如何计算 ∫1/(sinθ+cosθ) dθ 这种积分?
这确实是一个在微积分学习中会遇到的经典积分问题，它涉及到三角函数和一些巧妙的代换技巧。我们来一步一步地拆解它，并尝试用一种更自然、更易于理解的方式来解决这个问题。
问题的本质
我们面临的积分是：
$$ int frac{1}{sin heta + cos heta} d heta $$
直接对 $sin heta + cos heta$ 进行积分并不能得到一个简单的形式。关键在于如何将分母“处理”得更容易积分。
第一步：化简分母——三角函数的恒等变换
我们常常遇到将形如 $asin x + bcos x$ 的表达式化简为 $Rsin(x+alpha)$ 或 $Rcos(xalpha)$ 的技巧。这来源于三角函数的和角公式。
对于 $sin heta + cos heta$，我们可以将其看作是 $1 cdot sin heta + 1 cdot cos heta$。
我们希望找到一个 $R > 0$ 和一个角度 $alpha$，使得：
$$ Rsin( heta + alpha) = R(sin heta cosalpha + cos heta sinalpha) = (Rcosalpha)sin heta + (Rsinalpha)cos heta $$
对照我们原来的表达式 $sin heta + cos heta$，我们可以令：
$Rcosalpha = 1$
$Rsinalpha = 1$
将这两个方程平方相加：
$$ (Rcosalpha)^2 + (Rsinalpha)^2 = 1^2 + 1^2 $$
$$ R^2(cos^2alpha + sin^2alpha) = 2 $$
$$ R^2(1) = 2 $$
$$ R = sqrt{2} quad ( ext{因为我们要求 } R > 0) $$
现在我们知道 $R = sqrt{2}$。为了找到 $alpha$，我们可以将第二个方程除以第一个方程：
$$ frac{Rsinalpha}{Rcosalpha} = frac{1}{1} $$
$$ analpha = 1 $$
在 $[0, 2pi)$ 的范围内，满足 $ analpha = 1$ 的角度是 $alpha = frac{pi}{4}$ (或者 $225^circ$)。
所以，我们可以将分母 $sin heta + cos heta$ 改写为：
$$ sin heta + cos heta = sqrt{2}sinleft( heta + frac{pi}{4} ight) $$
或者也可以写成 $sqrt{2}cosleft( heta frac{pi}{4} ight)$，选择哪种形式都可以，但通常使用正弦函数更方便后续的代换。
现在，我们的积分变成了：
$$ int frac{1}{sqrt{2}sinleft( heta + frac{pi}{4} ight)} d heta = frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{sinleft( heta + frac{pi}{4} ight)} d heta $$
第二步：利用“余割”函数和更进一步的代换
我们知道 $frac{1}{sin x} = csc x$。所以，积分进一步变为：
$$ frac{1}{sqrt{2}} int cscleft( heta + frac{pi}{4} ight) d heta $$
现在，我们需要知道 $csc x$ 的积分形式。这是一个标准积分，其结果是：
$$ int csc x , dx = ln|csc x + cot x| + C $$
或者
$$ int csc x , dx = ln|csc x cot x| + C $$
通常我们更习惯使用第一个形式。
在我们的积分中，$x$ 实际上是 $left( heta + frac{pi}{4} ight)$。这是一个线性的代换，即令 $u = heta + frac{pi}{4}$。
那么，$du = d heta$。
所以，我们的积分就变成了：
$$ frac{1}{sqrt{2}} int csc u , du $$
将其代入标准积分公式：
$$ frac{1}{sqrt{2}} left(ln|csc u + cot u| ight) + C $$
第三步：换回原来的变量
现在，我们用 $ heta + frac{pi}{4}$ 替换回 $u$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|cscleft( heta + frac{pi}{4} ight) + cotleft( heta + frac{pi}{4} ight) ight| + C $$
第四步：进一步简化（可选，但能让结果更美观）
我们还可以尝试将 $cscleft( heta + frac{pi}{4} ight)$ 和 $cotleft( heta + frac{pi}{4} ight)$ 用 $sin heta$ 和 $cos heta$ 来表示，但这会使结果变得非常冗长。一个更常见且有用的简化是利用 $csc x + cot x = frac{1}{sin x} + frac{cos x}{sin x} = frac{1+cos x}{sin x}$。
再利用半角公式：
$1 + cos x = 2cos^2(frac{x}{2})$
$sin x = 2sin(frac{x}{2})cos(frac{x}{2})$
所以，
$$ frac{1+cos x}{sin x} = frac{2cos^2(frac{x}{2})}{2sin(frac{x}{2})cos(frac{x}{2})} = frac{cos(frac{x}{2})}{sin(frac{x}{2})} = cot(frac{x}{2}) $$
将这个关系代入我们的结果中，令 $x = heta + frac{pi}{4}$：
$$ cscleft( heta + frac{pi}{4} ight) + cotleft( heta + frac{pi}{4} ight) = cotleft(frac{ heta + frac{pi}{4}}{2} ight) = cotleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) $$
所以，积分结果可以写成：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|cotleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight| + C $$
或者，我们也可以利用 $cot x = frac{1}{ an x}$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|frac{1}{ anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight)} ight| + C = frac{1}{sqrt{2}} lnleft( anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight)^{1} + C $$
$$ = frac{1}{sqrt{2}} lnleft| anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight| + C $$
这个形式看起来更简洁一些。
另外一种方法：使用万能代换（t代换）
对于包含 $sin heta$ 和 $cos heta$ 的有理函数积分，万能代换是一种非常强大的工具。我们令：
$$ t = anleft(frac{ heta}{2} ight) $$
那么我们可以得到以下关系：
$d heta = frac{2}{1+t^2} dt$
$sin heta = frac{2t}{1+t^2}$
$cos heta = frac{1t^2}{1+t^2}$
将这些代入我们的积分中：
$$ int frac{1}{sin heta + cos heta} d heta = int frac{1}{frac{2t}{1+t^2} + frac{1t^2}{1+t^2}} cdot frac{2}{1+t^2} dt $$
化简分母：
$$ frac{2t}{1+t^2} + frac{1t^2}{1+t^2} = frac{2t + 1 t^2}{1+t^2} $$
所以积分变为：
$$ int frac{1}{frac{2t + 1 t^2}{1+t^2}} cdot frac{2}{1+t^2} dt = int frac{1+t^2}{2t + 1 t^2} cdot frac{2}{1+t^2} dt $$
约去 $1+t^2$：
$$ int frac{2}{2t + 1 t^2} dt $$
现在我们需要处理分母 $2t + 1 t^2$。我们可以将其改写为 $(t^2 2t 1)$。为了配方，我们先看 $t^2 2t 1$。
$t^2 2t 1 = (t^2 2t + 1) 1 1 = (t1)^2 2$
所以，分母是 $( (t1)^2 2 ) = 2 (t1)^2$。
积分变成：
$$ int frac{2}{2 (t1)^2} dt $$
这是一个标准形式的积分：$int frac{1}{a^2 x^2} dx = frac{1}{2a} lnleft|frac{a+x}{ax} ight| + C$ 或者使用部分分式分解。
这里，$a^2 = 2$，所以 $a = sqrt{2}$，而 $x = t1$。
$$ int frac{2}{2 (t1)^2} dt = 2 int frac{1}{(sqrt{2})^2 (t1)^2} dt $$
应用公式：
$$ 2 cdot frac{1}{2sqrt{2}} lnleft|frac{sqrt{2} + (t1)}{sqrt{2} (t1)} ight| + C $$
$$ = frac{1}{sqrt{2}} lnleft|frac{t 1 + sqrt{2}}{t 1 sqrt{2}} ight| + C $$
最后一步：换回原来的变量
我们需要用 $t = anleft(frac{ heta}{2} ight)$ 代回：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|frac{ anleft(frac{ heta}{2} ight) 1 + sqrt{2}}{ anleft(frac{ heta}{2} ight) 1 sqrt{2}} ight| + C $$
这个形式与我们第一种方法得到的 $frac{1}{sqrt{2}} lnleft| anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight| + C$ 看起来不太一样，但它们是等价的。要证明它们等价，需要一些三角函数的恒等变换，会比较繁琐。通常在考试或教材中，第一种方法得到的带 $csc$ 和 $cot$ 的形式，或者化简为带 $ an$ 的形式是更常见的答案。
总结一下两种主要思路：
1. 三角恒等变换 + 积分公式： 这是最直接也是我个人认为最优雅的方法。通过将分母化简成 $Rsin( heta+alpha)$ 的形式，将积分转化为一个标准积分 $int csc u , du$ 的形式，然后进行代换回原变量。最后可以进一步化简为带 $ an$ 的形式。
2. 万能代换 (t代换)： 这是一种通用的方法，适用于各种三角函数的有理函数积分。通过代换 $t = an(frac{ heta}{2})$，将积分转化为关于 $t$ 的有理函数积分，然后通过配方或部分分式来解决。虽然过程可能更复杂，但它提供了一种系统性的解决思路。
希望这样的详细解释能帮助你理解这个积分！
问题的本质
我们面临的积分是：
$$ int frac{1}{sin heta + cos heta} d heta $$
直接对 $sin heta + cos heta$ 进行积分并不能得到一个简单的形式。关键在于如何将分母“处理”得更容易积分。
第一步：化简分母——三角函数的恒等变换
我们常常遇到将形如 $asin x + bcos x$ 的表达式化简为 $Rsin(x+alpha)$ 或 $Rcos(xalpha)$ 的技巧。这来源于三角函数的和角公式。
对于 $sin heta + cos heta$，我们可以将其看作是 $1 cdot sin heta + 1 cdot cos heta$。
我们希望找到一个 $R > 0$ 和一个角度 $alpha$，使得：
$$ Rsin( heta + alpha) = R(sin heta cosalpha + cos heta sinalpha) = (Rcosalpha)sin heta + (Rsinalpha)cos heta $$
对照我们原来的表达式 $sin heta + cos heta$，我们可以令：
$Rcosalpha = 1$
$Rsinalpha = 1$
将这两个方程平方相加：
$$ (Rcosalpha)^2 + (Rsinalpha)^2 = 1^2 + 1^2 $$
$$ R^2(cos^2alpha + sin^2alpha) = 2 $$
$$ R^2(1) = 2 $$
$$ R = sqrt{2} quad ( ext{因为我们要求 } R > 0) $$
现在我们知道 $R = sqrt{2}$。为了找到 $alpha$，我们可以将第二个方程除以第一个方程：
$$ frac{Rsinalpha}{Rcosalpha} = frac{1}{1} $$
$$ analpha = 1 $$
在 $[0, 2pi)$ 的范围内，满足 $ analpha = 1$ 的角度是 $alpha = frac{pi}{4}$ (或者 $225^circ$)。
所以，我们可以将分母 $sin heta + cos heta$ 改写为：
$$ sin heta + cos heta = sqrt{2}sinleft( heta + frac{pi}{4} ight) $$
或者也可以写成 $sqrt{2}cosleft( heta frac{pi}{4} ight)$，选择哪种形式都可以，但通常使用正弦函数更方便后续的代换。
现在，我们的积分变成了：
$$ int frac{1}{sqrt{2}sinleft( heta + frac{pi}{4} ight)} d heta = frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{sinleft( heta + frac{pi}{4} ight)} d heta $$
第二步：利用“余割”函数和更进一步的代换
我们知道 $frac{1}{sin x} = csc x$。所以，积分进一步变为：
$$ frac{1}{sqrt{2}} int cscleft( heta + frac{pi}{4} ight) d heta $$
现在，我们需要知道 $csc x$ 的积分形式。这是一个标准积分，其结果是：
$$ int csc x , dx = ln|csc x + cot x| + C $$
或者
$$ int csc x , dx = ln|csc x cot x| + C $$
通常我们更习惯使用第一个形式。
在我们的积分中，$x$ 实际上是 $left( heta + frac{pi}{4} ight)$。这是一个线性的代换，即令 $u = heta + frac{pi}{4}$。
那么，$du = d heta$。
所以，我们的积分就变成了：
$$ frac{1}{sqrt{2}} int csc u , du $$
将其代入标准积分公式：
$$ frac{1}{sqrt{2}} left(ln|csc u + cot u| ight) + C $$
第三步：换回原来的变量
现在，我们用 $ heta + frac{pi}{4}$ 替换回 $u$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|cscleft( heta + frac{pi}{4} ight) + cotleft( heta + frac{pi}{4} ight) ight| + C $$
第四步：进一步简化（可选，但能让结果更美观）
我们还可以尝试将 $cscleft( heta + frac{pi}{4} ight)$ 和 $cotleft( heta + frac{pi}{4} ight)$ 用 $sin heta$ 和 $cos heta$ 来表示，但这会使结果变得非常冗长。一个更常见且有用的简化是利用 $csc x + cot x = frac{1}{sin x} + frac{cos x}{sin x} = frac{1+cos x}{sin x}$。
再利用半角公式：
$1 + cos x = 2cos^2(frac{x}{2})$
$sin x = 2sin(frac{x}{2})cos(frac{x}{2})$
所以，
$$ frac{1+cos x}{sin x} = frac{2cos^2(frac{x}{2})}{2sin(frac{x}{2})cos(frac{x}{2})} = frac{cos(frac{x}{2})}{sin(frac{x}{2})} = cot(frac{x}{2}) $$
将这个关系代入我们的结果中，令 $x = heta + frac{pi}{4}$：
$$ cscleft( heta + frac{pi}{4} ight) + cotleft( heta + frac{pi}{4} ight) = cotleft(frac{ heta + frac{pi}{4}}{2} ight) = cotleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) $$
所以，积分结果可以写成：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|cotleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight| + C $$
或者，我们也可以利用 $cot x = frac{1}{ an x}$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|frac{1}{ anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight)} ight| + C = frac{1}{sqrt{2}} lnleft( anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight)^{1} + C $$
$$ = frac{1}{sqrt{2}} lnleft| anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight| + C $$
这个形式看起来更简洁一些。
另外一种方法：使用万能代换（t代换）
对于包含 $sin heta$ 和 $cos heta$ 的有理函数积分，万能代换是一种非常强大的工具。我们令：
$$ t = anleft(frac{ heta}{2} ight) $$
那么我们可以得到以下关系：
$d heta = frac{2}{1+t^2} dt$
$sin heta = frac{2t}{1+t^2}$
$cos heta = frac{1t^2}{1+t^2}$
将这些代入我们的积分中：
$$ int frac{1}{sin heta + cos heta} d heta = int frac{1}{frac{2t}{1+t^2} + frac{1t^2}{1+t^2}} cdot frac{2}{1+t^2} dt $$
化简分母：
$$ frac{2t}{1+t^2} + frac{1t^2}{1+t^2} = frac{2t + 1 t^2}{1+t^2} $$
所以积分变为：
$$ int frac{1}{frac{2t + 1 t^2}{1+t^2}} cdot frac{2}{1+t^2} dt = int frac{1+t^2}{2t + 1 t^2} cdot frac{2}{1+t^2} dt $$
约去 $1+t^2$：
$$ int frac{2}{2t + 1 t^2} dt $$
现在我们需要处理分母 $2t + 1 t^2$。我们可以将其改写为 $(t^2 2t 1)$。为了配方，我们先看 $t^2 2t 1$。
$t^2 2t 1 = (t^2 2t + 1) 1 1 = (t1)^2 2$
所以，分母是 $( (t1)^2 2 ) = 2 (t1)^2$。
积分变成：
$$ int frac{2}{2 (t1)^2} dt $$
这是一个标准形式的积分：$int frac{1}{a^2 x^2} dx = frac{1}{2a} lnleft|frac{a+x}{ax} ight| + C$ 或者使用部分分式分解。
这里，$a^2 = 2$，所以 $a = sqrt{2}$，而 $x = t1$。
$$ int frac{2}{2 (t1)^2} dt = 2 int frac{1}{(sqrt{2})^2 (t1)^2} dt $$
应用公式：
$$ 2 cdot frac{1}{2sqrt{2}} lnleft|frac{sqrt{2} + (t1)}{sqrt{2} (t1)} ight| + C $$
$$ = frac{1}{sqrt{2}} lnleft|frac{t 1 + sqrt{2}}{t 1 sqrt{2}} ight| + C $$
最后一步：换回原来的变量
我们需要用 $t = anleft(frac{ heta}{2} ight)$ 代回：
$$ frac{1}{sqrt{2}} lnleft|frac{ anleft(frac{ heta}{2} ight) 1 + sqrt{2}}{ anleft(frac{ heta}{2} ight) 1 sqrt{2}} ight| + C $$
这个形式与我们第一种方法得到的 $frac{1}{sqrt{2}} lnleft| anleft(frac{ heta}{2} + frac{pi}{8} ight) ight| + C$ 看起来不太一样，但它们是等价的。要证明它们等价，需要一些三角函数的恒等变换，会比较繁琐。通常在考试或教材中，第一种方法得到的带 $csc$ 和 $cot$ 的形式，或者化简为带 $ an$ 的形式是更常见的答案。
总结一下两种主要思路：
1. 三角恒等变换 + 积分公式： 这是最直接也是我个人认为最优雅的方法。通过将分母化简成 $Rsin( heta+alpha)$ 的形式，将积分转化为一个标准积分 $int csc u , du$ 的形式，然后进行代换回原变量。最后可以进一步化简为带 $ an$ 的形式。
2. 万能代换 (t代换)： 这是一种通用的方法，适用于各种三角函数的有理函数积分。通过代换 $t = an(frac{ heta}{2})$，将积分转化为关于 $t$ 的有理函数积分，然后通过配方或部分分式来解决。虽然过程可能更复杂，但它提供了一种系统性的解决思路。
希望这样的详细解释能帮助你理解这个积分！
网友意见
你还记得大明湖畔的万能公式么？【之前漏了个符号】
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