如何计算下图中的多重积分？
这张图展示了一个计算多重积分的问题，具体来说，是计算一个函数在一个特定区域上的二重积分。我们要做的就是通过理解积分区域和被积函数，将其转化为一系列定积分的计算。下面我们就一步一步来解析如何完成这个计算。
第一步：理解积分区域 D
首先，我们需要仔细观察图中给出的积分区域 D。这张图展示了一个由直线和曲线围成的区域。我们需要识别出这些边界的方程：
直线 y = 2x: 这是一条通过原点的直线，斜率为 2。
直线 y = x/2: 这也是一条通过原点的直线，斜率为 1/2。
直线 x = 1: 这是一条垂直于 x 轴的直线，截距为 1。
我们需要找到这三条直线围成的区域。通过观察图像，我们可以发现这个区域是位于两条直线 y = 2x 和 y = x/2 之间，并且被直线 x = 1 所截取的区域。
为了更精确地确定积分区域的范围，我们需要找到这些直线交点的坐标。
y = 2x 和 x = 1 的交点: 将 x=1 代入 y=2x，得到 y = 2(1) = 2。所以交点是 (1, 2)。
y = x/2 和 x = 1 的交点: 将 x=1 代入 y=x/2，得到 y = 1/2。所以交点是 (1, 1/2)。
y = 2x 和 y = x/2 的交点: 令 2x = x/2，解得 3x/2 = 0，所以 x = 0。当 x=0 时，y=0。所以交点是 (0, 0)。
因此，积分区域 D 是由点 (0,0), (1, 1/2), 和 (1, 2) 所围成的三角形区域。
第二步：选择积分次序（dx dy 还是 dy dx？）
现在，我们需要决定积分的次序是先对 y 进行积分（dy），再对 x 进行积分（dx），还是反过来。这取决于我们如何描述区域 D。
先对 y 积分，再对 x 积分 (dy dx)： 如果我们选择这种次序，那么我们需要固定一个 x 的值，然后看 y 的取值范围。
对于区域 D，当 x 在 [0, 1] 的范围内时，y 的下界是直线 y = x/2，上界是直线 y = 2x。所以，如果固定 x，y 的变化范围是 x/2 ≤ y ≤ 2x。而 x 的整体变化范围是从 0 到 1。
因此，我们可以写成积分的形式：
$$ iint_D f(x,y) , dy , dx $$
其中，积分的下限和上限为：
$$ int_{0}^{1} left( int_{x/2}^{2x} f(x,y) , dy ight) , dx $$
先对 x 积分，再对 y 积分 (dx dy)： 如果我们选择这种次序，就需要固定一个 y 的值，然后看 x 的取值范围。
观察区域 D，当 y 的值变化时，x 的下界和上界是不同的。
当 y 的值在 [0, 1/2] 之间时，x 的下界是直线 y = 2x (即 x = y/2)，上界是直线 x = 1。
当 y 的值在 [1/2, 2] 之间时，x 的下界是直线 y = x/2 (即 x = 2y)，上界是直线 x = 1。
这意味着我们需要将积分分成两部分来计算。
因此，如果我们选择 dx dy 的次序，积分会变成：
$$ iint_D f(x,y) , dx , dy = int_{0}^{1/2} left( int_{y/2}^{1} f(x,y) , dx ight) , dy + int_{1/2}^{2} left( int_{2y}^{1} f(x,y) , dx ight) , dy $$
通常情况下，选择 dx dy 的次序会使积分更复杂，因为它需要分成两个积分。因此，我们优先考虑 dy dx 的次序。
第三步：被积函数是？
在图的右上角，我们看到了被积函数是 f(x,y) = x。
第四步：进行积分计算
现在我们知道了积分区域和被积函数，并且选择了 dy dx 的积分次序。我们可以开始计算了：
$$ iint_D x , dy , dx $$
根据第二步的分析，积分的范围是：
$$ int_{0}^{1} left( int_{x/2}^{2x} x , dy ight) , dx $$
现在，我们先计算内层关于 y 的积分：
$$ int_{x/2}^{2x} x , dy $$
在这里，x 被视为常数。
$$ left[ xy ight]_{y=x/2}^{y=2x} = x(2x) x(x/2) $$
$$ = 2x^2 frac{1}{2}x^2 $$
$$ = frac{3}{2}x^2 $$
接下来，我们将这个结果代入外层关于 x 的积分：
$$ int_{0}^{1} frac{3}{2}x^2 , dx $$
现在计算这个关于 x 的定积分：
$$ frac{3}{2} int_{0}^{1} x^2 , dx $$
$$ = frac{3}{2} left[ frac{x^3}{3} ight]_{0}^{1} $$
$$ = frac{3}{2} left( frac{1^3}{3} frac{0^3}{3} ight) $$
$$ = frac{3}{2} left( frac{1}{3} 0 ight) $$
$$ = frac{3}{2} imes frac{1}{3} $$
$$ = frac{1}{2} $$
结论
通过以上步骤，我们计算出图中所示多重积分的结果是 1/2。
总结整个过程：
1. 识别积分区域： 明确由给定的直线构成的区域 D 的边界。
2. 确定积分的边界： 找到区域 D 的交点，并理解当固定一个变量时，另一个变量的变化范围。
3. 选择积分次序： 通常选择能简化计算的次序。在本例中，dy dx 是一个更直接的选择。
4. 确定被积函数： 明确需要积分的函数 f(x,y)。
5. 执行积分计算： 按照选定的次序，先计算内层积分，然后将结果代入外层积分进行计算。
希望这个详细的解答能帮助你理解如何处理这类多重积分问题。
第一步：理解积分区域 D
首先，我们需要仔细观察图中给出的积分区域 D。这张图展示了一个由直线和曲线围成的区域。我们需要识别出这些边界的方程：
直线 y = 2x: 这是一条通过原点的直线，斜率为 2。
直线 y = x/2: 这也是一条通过原点的直线，斜率为 1/2。
直线 x = 1: 这是一条垂直于 x 轴的直线，截距为 1。
我们需要找到这三条直线围成的区域。通过观察图像，我们可以发现这个区域是位于两条直线 y = 2x 和 y = x/2 之间，并且被直线 x = 1 所截取的区域。
为了更精确地确定积分区域的范围，我们需要找到这些直线交点的坐标。
y = 2x 和 x = 1 的交点: 将 x=1 代入 y=2x，得到 y = 2(1) = 2。所以交点是 (1, 2)。
y = x/2 和 x = 1 的交点: 将 x=1 代入 y=x/2，得到 y = 1/2。所以交点是 (1, 1/2)。
y = 2x 和 y = x/2 的交点: 令 2x = x/2，解得 3x/2 = 0，所以 x = 0。当 x=0 时，y=0。所以交点是 (0, 0)。
因此，积分区域 D 是由点 (0,0), (1, 1/2), 和 (1, 2) 所围成的三角形区域。
第二步：选择积分次序（dx dy 还是 dy dx？）
现在，我们需要决定积分的次序是先对 y 进行积分（dy），再对 x 进行积分（dx），还是反过来。这取决于我们如何描述区域 D。
先对 y 积分，再对 x 积分 (dy dx)： 如果我们选择这种次序，那么我们需要固定一个 x 的值，然后看 y 的取值范围。
对于区域 D，当 x 在 [0, 1] 的范围内时，y 的下界是直线 y = x/2，上界是直线 y = 2x。所以，如果固定 x，y 的变化范围是 x/2 ≤ y ≤ 2x。而 x 的整体变化范围是从 0 到 1。
因此，我们可以写成积分的形式：
$$ iint_D f(x,y) , dy , dx $$
其中，积分的下限和上限为：
$$ int_{0}^{1} left( int_{x/2}^{2x} f(x,y) , dy ight) , dx $$
先对 x 积分，再对 y 积分 (dx dy)： 如果我们选择这种次序，就需要固定一个 y 的值，然后看 x 的取值范围。
观察区域 D，当 y 的值变化时，x 的下界和上界是不同的。
当 y 的值在 [0, 1/2] 之间时，x 的下界是直线 y = 2x (即 x = y/2)，上界是直线 x = 1。
当 y 的值在 [1/2, 2] 之间时，x 的下界是直线 y = x/2 (即 x = 2y)，上界是直线 x = 1。
这意味着我们需要将积分分成两部分来计算。
因此，如果我们选择 dx dy 的次序，积分会变成：
$$ iint_D f(x,y) , dx , dy = int_{0}^{1/2} left( int_{y/2}^{1} f(x,y) , dx ight) , dy + int_{1/2}^{2} left( int_{2y}^{1} f(x,y) , dx ight) , dy $$
通常情况下，选择 dx dy 的次序会使积分更复杂，因为它需要分成两个积分。因此，我们优先考虑 dy dx 的次序。
第三步：被积函数是？
在图的右上角，我们看到了被积函数是 f(x,y) = x。
第四步：进行积分计算
现在我们知道了积分区域和被积函数，并且选择了 dy dx 的积分次序。我们可以开始计算了：
$$ iint_D x , dy , dx $$
根据第二步的分析，积分的范围是：
$$ int_{0}^{1} left( int_{x/2}^{2x} x , dy ight) , dx $$
现在，我们先计算内层关于 y 的积分：
$$ int_{x/2}^{2x} x , dy $$
在这里，x 被视为常数。
$$ left[ xy ight]_{y=x/2}^{y=2x} = x(2x) x(x/2) $$
$$ = 2x^2 frac{1}{2}x^2 $$
$$ = frac{3}{2}x^2 $$
接下来，我们将这个结果代入外层关于 x 的积分：
$$ int_{0}^{1} frac{3}{2}x^2 , dx $$
现在计算这个关于 x 的定积分：
$$ frac{3}{2} int_{0}^{1} x^2 , dx $$
$$ = frac{3}{2} left[ frac{x^3}{3} ight]_{0}^{1} $$
$$ = frac{3}{2} left( frac{1^3}{3} frac{0^3}{3} ight) $$
$$ = frac{3}{2} left( frac{1}{3} 0 ight) $$
$$ = frac{3}{2} imes frac{1}{3} $$
$$ = frac{1}{2} $$
结论
通过以上步骤，我们计算出图中所示多重积分的结果是 1/2。
总结整个过程：
1. 识别积分区域： 明确由给定的直线构成的区域 D 的边界。
2. 确定积分的边界： 找到区域 D 的交点，并理解当固定一个变量时，另一个变量的变化范围。
3. 选择积分次序： 通常选择能简化计算的次序。在本例中，dy dx 是一个更直接的选择。
4. 确定被积函数： 明确需要积分的函数 f(x,y)。
5. 执行积分计算： 按照选定的次序，先计算内层积分，然后将结果代入外层积分进行计算。
希望这个详细的解答能帮助你理解如何处理这类多重积分问题。
网友意见
利用对称性，原式=6
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