同等计算性能下降低80%功耗的全新电路系统芯片的梦想，这绝对是一件令人振奋的事情，也充满了挑战和机遇。我们可以从多个角度来详细剖析：一、 少年梦想的价值和意义： 巨大的社会价值： 能源效率的革命： 功耗是现代计算的核心问题之一。降低80%的功耗意味.............
-
说实话，看到《少女前线：云图计划》（以下简称云图）开服七十天流水就跌到和《崩坏 2》一个量级，我心里挺不是滋味的。毕竟，《云图计划》这游戏，从一开始宣传的那个架势，还有《少女前线》IP本身的底子，大家对它的期待值是挺高的。现在这个结果，感觉就像是精心准备的一场大餐，结果上桌的却是些不太对味儿的小点心.............
-
百度网盘默认开启用户激励计划，并在用户不知情的情况下上传文件，这确实是一个挺有争议的操作，也是不少用户感到不满的地方。咱们就来好好捋一捋这事儿，看看它到底是怎么回事，为什么会引起大家的讨论。首先，咱们得弄明白这个“用户激励计划”到底是啥意思。简单来说，百度网盘推出这个计划，是为了鼓励用户分享自己的存.............
-
特斯拉2021年的股东大会确实是信息量爆炸的一场盛会，尤其是当伊隆·马斯克抛出那个令人振奋的“降成本五步计划”时，整个汽车行业甚至科技圈都为之侧目。他声称通过这套组合拳，特斯拉的制造成本有望继续下降60%。这绝对不是一个小数目，足以颠覆我们对电动汽车定价的认知，让电动汽车真正进入千家万户。要理解马斯.............
-
这个问题很有意思，也很能考察对变量和函数传参机制的理解。简单来说，在大多数情况下，如果你想要在函数内部直接修改调用者作用域中的两个变量，并且不能使用指针，那是不行的。不过，我们可以换个角度来“实现”这个目标，或者说达到类似的效果。理解这一点，需要先弄清楚 C 语言（以及很多其他语言）中函数是如何接收.............
-
美国第二季度 GDP 同比年化下滑 32.9%，这确实是一个令人震惊的数字，甚至可以说是自上世纪 40 年代以来最严重的经济收缩。这个数据就像是对美国经济在疫情冲击下的一个最直接、最残酷的“体检报告”，它揭示了疫情对经济活动的破坏力有多么巨大。为什么下滑幅度会如此之大？要理解这个数字，我们需要回到疫.............
-
好的，我们来聊聊如何计算积分级数。这其实是一个在数学分析里很有意思的领域，涉及到把无穷多项积分联系起来，或者把积分的结果看作一个无穷级数。因为这个问题本身就挺有技术性的，我会尽量用一种清晰、有条理的方式来讲解，就像老师在课堂上讲解一样，避免那些空泛的、听起来像套话的AI风格描述。首先，我们要明确一下.............
-
好的，我们来聊聊计算机图形学这个迷人的领域，以及它未来可能的发展方向。抛开那些AI味十足的术语，咱们就从一个对画面有追求的人的角度，看看还能往哪儿使劲儿。首先，要说“下一步提高”，得先明白咱们现在能做到什么程度。想想那些顶级电影里的特效，逼真的皮肤纹理、丝滑的毛发、流淌的水滴，还有游戏里那种几乎能以.............
-
关于谷歌“夜莺计划”（Project Nightingale）被曝光，涉及在医生和患者不知情的情况下秘密采集数百万份医疗隐私数据一事，这是一个非常复杂且备受关注的事件。要理解这个问题，我们需要从多个维度进行深入探讨，包括事件的背景、核心内容、涉及的各方、争议点、监管回应以及其对医疗数据隐私的深远影响.............
-
我们来聊聊一个挺有意思的设想：如果太阳系突然迎来一场“光粒打击”，那我们一直以来提到的“掩体计划”，真的能保住咱们人类的火种吗？这事儿可不是拍电影，咱们得掰开了揉碎了好好说道说道。首先，咱们得先弄明白什么是“光粒打击”。这名字听着就挺玄乎的，但按照咱们理解，它大概是指某种极其强大的、由高能粒子流组成.............
-
将巴巴罗萨计划中的四号坦克全部替换成虎式和黑豹坦克，这无疑是一个极具吸引力的设想。我们可以从多个角度来分析，看看这个大胆的替换能否让德军在当时那严峻的后勤条件下啃下莫斯科这块硬骨头。首先，让我们看看这个替换的武器库会带来什么改变。四号坦克作为德军在巴巴罗萨初期战场上的主力，以其相对均衡的性能在许多方.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有